静电场后半部

静电场后半部1第一页，共六十八页，2022年，8月28日电场线是在静电场空间内作的曲线族，满足条件：1.曲线上任意点的切线方向，就是该点电场强度的方向；2.空间点电场线的密度，等于该点电场强度的大小：。dS┴为垂直于该点电场方向的面元，

dN为穿越dS┴的电场线根数。3.电场线从正电荷出发，终止于负电荷。几种典型的静电场的电场线分布如教材p.12图7-10所示。7.3.1~7.3.2电场线和电通量2第二页，共六十八页，2022年，8月28日定义：穿越任意曲面S的电场线的根数，称为静电场通过该面的通量e.由于电场一般不是均匀的，通量的微分定义（小局域定义）为：

de=EdS┴=dN=EdScosθ=E·dS

dS=dSen

dS┴是dS在垂直E的方向上的投影。θ是面元dS的外法向与电场强度矢量方向的夹角（教材p.13图7-12）.θEendSdS┴θ3第三页，共六十八页，2022年，8月28日曲面S上的总通量便为：通过封闭曲面S的电通量可表示为：

见教材p.14图7-15.在曲面为封闭面的情况下，规定从内到外的通量为正，从外到内的通量为负。

4第四页，共六十八页，2022年，8月28日7.3.3高斯定理静电场的高斯定理：在真空静电场中，通过任意封闭曲面的总电通量，与该曲面包围的电荷的代数和成正比，比例系数为1/0:高斯定理不是独立的物理定律，而是基于库仑定律的数学演绎结果。提出高斯定理的意义在于，它可帮助我们极大地简化关于静电场的计算。5第五页，共六十八页，2022年，8月28日现就一个点电荷产生的静电场推出高斯定理：R以点电荷q为中心作一半径为R的球面。按电通量定义，穿越球面的总电通量应为：这个结果表明，穿越所有同心球面的电通量相等，即从点电荷q出发的电场线连续地延伸到无限远处，既不中断，也不增生。qq6第六页，共六十八页，2022年，8月28日若闭曲面S’不是球形，但仍将点电荷q包含在内，由电场线的不中断性可知，其上的总通量与球面的总通量相同。S’qS’’若闭曲面S’’不是球形，且不包含点电荷q，由电场线的不中断性可知，进出其上的通量相抵，总通量为零。于是高斯定理适用于任意封闭面。q7第七页，共六十八页，2022年，8月28日由叠加原理知，当封闭曲面内存在多个分立点电荷时，曲面上的总电通量为（教材p.15）:电荷连续分布时，上式右边的求和用积分取代。8第八页，共六十八页，2022年，8月28日高斯面上各点的电场强度E是由曲面内外所有电荷共同产生的，与这些电荷的分布有关；但高斯定理告诉我们：曲面上的总电通量只与曲面内的电荷代数和有关，与内外电荷分布均无关。这表明静电场是有源场，正电荷是正源，负电荷是负源。9第九页，共六十八页，2022年，8月28日高斯定理可形象地比喻如下：设想一个稳定流动的水体，其中有泉眼，也有漏水口。水体中任意封闭曲面上的总水流出量只与曲面内的泉眼和漏水口总量有关，与曲面内外泉眼与漏水口的分布无关。第十页，共六十八页，2022年，8月28日更深刻的分析表明，高斯定理不仅适用于静电场，在存在运动电荷的空间内也成立。可见，高斯定理与库仑定律不完全等价。只是在静电场情况下它们等价。而在解决某些实际问题方面，高斯定理远优于库仑定律，它将复杂的积分运算简化为简单的代数运算。用高斯定理求解电荷对称分布时的电场分布问题，计算十分简单。本课程要求同学们对这一类问题的求解方法熟练掌握。11第十一页，共六十八页，2022年，8月28日7.3.4利用高斯定理求静电场的分布考虑电荷分布具有中心对称，或柱面对称，或反射对称的情形。在这种情况下，存在一些特殊形状的高斯面（用以计算总通量的封闭曲面），其上电场强度的方向与曲面正交，数值处处相同；且高斯面的面积极易求得；从而总通量另一方面，高斯面包围的电荷代数和q，可由题给条件求得。于是由高斯定理，有ES=q/ε0,从而求得电场分布：12第十二页，共六十八页，2022年，8月28日例题1.求均匀带电球面S的电场分布图示为空心球面，电荷面密度为常值，q,R已知。

RE内E外解.题给条件对球面中心具有对称性。先计算球内电场E内。选同心球面r<R（红色球面S’）为高斯面。由对称性知，红色球面上处处E内等值，且方向垂直高斯面呈辐射状。于是高斯定理给出因q内=0,故有E内=0.（r<R）qSS’13第十三页，共六十八页，2022年，8月28日

