2020-2021中考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案

考数学与圆的综合有关的压轴题附详细答案一、圆综合1．如图，已eq\o\ac(△,)ABC中，，BC为径的交AB于，点E作AC于G，BC的长线于．（）证：AE=BE；（）证：是的线；（）FE=4，，O的径及的．【答案】（）见解析；2详见解析；（）.【解析】（）明：连接，如图所示：BC是直径BEC=90°，CE；又AC=，AEBE（）明：连OE，如图所：BE=，，OEeq\o\ac(△,)ABC的中位线OE，OE．又，OEFE是O的线．（）：EF是O的切线，FCFB设=x则有2=16，FB=8BCFB=82=6，OB=3，即O的半径为；．AC，FCGFOE，

，即，得：=．点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．2．如图，eq\o\ac(△,)ABC中＝，AB为径，O交BC于点，CA的延长线于点．过点作，足为F．（）证：为的线；（）AB4＝，劣弧

BE

的长．

【答案】（）明见解析2

【解析】分析：1）接、，根据直径所对的圆周角为直角，可ADB=90°，后根据等腰三角形的性质求出，再根据中线的性质求出，而根据切线的判定证明即可；（）接，据三角形的外角求BAE的数，然后根据圆周角定理求BOE的度数，根据弧长公式求解即可详解：1）接、．AB是直径，＝．AB＝，＝CD，又＝，ODeq\o\ac(△,是)的中位线，AC，AC，DF即90°．为的线；（）接．AB＝，B＝，BAE＝，BOE2∠BAE，＝，

＝

＝π点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、圆周角定理，灵活添加辅助线是解题关键．3．如图，在

V

中，90

o，

的平分线AD交BC于D，过点D作DEAD交于，为径作．

求证：是e切线；

若，，EDB值．【答案】（）解析；2）

EDB

．

【解析】【分析】

连接，图，先证明/AC，利用BC得ODBC，后根据切线的判定定理得到结论；

先利用勾股定理计算出AB，设的径为，

OA，OB

，再证明VBDOVBCA，用相似比得到：

：，得

r

，接着利用勾股定理计算

1，则，用正切定理得22

，然后证明EDB从而得到tanEDB的值．【详解】

证明：连接，图，QAD平，Q

，

，

，ODQACOD

，，，是O的线；

解：在Rt中，AB

3

2

，设eO的半径为r，则QOD//，

r，

，BDO∽BCAOD：AC：BA，即r：

3

r

，，，

2.2.在VODB中，

OB

OD2

，BCBD

，3在

V

中，

CD1AC

，Q为直径，ADE

，EDBADC9090EDB，

，

．【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径判定切线“连圆心和直线与圆的公共”或过心作这条直线的垂线；考查了圆周角定理和解直角三角形．4．如图eq\o\ac(△,)的内接三角形，为BC延线上一点，，为的径，过作CGAD于，AB于，交于G．（）断直线PA与O的位置关系，并说明理由；（）证：AG=AF·；（）若O的径为10，AC=25，求AFG的.【答案】（）与相，理由见解析；2）明解析；3【解析】试题分析：1）接，由O的直径，可ACD=90°，圆周角定理，证得B=D，由已知B，证得DA，继而可证得PA与O相切．（）接BG，易证eq\o\ac(△,)AFG△AGB，由相似三角形对应边成比例，证得结.（）接BD，由AG，求得AF的长，易证eq\o\ac(△,)AEF，即可求得AE的

»»»»长，继而可求得与EG的，则可求得答案．试题解析：解：1）O相切．理由如下：如答图1，连接，AD为O的直径ACD=90°.D+CAD=90°.B=D，D.CAD=90°，DAPA.点在上，PA与相．（）明：如图，连接BG，AD为O的直径CGAD，

AC

.AGF=ABG.GAF=BAGAGFABG.：：2=AF•AB.（）答图3，接，AD是径ABD=90°.2=AF，AG=AC=2，AB=4，AF=5.，ABD=90°.

，AEFABD.

AFAD

AE5，即，得AE=2.

EF

AF

AE

.

EG

AG

2

AE

2

，

FGEF

.

S

12

．考点：圆角定理；直三角形两锐的关系相的判定垂定理；相三角形的判定和性质；股定理三形的面.5．四边形的角交于点，AE，＝，AD为直径的半圆过点E，心为O．（）图，求证：四边形为形；（）图，若BC的延长线与半圆相切于点F且直径＝求弧的．【答案】（）解析；2）

π【解析】试题分析：1）判断出四边形是平行四边形，再判断出BD即可得出结论；（）判断出AD=DC且DE，ADE=CDE，而得出CDA=30°，后用弧长公式即可得出结论．试题解析：证明：（）四形ABCD的角线交于点，且AE，ED，四形是行四边形．以为直径的半圆过点，AED=90°，有ACBD四形ABCD是菱形；（）（）知，四边形是形ADC为腰角形AD=且DEAC，

