直线的倾斜角与斜率-Word版有答案

3.13．1.1倾斜角与斜率预习课本P82～85，思考并完成以下问题1．直线的倾斜角的定义是什么？2．直线的倾斜角的范围是什么？3．直线的斜率的计算公式是怎样的？1．直线的倾斜角(1)倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.(2)倾斜角的范围：直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.[点睛](1)倾斜角定义中含有三个条件：①x轴正方向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．2．直线的斜率(1)斜率的定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tan_α.(2)斜率公式：经过两点PxPxxx(，y1)，(，y)(≠)的直线的斜率公式为k＝1122212.当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．(3)斜率的作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度．[点睛]直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是90°时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任一直线都有倾斜角，都存在斜率()(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1()(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率为k＝tanα()(4)直线斜率的取值范围是(－∞，＋∞)()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是()A．45°B．135°C．45°或135°D．－45°解析：选B作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.3．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.B.C．1D.解析：选A由题意可知，直线l的斜率k＝tan30°＝.直线的倾斜角[典例]设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α＋45°或α－135°[解析]由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为α－135°(如图)．[答案]D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.[活学活用]已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180°D．0°＜α＜180°解析：选C直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°＜α＜180°.直线的斜率[典例]经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．[解](1)存在．直线AB的斜率kAB＝(2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝45°.＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α＜180°，所以倾斜角α＝135°.(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.[活学活用]1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率为()A.B.C．－D．－解析：选C斜率k＝＝－.2．已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别是A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．解：已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等．kAB＝＝0，kAC＝＝－1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在.直线的倾斜角、斜率的应用题点一：三点共线问题1．如果A，B(4，－1)，C(－4，－m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值．解：由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC.由斜率公式，得kAB＝＝，kBC＝＝.∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB＝kBC.，即m2－3－12＝0，m＝∴解得m1＝，m2＝或.∴m的值是.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴．当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线．否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可．题点二：数形结合法求倾斜角或斜率范围2．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．解：如图所示．∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°.(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝(≠)求解．xx12(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．层级一学业水平达标1．直线x＝1的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1B．135°，－1C．90°，不存在D．180°，不存在解析：选C作出图象，故C正确．2．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C显然①②③正确，④错误．3．已知直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，则该直线的倾斜角为()A．150°B．135°C．75°D．45°解析：选B∵直线经过点A(－2,0)，B(－5,3)，∴其斜率k＝＝－1.设其倾斜角为θ(0°≤θ＜180°)，则tanθ＝－1，∴θ＝135°.4．过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝()A．－B.C．－1D．1解析：选Ctan45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.5．已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－1,0]B．[0,1]C．[1,2]D．[0,2]解析：选D由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.6.如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为________．解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角为×(90°－30°)＝30°.答案：30°7．一束光线射到x轴上并经x轴反射．已知入射光线的倾斜角α1＝30°，则反射光线的倾斜角α2＝________.解析：作出入射光线和反射光线如图．因为入射光线的倾斜角α1＝30°，所以入射角等于60°.又因反射角等于入射角，由图易知，反射光线的倾斜角为60°＋60°＋30°＝150°.答案：150°8．已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________．解析：设x轴上点P(m,0)或y轴上点P(0，n)．由kPA＝1，得的坐标为(3,0)或(0，－3)．＝＝1，得m＝3，n＝－3.故点P答案：(3,0)或(0，－3)9．已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．解：由题意直线AC的斜率存在，即m≠－1.∴kAC＝，kBC＝.＝3·.∴整理得：－m－1＝(m－5)(m＋1)，即(m＋1)(m－4)＝0，∴m＝4或m＝－1(舍去)．∴m＝4.10．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．解：∵直线l与线段AB有公共点，∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间．当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．层级二应试能力达标1．在平面直角坐标系中，正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为()A．－2B．0C.D．2解析：选B由BC边所在直线的斜率是0，知直线BC与x轴平行，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角，根据直线斜率的定义，知直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.2．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率等于2，则m的值为()A．－1B．1C．2D.解析：选D由直线的斜率公式，得＝2，∴m＝.3.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2解析：选D直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.4．若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则取值范围是()的A.B.C.D.解析：选D根据已知的条件，可知点P(x，y)是点A，B，C围成的△ABC内一动点，那么所求的几何意义是过动点P(x，y)与定点M(1,2)的直线的斜率．由已知，得kAM＝.故选D.，kBM＝1，kCM＝.利用图象，可得的取值范围是5．若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则解析：∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＋＝的值为________．.∴2(a＋b)＝ab，∴＝，∴＋＝.答案：6．若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．解析：kAB＝，kAC＝＝0.要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，即kAB≠kAC，∴≠0.∴k答案(－∞，1)∪(1，＋∞)＝＝≠1.7．