2022-2023学年北师大版九年级数学上学期专项讲练-正方形的性质与判定(知识讲解)

专题1.9正方形的性质与判定(知识讲解)

【学习目标】

1.理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；

2.掌握正方形的性质及判定方法.

【要点梳理】

1、定义：

有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

2、性质：

(1)正方形具有菱形和矩形的所有性质。

(2)正方形的四条边都相等，四个角都是直角。

(3)正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰

直角三角形。

(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形(四条)。

3、判定：

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形。

(3)有一个角是直角的菱形是正方形。

(4)对角线相等的菱形是正方形。

4、面积：正方形面积=边长的平方；正方形面积=对角线乘积的一半

5、中点四边形

(1)顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

(2)顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

(3)顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

(4)顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、据正方形性质求角的大小、线段的长及面积

.如图，已知E、F分别是正方形ABC。边BC、8边上的动点，AB=6,AE=AF.

(1)求证：ZBAE=ZDAF；

(2)设AAE下的面积为九EC的长为x.试求出y与x之间的函数表达式.

1、

【答案】(1)见分析；(2)--X12+6X(0<X<6)

【分析】

(1)由正方形的性质可得到｛8=/£>,N8=N£>=NC=90。，运用从证明MDF=MBF

即可得到结论；

(2)由(1)可得BE=DF,进而得CF=CE,根据%麻=S正方形ASCO—2S^DF-S&CEF可得

结论.

解：(1)四边形力8C。是正方形，

AB=AD=BCfNB=NO=NC=900

又AE=AF

MDF=A4BF(HL)

匚ZBAE=ZDAF;

(2)由(l)知，AAL>F=AABF

UBE=DF

又BC=DC

UCE=CF=x

UBE=DF=6-x

^isAEF~S正方形八5co-ZS^DF-S&CEF

=62-2x—x6x(6-x)--xx2

22

1,

=——x~9+6x(0<x<6)

2

【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质以及三角形面积公式

等知识，得到=S正方形Me--SA.是解答此题的关键.

【变式1】在正方形Z8C。中,E是8c边延长线上的一点，且CE=6»则口空。=()

A.30度B.67.5度C.22.5度D.30度

B

【答案】C

【分析】先连接/C，根据正方形的性质，得出4C=EC,进而得到£=。尸，再根据

平行线的性质，得出口后口及尸，最后根据口。1。=45。，求得口/EC的度数.

解：如图，连接NC,

则正方形中，AC=BD,

CE=BD,

OAC=EC,

□□£=DC4F,

AD//EC,

aQCAF=nDAF,

□□CJZ>45°,

DUCAF=\DAF=22.5°,

AEC=22.5°,

故选：C.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的

关键是作辅助线，构造等腰三角形4CE.解题时注意：正方形的两条对角线相等，并且每

条对角线平分一组对角.

【变式2】如图,正方形ABCD的边长为6,点E,F分别是边BC和的中点，连接AE,

在AE上取点G,连接GF,若ZEGF=45。，则GF的长为.

【答案】亚

5

【分析】连接断交A石丁”，根据正方形的性质得到AB=BC=CD,ZABE=NC=90。，

根据全等三角形的性质得到N8AE=NC5/，AE=BF,推出AFG"是等腰直角三角形，根

据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论.

解：连接断交AE于

,・・四边形是正方形,

；.AB=BC=CD,ZABE=ZC=90°,

•・,点、E、/分别是边BC,CO的中点,

:.BE=CF,

在AABE与ABCF中,

AB=BC

,4ABE=/BCF,

BE=CF

/.△ABE=ABCF（SAS）,

・./BAE=/CBF,AE=BF,

-ZBAE+ZAEB=90°,

:.ZAEB+NEBH=90。,

・•.ZBHE=90°,

NGHF=90。,

・・・NFGH=45。，

△尸G”是等腰直角三角形，

AB=BC=6,

口BE=CF=3

AE=BF=yjAB2+BE2=3A/5

■SLA^n4v/c«.=-2ABBE=-2AEBH

ABBE6x366

AE3石5

HF=HG=BF-BH=3y[5--=^-,

55

故答案为：蛔.