ADE=CDE．如图，过点C作AD，足为G，连接FO．BF切于点，AD，

，易知，四边形CGOF为形CG=3．在eq\o\ac(△,)CDG中==6，ADC=

1=，CDA=30°，ADE=15°2连接OE，则ADE=30°，

AE2

．点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．6．如图，是O的径，点，是半圆O的等分点过点C作O的切线交AD的延长线于点E过点D作DFAB于点F，交O于点H，接DC，AC（）证AEC=90°（）判断以A，，，为顶点的四边形的形状，并说明理由；（）DC=2，DH的长．【答案】（）明见解析；（）边形为形；（）DH=2

．【解析】试题分析：1）接OC，据EC与切C，，题意得，DAC=CAB即可证明，则AEC+OCE=180°，而得出；（）边形为形．由（）

，则DCA=CAB可明四边形AOCD是平行四边形，再由，即可证明平行四边形AOCD是形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（）接．据四边形AOCD为菱形，eq\o\ac(△,)是等边三角形，则AOD=60°，由

DHAB于点F，为径，在eq\o\ac(△,Rt)OFD中，根据sin试题解析：1）接OC，

，求得DH的长．与切C，EC，，点CD是圆O的等分点，

，DAC=，，CAB=，DAC=OCA，OC（内错角相等，两直线平行）AEC+OCE=180°，；（）边形为形．理由是：

，DCA=，CD，又，四形平行四边形，，平四边形是形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（）接．

四形菱形，OA=AD=DC=2，OA=ODOA=OD=AD=2，OAD是等边三角形，AOD=60°，AB于点F，为径，，在eq\o\ac(△,)OFD中，DF=ODsinAOD=2sin60°=

，，DH=2DF=2

．考点：切线的质2.等边三角形的判定与性质3.菱的判定与性质直角三角形．7．如图eq\o\ac(△,)内接于O，且AB为O的直径．ACB的分线交O于D过点作O的切线PD交CA的延长线于点P过点作AE于点E，过B作BFCD于F．（）证：；（），BC=8，线段的长．【答案】详见解析【解析】【分析】（）接，AB为的径，根圆周角定理，由ACD=BCD=45°，ABD=45°，eq\o\ac(△,)为等腰直角三角，所以DOAB，根据切线的性质得ODPD，是可得到．（）根据勾定理计算出AB=10，eq\o\ac(△,)DAB为腰直角三角，可得到

AB1022

；由ACE为腰直角三角形，到AECE

AC622

，在eq\o\ac(△,)中用勾股定理计算出DE=2，CD=72，易证得△PCD得到

PDPAAD52PCPDCD7

，所以PA=，

PC=

，然后利用PC=PA+AC可算出．【详解】解：（）明如图，连接，AB为的径ACB=90°．的分线O于点D，ACD=BCD=45°．DAB=ABD=45°．为腰直角三角形．DOAB．PDO的线ODPD．DP．（）eq\o\ac(△,)中

，DAB为腰直角三角形，

．，为腰直角三角形

．在eq\o\ac(△,)AED中

，

．ABPD，DAB=45°PCD．又，PCD．

．PA=

，PD又，

PD+6=，得PD=7

．8．如图，已知eq\o\ac(△,)中，

（）用圆规直尺作，使圆心P在边，且与，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（）若，，P的面积．【答案】（）图见解析；2）【解析】【分析】（）ABBC两边都相切．根据角平分线的性质可知要ABC的平分线，角平分与AC的交点就是点P的置（）据角平线的性质和30°的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（）图示，P为所求作的圆．（）ABC=60°，平ABC，ABP=30°，eq\o\ac(△,)中，由勾股定理可得AP=3，P

=39．如图，在eq\o\ac(△,)中

，平，交BC于，点O在上，O经过A、两，交AC于E，于F．（）证BCO的线；（）若O的径是，是弧的中点，求阴影部分的面积（结果保留和号）【答案】（）明见解析（）

【解析】【分析】（）接，只要证明OD即解决问题；（）接OE，OE交AD于K．要证eq\o\ac(△,)是边三角形即可解决问题．【详解】

¶¶△AOE¶¶△AOE（）接．=OD，OAD=ODAOAD，ODA=，ODODBC，ODBCBC是O的线．（）接OE，OE交AD于K．

DE

，OEAD．OAK=EAK，AK，AKO==90°，，AOAEOE，603是等边三角形，=60°S=S﹣

2

3

．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．图1，知O是ΔADB的外接圆的平分线DC交AB于MO于点C，接AC，．（）证：；（）图2，图1的础上做的直径CF交AB于，接AF过点作O的线AH，若AH//BC，求的度数；（）（）的条件下，若ΔABD的面积为6ΔABD与的面积比为2：，求CD的长.【答案】（）明见解析；2）；）33

【解析】分析：1）用在圆或等圆中，弧相等，所对的弦相可解（）接AO并长交BC于I交于J,AH是O的线且BC得BC，易证，可F=ACB，CF是直径得ACF的数；（）点作DG，接，ABC为边三角形，求出AB、的长，在Rt中，求出AO的长，得的，再求DG的，运用勾股定理易求CD的.详解：1）平分，ADC=，∴．（）图，连并长交BC于O于JAH是O的线且AH，AI，BI=IC，AC=BC，IC=

