概率论与数理统计-连续型随机变量及其概率密度

§4

连续型随机变量及其概率密度

概率密度及其性质

指数分布

均匀分布

正态分布与标准正态分布返回主目录一.连续型随机变量的概念与性质§4

连续型随机变量定义2.4.1如果对于随机变量X的分布函数， 存在非负实函数，使得对于任意实数，有则称X为连续型随机变量，其中函数称为X的概率密度函数,简称概率密度.连续型随机变量X由其密度函数唯一确定．返回主目录§4

连续型随机变量f(x)0x返回主目录说明(1)密度函数唯一确定连续型随机变量X

．但连续型随机变量X不能唯一确定密度函数．密度函数在个别点处的函数值不影响积分值．§4

连续型随机变量

概率密度具有以下性质：f(x)0x1返回主目录f(x)x0§4

连续型随机变量返回主目录连续型随机变量X具有以下性质：§4

连续型随机变量证明：返回主目录连续型随机变量的一个重要特点：(3)注意1密度函数不是概率！§4

连续型随机变量返回主目录f(x)x0§4

连续型随机变量返回主目录密度函数的概率涵义：注意2§4

连续型随机变量返回主目录f(x)x0由前面讨论可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．§4

连续型随机变量返回主目录§4

连续型随机变量返回主目录§4

连续型随机变量返回主目录连续型随机变量常用的公式：例1设X是连续型随机变量，其密度函数为解：⑴．由密度函数的性质§4

连续型随机变量返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量返回主目录例1（续）§4

连续型随机变量返回主目录§4

连续型随机变量例2返回主目录例3§4

连续型随机变量§4

连续型随机变量返回主目录由分布函数的性质有解得例4§4

连续型随机变量例4（续）返回主目录例5某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.§4

连续型随机变量返回主目录分析：某元件在使用的前150小时内是否需要更换是一次Bernoulli试验，检验5个元件的使用寿命可以看作是在做5重Bernoulli试验．所以，关键是求一个元件在使用的前150小时内需要更换的概率。例5某电子元件的寿命X（单位：小时）是以为密度函数的连续型随机变量．求5个同类型的元件在使用的前150小时内恰有2个需要更换的概率.§4

连续型随机变量返回主目录解：设A={任一元件在使用的前150小时内需要更换}例5（续）§4

连续型随机变量返回主目录B={5个元件中恰有2个的使用寿命不超过150小时}={5重Bernoulli试验中A恰好发生两次}令：Y=“5个元件中使用寿命不超过150小时的元件数”

（2）已知概率密度，会求事件的概率；返回主目录

连续型随机变量常见的问题小结:§4

连续型随机变量（3）已知概率密度,会求分布函数;（1）会确定概率密度中的常数；（4）已知分布函数,会求概率密度.二.一些常用的连续型随机变量§4

连续型随机变量1．均匀分布(uniform)定义2.4.2若随机变量的密度函数为记作X~U[a,b]返回主目录均匀分布的概率背景：XXabxll0返回主目录

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布均匀分布的概率背景

均匀分布的应用：数值计算中的舍入误差，某一时间间隔内汽车站上乘客到站的时间，等均认为服从均匀分布。均匀分布的分布函数abxF(x)01返回主目录

重要的连续分布[]的分布函数为则上的均匀分布，，服从区间若随机变量XbaX例6

设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量．试求乘客候车时间不超过5分钟的概率．§4

连续型随机变量返回主目录[]上的均匀分布．，服从区间则300X分析：设乘客于7时X分到达此站．{候车时间不超过5分钟}例6（解）B={候车时间不超过5分钟}§4

连续型随机变量返回主目录设乘客于7时X分到达此站．[]上的均匀分布．，服从区间则300X例7§4

连续型随机变量返回主目录分析：例7§4

连续型随机变量返回主目录例7（续）§4

连续型随机变量返回主目录2．指数分布（exponentialdistribution)定义2.4.3如果随机变量X的密度函数为§4

连续型随机变量返回主目录指数分布的分布函数§4

连续型随机变量返回主目录指数分布的应用：指数分布常作为各种“寿命”分布的近似分布，如：“灯泡的寿命”，“动物的寿命”，“电话问题中的通话时间”，“随机服务系统中的服务时间”都常假定服从指数分布。注意:§4

连续型随机变量返回主目录指数分布的重要性质--------无记忆性:设X服从指数分布，则上式说明:§4

连续型随机变量返回主目录设X服从指数分布，则

若把X解释为人的寿命，从群体角度讲:{X>s}表示s岁以上的人群,{X>s+t}表示s+t岁以上的人群.上结果表明：s岁以上的人群中,s+t岁以上的人所占的比例与s无关.

从个人角度讲:如果已知某人活了s年，则他至少再活t年的概率与年龄s无关.§4

连续型随机变量返回主目录设X服从指数分布，则

从个人角度讲:某人已5岁了，，他至少再活10年的概率与另一人已50岁了，，他至少再活10年的概率一样。所以人们风趣地称指数分布的这一性质为“永远年轻”，又称“无记忆性”----即把过去的年龄忘记了。例8§4

连续型随机变量返回主目录例8（续）令：B={等待时间为10~20分钟}§4

连续型随机变量返回主目录例9§4

连续型随机变量返回主目录“无记忆性”例9（续）§4

连续型随机变量返回主目录解:3．正态分布

重要的连续分布xf(x)0的密度函数为如果连续型随机变量X()()()+¥<<¥-=--xexfx22221smsp()，为参数，其中0>+¥<<¥-sm()正态分布．记作的，服从参数为则称随机变量2smX()2~sm，NX定义2.4.4

重要的连续分布x0标准正态分布密度函数的验证

重要的连续分布返回主目录密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录为此，我们只需证明：密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录则有，，作极坐标变换：qqsincosryrx==密度函数的验证(续)

重要的连续分布返回主目录ssmdxduxu=-=则，作变换：

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布返回主目录221dudxux==-则，令

重要的连续分布返回主目录正态分布密度函数的图形性质

重要的连续分布x0正态分布密度函数的图形性质

重要的连续分布x0正态分布密度函数的图形性质

重要的连续分布x0正态分布密度函数的图形性质（续）

重要的连续分布x0返回主目录正态分布的重要性质：

重要的连续分布xf(x)0返回主目录正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：

⑴．正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．

⑵．正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的．

⑶．正态分布可以作为许多分布的近似分布．返回主目录

重要的连续分布标准正态分布的计算

重要的连续分布标准正态分布的计算（续）

重要的连续分布x0-xx(){}xXPxx£=F³我们可直接查表求出对于0:0，我们有公式如果<x一般正态分布的计算

重要的连续分布一般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布

函数之间的关系：

重要的连续分布返回主目录正态分布的原则:返回主目录

重要的连续分布返回主目录上述原则称为正态分布的原则.

重要的连续分布例10

重要的连续分布返回主目录例11

重要的连续分布返回主目录

重要的连续分布例11(续)返回主目录

重要的连续分布例11(续)返回主目录例12

重要的连续分布返回主目录例11(续)

重要的连续分布返回主目录例12

重要的连续分布返回主目录例1