5

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出

辅助线是解题的关键.

类型二、据正方形性质进行证明

C>2.如图，在正方形ABC。中，AB=6,E为BC中点，连接AE,将AABE沿AE

折叠，点8的对应点为G,连接EG并延长交CQ于点尸，连接反，CG.

(1)判断CG与AE的位置关系，并说明理由；(2)求。尸的长.

【答案】(1)平行，理由见分析(2)2

【分析】

(1)由折叠知AABE会AAGE,可得NAE3=NAEG,根据E为BC的中点，可得

EC=EB=EG=3,进而可得NECG=/EGC,根据NCGE=NAEG,即可得证；

(2)证明Rt△A£)F/Rt△AG/，得DF=FG,设£>F=x,则EF=3+x,FC=6-x.勾

股定理列出方程，解方程求解即可.

(1)解：CG〃AE.

理由如下：

由折叠知^ABE^AGE,

BE=EG,ZAEB=ZAEG.

又E为的中点，

EC=EB=EG=3.

ZECG=ZEGC.

NBEG=NECG+ZEGC=2ZAEG,

ZCGE^ZAEG.

CG//AE.

(2)；四边形ABC。是正方形，

AD=AB=AG.

又ZADF=ZAGF=90°,ZADF=ZAGF=90°,AG=AG,

RtAAO尸/RtAAGf.

DF=FG.

设。F=x,

则EF=3+x,FC=6-x.

EF2=EC2+CF2.

BP(3+x)2=32+(6-x)2.

解得x=2.

即£>b=2.

【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质，HL证明三角形全等，全

等三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

【变式1】如图，在正方形/8CO中，E,尸分别是8c的中点，CE,D尸交于点G,

连接ZG,下列结论不正确的是()

A.CE=DFB.CE±DFC.AE=EGD.AG=AD

【答案】C

【分析】证明口8。£口口。尸得到C£=D尸，QBCE=3CDF,即可判断A、B；如图，取

8中点〃，连接GH,AH,证明口/1/鼠；口口4/〃)，得至即可判断D

;根据现有条件不能证明NE=EG,即可判断C.

解：四边形是正方形，

AB=BC=CD,CBE=0c尸=90。，

□£>/分别是43,8c的中点，

BE=LAB,CF'BC,

22

BE=CF,

BCECDF(SAS),

□CE=DF,BCE=CDF,故A不符合题意；

UUBCE+\DCE=90°,

UCDF+DCE=90。,

□£>GC=90°,即C£DF,故B不符合题意；

如图，取CD中点4,连接G〃，AH,则G"=D"=CH=gc。

同理可证44口£>尸，

□GAHD=UAHG,

又UAH=AH,GH=DH,

RAHGAHD(SAS),

V\AD=AG,故D选项不符合题意，

根据现有条件不能无法不能证明AE=EG,故C选项符合题意；

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上

的中位等等，熟知正方形的性质是解题的关键.

【变式2】如图，点E在正方形/BCD的边C。上，将口/DE绕点/顺时针旋转90。到

下的位置，连接EF,过点Z作跖的垂线，垂足为点”，与8C交于点G.若5G=3,

CG=2,则CE的长为

由旋转可知以48尸门［力。&

口DE=BF,AE=AF,

UAGUEF,

U”为所的中点，

□力G垂直平分EF,

UEG=FG,

设CE=x,则。E=5-x=B尸，FG=EG=BF+BG=8-x,

□□C=90°,

CE2+CG2=EG2

即X2+22=(8-X)2

解得

C£的长为3,

4

故答案为：

4

【点拨】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定

理列方程.

类型三、添加一个条件使四边形成正方形

.如图，是口/A？的中线，过点/、8分别作8C、的平行线，两平行线

相交于点E.