RE内=0E外另选同心球面r>R（绿色球面S”）为高斯面。由对称性知，绿色球面上处处E外等值，且方向垂直高斯面。于是高斯定理给出故有可见，均匀带电球面外的电场，相当于全部电荷集中在球心时产生的场。当r从外面R时，得到带电球面外侧的电场红色矢量线族为所求电场分布S”r14第十四页，共六十八页，2022年，8月28日例题2求均匀带电实心球体的电场分布球体电荷体密度为

q,R已知。解.先求球内的电场E内。取同心球面r<R（红色）为高斯面。其内包围的电荷量为RqE内15第十五页，共六十八页，2022年，8月28日16/70由对称性和高斯定理得：Rq故有：

即球内电场大小与球心距成正比。E内16第十六页，共六十八页，2022年，8月28日再求球外的电场E外。取同心球面r>R（黄色）为高斯面。其内包围的电荷量为q.由对称性和高斯定理得：Rq故有：即球外电场大小与球心距的平方反比，相当于球体电荷集中于球心时产生的电场。E外E外E内17第十七页，共六十八页，2022年，8月28日第二次作业p.32应用高斯定理求对称场强7-12,7-13,7-15,7-16,7-1818第十八页，共六十八页，2022年，8月28日关于交作业本的通知请各班学习委员于每周五将本班作业本收齐，交到南区基础教育学院206室办公室。应交的作业是从上周五到本周三布置的内容。第十九页，共六十八页，2022年，8月28日几种典型的电荷分布的电场1。均匀带电球面2。均匀带电球体设球面厚度为零。这是一个理想化的假设。此时r=R处，既不在球面内，亦不在球面外，电场无定义。在r=R处，电场连续。第二十页，共六十八页，2022年，8月28日3。无限长均匀带电直线高斯定理给出第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日4。无限大均匀带电平面（厚度为零）+++++++++++底面积ΔS电荷σΔS⊙xyz高斯定理给出（X=0处电场无定义）第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日5。无限大均匀带电平行平面组A,B,C三薄板的面电荷密度各为。由上页4中结果BACx以及叠加原理，得：第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日7.4静电场的环路定理电势环路定理揭示了静电场的另一本质特性：静电场是保守场。保守场是矢量场。任何保守场必与一势函数相对应。势函数是标量场。静电场的势函数就是电势。24第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日25/707.4.1环路定理ABqdrab本节从功和能的视角阐述静电场的性质。先虑一个点电荷q产生的静电场,计算点电荷q0从电场中A点沿路经AB移动到B点过程中电场力对电荷作的功：第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日极坐标系中位矢的轴向投影极轴●P横向坐标θP点位矢径向坐标r径向单位矢和横向单位矢的方向随θ的变化而变。P点位矢中心对称和柱面对称问题都要用到极坐标系。其特点是坐标单位矢不是常矢量。第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日极坐标系中元位移的轴向投影极轴●P元位移元位移的轴向分量式元位移的径向分量元位移的横向分量第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日q可见功W与路径无关，只取决于起点a与终点b的坐标。ABqdrab点电荷的静电场的功便是：28第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日根据场强的叠加原理，在存在多个点电荷或连续分布电荷的空间，总电场为各分电场的矢量和：

点电荷q0在这样的电场中沿任意闭合路径绕行一周，电场力的功为：AB●●（7-29）A,B是闭合路径上的任意两点。29第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日即，在静电场中，点电荷沿任何闭合路径绕行一周，电场力的功恒为零。积分称为静电场的环流。静电场的环流恒为零，称为静电场的环路定理：30/70AB●●B静电场的环路定理的实质就是静电场力是保守力。第三十页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.2保守力场及其势函数若力场的功与路径无关，只取决于起点与终点位置，这样的力场有一个特殊的名称：保守力场。质点在保守力场中沿任何闭合路径绕行一周，力的功必为零。保守力场在物理学与矢量微积分学上具有特殊的重要性。我们来讨论它的数学条件。可证，当力场的元功是某标量函数的全微分时，该力场为保守力场。举例说明如下：31第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日32/70一维力场这类力只有一个独立分量，比如，x轴分量。它的大小也只依赖一个坐标。其一般形式为：如，一维胡克力（线性弹簧形变应力）：

(负号表示力与弹簧形变方向相反)故知一维弹簧力是保守力。元功第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日2.二维力场这类力有两个独立分量，如x轴向分量与y轴向分量，或径向分量与横向分量。力的大小一般是二元函数。一般形式为⊙或例如，无限长均匀带电直线的电场：其元功为：33第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日又如，力场元功这个元功很难直接看出是否全微分。可用偏导数判别法：若成立，dW就是全微分。计算得：故知dW是全微分，是保守力。事实上，第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日设保守力场的元功是标量函数的全微分：即定义为运动质点在保守力场中的势能。力场作的功等于势能的减少量。让我们将牛顿第二定律引入力的元功表示式：数学补充知识第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日定义为质点的动能，于是，力作的功等于质点动能的增量。由此得：或即，在保守力场中，质点的动能与势能之和守恒。这就是保守力场中的机械能守恒定理。