AC，，ABC=60°=F=．是直径，，．（）点作

DGAB

，连接AO由（）2）知ABC为边三角形

2x33扇形2x33扇形ACF=30°，

，AE=BE，

S

ΔABC

27，AB=

6，

AE在RtΔAEO中设x，AO=2，

，2，x，O的径为6，CF=12．

S

Δ

DG

，．如图，过点作

DG

,连．

AB

,

DGAB

，，四形′DGE为矩形，

G

，

，在Rt

OGOGOD

，

DG11，

DG

2

CG

2

112点睛：本题是一道圆的综合题考了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识比复杂，熟记相关念是解题关.11．图，点在轴上对应的数是，原点为原心、的长为半径作优AB，使点A在原点的左上方，且＝，为的中点，点D在数轴上对应的数为4．（）＝（于半圆的扇形）；（）P是弧上任意一点，的大值为

°（）（）的条件下，最，AOP时固eq\o\ac(△,)的状和大小，以原点O为旋转中心，eq\o\ac(△,)OPD顺时针旋转（α≤360°）①连CP，．在旋转过程中CP与AD有数量关系，并说明理由；②当PDAO时，求2

的值；③直写出在旋转过程中，点C到所在直线的距离d的取值范围．

AOB扇形AOB扇形【答案】（）

10

（）（）＝②20+833≤d≤3【解析】【分析】（）用扇形面积公式计算即可．（）图1中当与O相时的最大．解直角三角形即可解决问题．（）结论AD＝PC．图2中连接，．eq\o\ac(△,明)AOD，可解决问题．②分种情形：如图中当PDOA时，设OD交O于K，接PK交于．出PC即．如图中当时，作于K同法可得．③判出的值范围即可解决问题．【详解】（）AOB＝3＝，S

30010＝360

（大于半圆的扇形），（）图1中当与O相时的最大．PD是O的线，OPPD，＝90°，

sin

OP1OD4＝，同法当与O相时BDP′＝，的最大值为30°．故答案为．（）结论AD＝PC．理由：如图2中连接，．

＝，AOB＝，是边三角形，＝，ACOB，＝＝60°，＝，

AOOD

，COP，

ADPC

，AD＝PC②如3中，当PD时设交O于K，接交于．OP，60°，是边三角形，PDOA，AOP＝OPD，POH＝，＝60°POH＝，PH＝PC＝

＝，OH＝3PH3，2CH13)25，AD＝PC

＝（3）＝．如图中当OA时，作于，同法可得：PC＝23，2＝PC＝83．

+（3﹣）＝﹣③由意≤PC≤3在转过程中，到所在直线的距离的值范围为≤3．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．12．图，四边形

为菱形，且

，以

为直径作，

交于点．请仅用无刻度的直尺按下列要求画图保作图痕)(1)在图中，过点作(2)在图中，过点作

边上的高的切线

．，与

交于点．【答案】如1所．答不唯)见解析(2)如所．答不唯一，解析【解析】【分析】（）接AC交圆于一点，连接PF交于E,接CE即为所求．（）接OF交BC于，连接PQ即为所求．【详解】(1)如1所．答不唯一(2)如2所．答不唯一

¶¶¶¶【点睛】本题考查作复作图，形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13．图，已知AB是O的径，BC是弦，弦平分交于，弦DE于H，交AC于G．①求GD；②当ABC满什么条件时eq\o\ac(△,)DFG是边三角形？③若＝，＝

，求的．【答案】（）明见解析；2）ABC＝时eq\o\ac(△,)DFG是边三角形．理由见解析；（）的长为【解析】【分析】

．（）先连接AD，由AB，是e的径，根据垂径定理，可得到

ADAE

，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证＝ABD，又由弦平分ABC，得＝，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（）当ABC=60°时eq\o\ac(△,)是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得DGF=，可证得结论；（）用三角数先求出tanBC.【详解】（）明：连，DEAB是O的径，

，＝，求出、，后即可求出

ADAE

，ADE＝，

弦平ABC，＝，＝DAC，ADE＝DAC，＝；（）：＝60°时eq\o\ac(△,)是等边三角形．理由：弦BD平，＝30°，AB是的径，＝90°，＝﹣ABC＝，DFG＝＝，DEABDGF＝﹣CAB60°，DGF是等边三角形；（）：AB是O的直径，ACB＝，DAC＝＝，AB＝，＝

，在eq\o\ac(△,)中AD＝AB•sin＝，＝

AB

2

2＝，＝

4，＝=45

，在eq\o\ac(△,)ADF中DF＝＝•tan＝

＝，BF＝＝8

＝，在eq\o\ac(△,)BCF中，＝＝＝

4×＝．55BC的为：

．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等

知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．14．图，已知是O的直径，直线