非平稳序列的随机分析

非平稳序列的随机分析第一页，共一百二十二页，2022年，8月28日本章结构确定性趋势模型和随机趋势模型ARIMA模型Auto-Regressive模型异方差的性质方差齐性变化条件异方差模型第二页，共一百二十二页，2022年，8月28日4.1确定性趋势和随机趋势模型确定性趋势随机趋势第三页，共一百二十二页，2022年，8月28日确定性趋势所谓确定性趋势（deterministictrend），是指模型中含有明确的时间t变量，趋势可以有t的线性函数表示。例如：确定性趋势模型又称“均值非平稳模型”、“趋势平稳模型”。确定性趋势模型剔除趋势项即为平稳模型。如上例：第四页，共一百二十二页，2022年，8月28日随机趋势模型随机趋势模型常被称为单位根过程，模型中AR项含有成分（1-B），典型例子是随机游走模型。随机趋势模型又称“差分平稳模型”，可以通过差分剔除趋势，使模型平稳化。如对随机游走模型：第五页，共一百二十二页，2022年，8月28日趋势模型的比较确定性趋势模型表现在均值的非平稳。随机趋势模型中，每个随机干扰项对条件均值的影响是持久的。模型的方差非平稳。对不同的非平稳模型，应使用不同的平稳化方法。对于同一模型，两种趋势可能兼而有之。第六页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分方式的选择序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分就可以实现趋势平稳

序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的影响

对于蕴含着固定周期的序列进行步长为周期长度的差分运算，通常可以较好地提取周期信息

第七页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.1【例4.1】1964年——1999年中国纱年产量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。对该序列进行一阶差分运算考察差分运算对该序列线性趋势信息的提取作用

第八页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分前后时序图原序列时序图差分后序列时序图第九页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.2尝试提取1950年——1999年北京市民用车辆拥有量序列的确定性信息第十页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分后序列时序图一阶差分二阶差分第十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.3差分运算提取1962年1月——1975年12月平均每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息

第十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分后序列时序图一阶差分1阶－12步差分第十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日过差分

足够多次的差分运算可以充分地提取原序列中的非平稳确定性信息但过度的差分会造成有用信息的浪费

第十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.4假设序列如下

考察一阶差分后序列和二阶差分序列的平稳性与方差第十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日比较一阶差分平稳方差小二阶差分（过差分）平稳方差大第十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日4.2ARIMA模型ARIMA模型结构ARIMA模型性质ARIMA模型建模ARIMA模型预测疏系数模型季节模型第十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARIMA模型结构使用场合差分平稳序列拟合模型结构第十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARIMA模型族d=0ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)P=0ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)q=0ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)d=1,P=q=0ARIMA(P,d,q)=randomwalkmodel第十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日随机游走模型(randomwalk)模型结构模型产生典故KarlPearson(1905)在《自然》杂志上提问：假如有个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他的概率最大呢？第二十页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARIMA模型的平稳性ARIMA(p,d,q)模型共有p+d个特征根，其中p个在单位圆内，d个在单位圆上。所以当时ARIMA(p,d,q)模型非平稳。例4.5ARIMA(0,1,0)时序图第二十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARIMA模型的方差齐性时，原序列方差非齐性d阶差分后，差分后序列方差齐性第二十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARIMA模型建模步骤获得观察值序列平稳性检验差分运算YN白噪声检验Y分析结束N拟合ARMA模型第二十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6对1952年——1988年中国农业实际国民收入指数序列建模

第二十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分序列时序图第二十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分序列自相关图第二十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分后序列白噪声检验延迟阶数统计量P值615.330.01781218.330.10601824.660.1344第二十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日拟合ARMA模型偏自相关图第二十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日建模定阶ARIMA(0,1,1)参数估计模型检验模型显著参数显著第二十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARIMA模型预测原则最小均方误差预测原理

Green函数递推公式第三十页，共一百二十二页，2022年，8月28日预测值第三十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.7已知ARIMA(1,1,1)模型为

且求的95％的置信区间

第三十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日预测值等价形式计算预测值第三十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日计算置信区间Green函数值方差95％置信区间第三十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6续：对中国农业实际国民收入指数序列做为期10年的预测