⑴求证：AE=CD-

(2)当/8、4C满足什么条件时，

口四边形ZE8。是矩形？请说明理由：

口四边形是菱形？请说明理由；

□四边形ZE8。是正方形？请说明理由.

【答案】(1)见分析

(2)O48="C；理由见分析；口48口/。；理由见分析；口48=4。且工BQ4C；理由见分析

【分析】

(1)先证明四边形/防。是平行四边形，再根据工。是一/8C的中线，即可证得.

(2)根据特殊四边形的性质，反推回关于48、4C的条件，再正向证明即可.

⑴解：QAE//BD,AD//BE,

口四边形AEBD是平行四边形，

AE=BD,

是，8c的中线，

□BD=CD,

UAE=CD.

(2)JAB=AC

UAB=AC,力。是/8C的中线，

UADLCD,

□□BD4=90°.

四边形/£8。是平行四边形,

四边形是矩形，

CABAC

ABAC,是48C的中线，

DBD=AD.

口四边形AEBD是平行四边形，

I四边形是菱形.

AB=AC^.ABAC

UAB=ACSLAB3AC,

□□/8C是等腰直角形

LN。是Z8C的中线，

BD=AD,BDAD,

「四边形/E83是平行四边形，

口四边形ZE8。是正方形.

【点拨】本题考查了中线的性质，平行四边形的性质和判定，特殊四边形的性质和判定

等知识点的应用.

【变式1】平行四边形”8C。的对角线/C、8。相交于O,给出的四个条件口/BnBC；

□□48C=90°；□0^=05；QACDBD,从所给的四个条件中任选两个，能判定平行四边形

/8CD是正方形的概率是（）

BC

【答案】D

【分析】先确定组合的总数，再确定能判定是正方形的组合数，根据概率公式计算即可.

解：一共有口口，□口，□口,□□；ZO6种组合数，

其中能判定四边形是正方形有一「，」，…，4种组合数，

42

所以能判定平行四边形ABCD是正方形的概率是二=:，

故选D.

【点拨】本题考查了概率公式计算，熟练掌握正方形的判定是解题的关键.

【变式2】如图，四边形ABCO是菱形，AC与8。相交于点。，添加一个条件:

可使它成为正方形.

【答案】BAD=90

【分析】根据“有•个角是直角的菱形是正方形“可得到添加的条件.

解：由于四边形A8CD是菱形，

如果BAD=90,

那么四边形A8CO是正方形.

故答案为：BAD=90.

【点拨】本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理.

类型四、据正方形性质与判定求角的大小'线段的长及面积

如图，在MBC中，AB=BC,口48。=90。，点D,E分别是边Z8,8c的中点,

点凡G是边/C的三等分点.DF,EG的延长线相交于点〃，连接N4,CH,BF,BG.

(1)求证：四边形尸8G”是菱形；

(2)判断四边形的形状，并证明你的结论；

⑶若DF=非,求48的长.

【答案】(1)见分析(2)四边形Z8”是正方形，理由见分析(3/8=6.

【分析】

(1)由。/是△/8G的中位线，则。尸BG,同理EGBF,得四边形EBG”为平行四

边形，再利用SAS证明尸CBG,得BF=BG,从而证明结论；

(2)连接8〃交4C于点O,由(1)知，四边形48C”是菱形，再根据

，可知四边形48C”是正方形；

(3)由菱形的性质可知FH=BG=2y[5,则DH=DF+FH=石+2石=30，设AD=x,则

AB=2x,利用勾股定理即可解决问题.