于是保守力的元功第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日若力的功部分或全部转化为分子的热运动能，则此过程不可逆，力称为耗散力，不再是保守力。永远与质点速度垂直的力是不做功的，在这样的力场中，质点的动能守恒。如洛仑兹力和光滑曲线/曲面的约束力。37第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日3.已知保守力求势能函数（此处称为势零点，可任选）由,得势函数求法：如一维线性弹簧的恢复力势能函数选x0=0,这就是中学物理给出过的弹簧势能。第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日4.已知势能函数求保守力由得到，称为U的负梯度。第四十页，共六十八页，2022年，8月28日引入矢量微分算符：它的读音是nabla(纳布拉)。它不仅简化了书写，而且大大简化了矢量的微积分运算。我们将在随后需要时逐步介绍它。这里只介绍它对标量函数的作用：矢量场称为标量场的梯度场，简称梯度。保守力场是其势能函数的负梯度场。由叠加原理求得某未知保守力场的势函数后，再求出势函数的负梯度，就得到未知保守力场。第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日一元连续微分函数一定存在原函数二元连续微分函数未必存在原函数的充要条件是

存在原函数第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日这个条件等价于是某函数的全微分：它的环路积分一定为零：第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日第三次作业保守力场和势函数电势7-24，7-28，7-29，7-32，7-34第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.3电势和电势差由叠加原理知，任何电荷分布产生的静电场都是保守力场。单位正电荷处于电场中某点时具有的静电势能，称为该空间点的电势，以记之。带单位正电荷的质点由点移动到任意点,电场力作的功为AB45第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日46/70由得电势函数取负号零点零点正号注意电势的单位是伏特，其量纲不再是能量。静电势能与电势是两个不同的概念。第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日

电场空间中任意点的电势值与零点选择有关，没有物理意义。有物理意义的是两点间的电势差值，与零点选择无关。同一问题中必须选择共同的电势零点。电势的国际单位为伏特（V）。它相当于1库伦电荷具有1焦耳的势能：1V=1J/C；又相当于1库伦电荷经1伏特电势差加速所获得的动能为1焦耳。在微观物理学中，焦耳是一个太大的能量单位。为了方便，定义具有一个电子电量（e）的质点被1伏特（V）电压加速所获得的动能为1电子伏特（eV）：

1eV=1.602×10-19C×1V=1.602×10-19J47第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.4电势的计算已知电场强度求电势，分两种情形：1.电势零点未知时,

先完成不定积分－＋＋＋＋－－－σ-σEx0X=d再选择电势零点坐标，使不定积分的相加常数为零。48第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日49/70－＋＋＋＋－－－σ-σ例.求导体平行板电容器的电势分布。不计平板厚度。建坐标如图。由高斯定理知Ex0X=d第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日计算不定积分－＋＋＋＋－－－σ-σEx0X=d先选x=0为电势零点，使C1=0.再由电势的连续性，得C2=0和C3=－(σd/ε0)50第五十页，共六十八页，2022年，8月28日电势分布为－＋＋＋＋－－－σ-σE=σ/ε00d电场指向电势减小方向，正如重力加速度指向重力势能减小方向。在电场突变处，电势保持连续。x51第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日2.电势零点已知时，直接完成定积分例.求均匀带电球面的电场的电势分布已知电场分布E内=0有限电荷的电场在无限远处减小为零，可选无限远处为电势零点。先用定积分求出球外电势：52第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日由电势的连续性得电势分布为参见教材p.23图7-2453第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日关于静电势能与电势的小结：1.静电势能场定积分法不定积分法求出原函数后选择电势零点，定出积分常数。2.电势场定积分法不定积分法第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日3.电势差电场指向电势减小的方向。第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日这正是单位正点电荷从A到B，电场力作的功。两点间电势差的正值由下式给出：沿此方向积分，电场作正功。第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日7.4.5~7.4.6等势面与电势梯度静电场中电势相等的空间点的集合，构成等势面。参见教材p.26图7-28中的虚线族。在同一等势面上，电场强度的投影为零，即等势面处处与电场线垂直。电荷沿等势面移动时，电场力不作功。等势面的密度大的地方，电场强度大。57第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日由积分关系可导出由已知电势函数求电场强度的关系式。两边求微分：即即（7-44）第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日将它们分别乘以直角坐标系的单位矢，然后相加，得（7-45）上式表明由已知的电势标量场通过求导得出电场强度矢量场。为加深对（7-45）式的理解，我们作以下分析：59第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日等势面Ⅰ等势面Ⅱ左图给出了两个很靠近的等势面Ⅰ,Ⅱ,其电势各为和.令单位正点电荷由P1移动到P2,位移矢量为，电场力对单位P2θP1正电荷作的功为:电场在元位移方向的投影为:上式给出重要结果：电场沿任何方向的分量，等于电势沿该方向的变化率的负值。第六十页，共六十八页，2022年，8月28日于是有因dl≥dn,故有沿法线方向电场的分量最大，第六十一页，共六十八页，2022年，8月28日62/70即电场的数值等于电势沿等势面法向的变化