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)是函数y＝x3的图象上任意三个不同的点．求证：若A，B，C三点共线，则x1＋x2＋x3＝0.证明：∵A，B，C是三个不同的点，∴x1，x2，x3互不相等．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即＝，＝，∴整理，得x＋x1x2＋x＝x＋x1x3＋x，即(x2－x3)(x1＋x2＋x3)＝0.∵x2≠x3，∴x1＋x2＋x3＝0.8．已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值．解：如图，可知表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k.由已知条件，可得A(1,1)，B(－1,5)．易知kPA≤k≤kPB由斜率公式得kPA＝，kPB＝8，.所以故≤k≤8.的最大值是8，最小值是.3．1.2两条直线平行与垂直的判定预习课本P86～89，思考并完成以下问题1．两直线平行，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？2．两直线垂直，对斜率和倾斜角的要求分别是怎样的？1．两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2⇔k1＝k2.[点睛](1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1与l2的倾斜角都是90°，则l1∥l2.2．两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.[点睛]l1⊥l2⇔k1·k2＝－1成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行()(2)若l1∥l2，则k1＝k2()(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直()(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是()A．平行B．重合C．相交但不垂直D．垂直解析：选D设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1·k2＝－1.3．l1过点A(m,1)，B(－3,4)，l2过点C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，则m＝________.解析：∵l1∥l2，且k2＝＝－1，∴k1＝＝－1，∴m＝0.答案：0两条直线平行的判定[典例]判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)．[解](1)k1＝＝1，k2＝＝.∵k1≠k2，∴l1与l2不平行．(2)∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，∴l1∥l2.k1＝k2⇔l1∥l2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形．[活学活用]1．在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则点D的坐标为________．解析：根据AB∥DC，AD∥BC，利用平行直线的斜率相等求解．设点(，)，则由DxyAB∥DC，AD∥BC可得kAB＝kDC，kAD＝kBC，即＝，＝，解得x＝0，y＝－2.答案：(0，－2)2．在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F分别为边AC，BC的中点，则直线EF的斜率为________．解析：∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF∥AB.∴kEF＝kAB＝答案：－2＝－2.两条直线垂直的判定[典例]判断下列各题中l1与l2是否垂直．(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．[解](1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，l∴1⊥l2.(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，l∴1⊥l2.判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直．[活学活用]1．若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为________．解析：由过两点的直线的斜率公式可得kPQ＝＝1，所以线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.答案：－12．已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC边上的高所在直线的斜率与倾斜角．解：设BC边上的高所在直线的斜率为k，则有k·kBC＝－1.∵kBC＝＝1，∴k＝－1.∴BC边上的高所在直线的倾斜角为135°.根据两直线平行或垂直关系求参数[典例]已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2)．(1)若l1∥l2，求a的值；(2)若l1⊥l2，求a的值．[解]设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.∵k1＝，∴＝－，解得a＝1或a＝6.经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.(2)若l1⊥l2.①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；②当k2≠0时，l1的斜率存在，此时k1＝.由k1k2＝－1可得·＝－1，解得a＝3或a＝－4.∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.当直线上点的坐标含有参数时，参数的不同取值决定了两条直线不同的位置关系，因此应对参数的取值情况分类讨论，一般分为直线斜率存在和斜率不存在两种情况．[活学活用]已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形．解：∵四边形ABCD是直角梯形，∴有2种情形：(1)AB∥CD，AB⊥AD，由图可知，A(2，－1)．(2)AD∥BC，AD⊥AB，⇒综上可知，或∴层级一学业水平达标1．设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C由斜率公式知kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，①②④正确，故选C.2．直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则()A．l与x轴垂直B．l与y轴垂直C．l过原点和第一、三象限D．l的倾斜角为135°解析：选D直线的斜率k＝＝－1，∴直线l的倾斜角为135°.3．经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是()A．4B．1C．1或3D．1或4解析：选B由题意，知4．若直线l1的斜率k1＝＝1，解得m＝1.，直线l经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为()2A．1B．3C．0或1D．1或3解析：选D∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即＝－1，解得a＝1或a＝3.×5．已知点A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：选B如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD，所以kAB＝＝－，kAC＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，kAC·kBD＝－AC不垂直，所以四边形ABCD，故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与为平行四边形．6．已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1,2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a＝________；若直线l1⊥l2，则a＝________.解析：l1∥l2时，a＝3，则＝5；l1⊥l2时，＝－，则a＝.答案：57．直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________.若l1∥l2，则m＝________.解析：由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.若l1∥l2则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.答案：－228．已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2＋2△ABC的形状))，B(0，2－2)，C(4,2)，则△ABC是________．(填解析：因为AB边所在直线的斜率kAB＝＝2，CB边所在直线的斜率kCB＝＝，AC边所在直线的斜率kAC＝是直角三角形．＝－，kCB·kAC＝－1，所以CB⊥AC，所以△ABC答案：直角三角形9．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．解：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.(2)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3.(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.10．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即＝－1，解得m＝－7；×若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即＝－1，解得m＝±2.×综上，m的值为－7，－2,2或3.层级二应试能力达标1．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则有()A．α1－α2＝90°B．α2－α1＝90°C．|α2－α1|＝90°D．α1＋α2＝180°解析：选C由题意，知α1＝α2＋90°或α2＝α1＋90°，所以|α2－α1|＝90°.2．已知四点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为()A．1B．0C．0或2D．0或1解析：选D当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率都不存在，且不重合，此时直线AB与直线CD平行；当m≠0时，kAB＝，kCD＝，解得m＝1.综上，m的值为0或