第三十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日疏系数模型ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的模型，通常它包含p+q个独立的未知系数：如果该模型中有部分自相关系数或部分移动平滑系数为零，即原模型中有部分系数省缺了，那么该模型称为疏系数模型。第三十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日疏系数模型类型如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零自相关系数的阶数如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏系数模型可以简记为为非零移动平均系数的阶数如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简记为第三十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.8对1917年－1975年美国23岁妇女每万人生育率序列建模

第三十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分第三十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日自相关图第四十页，共一百二十二页，2022年，8月28日偏自相关图第四十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日建模定阶ARIMA((1,4),1,0)参数估计模型检验模型显著参数显著第四十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日季节模型简单季节模型乘积季节模型

第四十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日简单季节模型简单季节模型是指序列中的季节效应和其它效应之间是加法关系简单季节模型通过简单的趋势差分、季节差分之后序列即可转化为平稳，它的模型结构通常如下

第四十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日例5.9拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列

第四十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分平稳对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节效应的影响，差分后序列的时序图如下

第四十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日白噪声检验延迟阶数统计量P值643.84<0.00011251.71<0.00011854.48<0.0001第四十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分后序列自相关图第四十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分后序列偏自相关图第四十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日模型拟合定阶ARIMA((1,4),(1,4),0)参数估计第五十页，共一百二十二页，2022年，8月28日模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值62.090.71915.48<0.00011210.990.3584-3.41<0.0001第五十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日拟合效果图第五十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日 传统季节分析方法基于季节分量是确定性变量，且与其他非季节分量独立。季节分量也可以是随机的，且与非季节分量相关，随机ARIMA模型推广到季节时间序列，形成季节ARIMA模型，有时简记为SARIMA模型。乘积季节模型第五十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日设序列存在规则的周期（S），如果把原序列按周期重新排列，即可得到一个二维列联表。乘积季节模型第五十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日含义：随机季节模型，是对季节性随机序列中不同周期的同一周期点之间的相关关系的一种拟合。季节型模型的ARMA表达形式为这里

乘积季节模型第五十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日不独立，不妨设

则有

为白噪声；

乘积季节模型最终的模型形式为：第五十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日乘积季节模型这里表示不同周期的同一周期点上的相关关系；

则表示同一周期内不同周期点上的相关关系。

第五十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日乘积季节模型从结构上看，它是季节模型与ARIMA模型的结合形式，称之为乘积季节模型。常用的两个模型

记为：第五十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.10:拟合1948——1981年美国女性月度失业率序列

第五十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分平稳一阶、12步差分第六十页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分后序列自相关图第六十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日差分后序列偏自相关图第六十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日简单季节模型拟合结果延迟阶数拟合模型残差白噪声检验AR(1,12)MA(1,2,12)ARMA((1,12),(1,12)值P值值P值值P值614.580.00579.50.023315.770.00041216.420.088314.190.115817.990.0213结果拟合模型均不显著第六十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日乘积季节模型拟合模型定阶ARIMA(1,1,1)×(0,1,1)12参数估计第六十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日模型检验残差白噪声检验参数显著性检验延迟阶数统计量P值待估参数统计量P值64.500.2120-4.66<0.0001129.420.400223.03<0.00011820.580.1507-6.81<0.0001结果模型显著参数均显著第六十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日乘积季节模型拟合效果图第六十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日4.3Auto-Regressive模型构造思想首先通过确定性因素分解方法提取序列中主要的确定性信息然后对残差序列拟合自回归模型，以便充分提取相关信息

第六十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日Auto-Regressive模型结构第六十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日对趋势效应的常用拟合方法自变量为时间t的幂函数自变量为历史观察值第六十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日对季节效应的常用拟合方法给定季节指数建立季节自回归模型第七十页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6续使用Auto-Regressive模型分析1952年－1988年中国农业实际国民收入指数序列。时序图显示该序列有显著的线性递增趋势，但没有季节效应，所以考虑建立如下结构的Auto-Regressive模型

第七十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日趋势拟合方法一：变量为时间t的幂函数方法二：变量为一阶延迟序列值

第七十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日趋势拟合效果图第七十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日残差自相关检验检验原理回归模型拟合充分，残差的性质回归模型拟合得不充分，残差的性质第七十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日Durbin-Waston检验（DW检验）

假设条件原假设：残差序列不存在一阶自相关性

备择假设：残差序列存在一阶自相关性

第七十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日DW统计量构造统计量DW统计量和自相关系数的关系第七十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日DW统计量的判定结果正相关相关性待定不相关相关性待定负相关042第七十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6续

检验第一个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。第七十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日DW检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。DW统计量的值P值0.13781.421.530.0001第七十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日Durbinh检验

DW统计量的缺陷当回归因子包含延迟因变量时，残差序列的DW统计量是一个有偏统计量。在这种场合下使用DW统计量容易产生残差序列正自相关性不显著的误判

Durbinh检验第八十页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6续检验第二个确定性趋势模型

残差序列的自相关性。第八十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日Dh检验结果检验结果检验结论检验结果显示残差序列高度正自相关。Dh统计量的值P值2.80380.0025第八十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日残差序列拟合确定自回归模型的阶数参数估计模型检验第八十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6续对第一个确定性趋势模型的残差序列进行拟合第八十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日残差序列自相关图第八十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日残差序列偏自相关图第八十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日模型拟合定阶AR(2)参数估计方法极大似然估计最终拟合模型口径第八十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.6第二个Auto－Regressive模型的拟合结果第八十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日三个拟合模型的比较模型AICSBCARIMA(0,1,1)模型：249.3305252.4976Auto－Regressive模型一：260.8454267.2891Auto－Regressive模型二：250.6317253.7987第八十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日4.4异方差的性质异方差的定义如果随机误差序列的方差会随着时间的变化而变化，这种情况被称作为异方差异方差的影响忽视异方差的存在会导致残差的方差会被严重低估，继而参数显著性检验容易犯纳伪错误，这使得参数的显著性检验失去意义，最终导致模型的拟合精度受影响。

第九十页，共一百二十二页，2022年，8月28日异方差直观诊断残差图残差平方图第九十一页，共一百二十二页，2022年，8月28日残差图方差齐性残差图递增型异方差残差图第九十二页，共一百二十二页，2022年，8月28日残差平方图原理残差序列的方差实际上就是它平方的期望。所以考察残差序列是否方差齐性，主要是考察残差平方序列是否平稳

第九十三页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.11直观考察美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列的方差齐性。

第九十四页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分后残差图第九十五页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分后残差平方图第九十六页，共一百二十二页，2022年，8月28日异方差处理方法假如已知异方差函数具体形式，进行方差齐性变化假如不知异方差函数的具体形式，拟合条件异方差模型第九十七页，共一百二十二页，2022年，8月28日4.5方差齐性变换使用场合序列显示出显著的异方差性，且方差与均值之间具有某种函数关系

其中：是某个已知函数处理思路尝试寻找一个转换函数，使得经转换后的变量满足方差齐性第九十八页，共一百二十二页，2022年，8月28日转换函数的确定原理转换函数在附近作一阶泰勒展开求转换函数的方差转换函数的确定第九十九页，共一百二十二页，2022年，8月28日常用转换函数的确定假定转换函数的确定第一百页，共一百二十二页，2022年，8月28日例4.11续对美国1963年4月——1971年7月短期国库券的月度收益率序列使用方差齐性变换方法进行分析

假定函数变换第一百零一页，共一百二十二页，2022年，8月28日对数序列时序图第一百零二页，共一百二十二页，2022年，8月28日一阶差分后序列图第一百零三页，共一百二十二页，2022年，8月28日白噪声检验延迟阶数LB统计量P值63.580.73371210.820.54411821.710.2452第一百零四页，共一百二十二页，2022年，8月28日拟合模型口径及拟合效果图第一百零五页，共一百二十二页，2022年，8月28日4.6条件异方差模型ARCH模型GARCH模型GARCH模型的变体EGARCH模型IGARCH模型GARCH-M模型AR-GARCH模型第一百零六页，共一百二十二页，2022年，8月28日ARCH模型假定原理通过构造残差平方序列的自回归模型来拟合异方差函数

ARCH(q)模型结构第一百零七页，共一百二十二页，2022年，8月28日GARCH模型结构使用场合