(1)解：口点尸、G是边NC的三等分点，

DAF=FG=GC,

又！D为AB中点，

。尸是△/8G的中位线，

CDFQBG,

同理EG"；

四边形反G”为平行四边形，

□1/8C=90。，AB=BC,

WBAF=UBCG=45°,

在ZUBF和ACBG中

AB=CB

"ZBAF=ZBCG,

AF=CG

ABFCBG(SAS),

BF=BG,

口四边形尸8G”是菱形；

(2)解：四边形48C77是正方形，理由如下:

如图，连接BH交4c于点0,

四边形FBG”是菱形，

UOF=OG,OB=OH,FG\BH,

由(1)得/尸=CG,

aOF+AF=OG+CG,

即OA=OC,

n四边形/8C，是菱形，

又口口/18。=90°,

口四边形N8C〃是正方形：

（3）解：。/是L/8G的中位线，

BG=2DF=2亚,

又四边形尸8G”是菱形，

FH=BG=2后,

DH=DF+FH=石+2石=36，

口四边形48C4是正方形，

UAH=AB,CDAH=90°,

HAD2+AH2=DH2,

iS：AD=X,WlJAB=AH=2x,

则3+（2x）2=（3火）2,

解得：x/=3,X2=-3（舍），

\JAB=2x=6.

【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的判定与性质，正

方形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键.

【变式1】如图，将正方形A8CD绕点/顺时针旋转38。，得到正方形AE尸G,OB的延

长线交EF于点区则“"E的大小为（）

A.76°B.97°C.90°D.114°

【答案】B

【分析】根据旋转的性质，求得B4E=38。,根据正方形的性质，求得。从1=45。,

4BH=135°,利用四边形的内角和定理计算即可.

解：根据旋转的性质，得LME=38°,

口四边形/5CD是正方形，

nnDBA=45°,JABH=135°,

口四边形/ER7是正方形，

[E=90°,

D/7£=360o-90o-38°-135°=97°,

故选B.

【点拨】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方

形的性质，旋转的性质是解题的关键.

【变式2】如图，在口/8C中，0ACB=90°,AC=BC=母.。是边上一动点，连

接8,以CZ）为直角边在CD左侧作等腰直角口。。£,且口。CE=90。，连接NE,则DE长

度的最小值为;U/DE面积的最大值为.

【答案】0g

【分析】要求OE得最小值，只需求CE的最小值，过C作N8的垂线交48于尸，

C尸即为3CE的最小值，然后运用勾股定理即可求得OE的最小值；当最小时，ADE

为等腰直角三角形，此时其面积有最大值，然后求解即可.

解：如图：过C作48的垂线交48于产

CF是8的最小值

□□JC5=90°,AC=BC=y/2

AB=y/AC2+BC2=2

□CFUAB

□CF=1

□CZ>CE的最小值为1,AF=\

DE的最小值为yjcD2+CE2=O

□□GCE=90\JCE4=90°,CAG=90°,CG=CF=\

口四边形ZFCG是正方形

「"=/G=l

当。点在尸点时，的面积最大，且等腰NG厂的面积

/0E的面积最大值为：gxAGx4F=；xlxl=g.

故答案为：\[1>y.

【点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、正方形的判定与性质等

知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

类型五、据正方形性质与判定进行证明

C>5.如图，点E为正方形外一点，口/班=90。，将RtONBE绕/点逆时针

方向旋转90。得到UADF,DF的延长线交BE于H点、.

(1)试判定四边形，a/E的形状，并说明理由；

(2)已知84=7,DH=17,求8C的长.

【答案】(1)四边形//〃E是正方形，理由见分析：(2)13.

【分析】

(I)根据旋转的性质可得1%£8=「“尸。=90。，DEAF=90°,AE=AF,从而可得四

边形/"/E是正方形；

(2)连接BD,先在RtiJDHB中利用勾股定理求出BD,再在RtJBCD中求出BC,

即可解答.

(1)解：四边形/尸”£是正方形，

理由：由旋转得：AEB=/尸£)=90。，£4/=90。,

□□力厂”=180。-UAFD=90°f

「四边形力"E是矩形，

由旋转得：AE=AF,

□四边形AFHE是正方形；

(2)连接

口四边形4FHE是正方形,

□□£)//£=90°,

口!DHB=\^°-DDHE=90°,

□BH=7,DH=17,

BD=yjDH2+BH2=>/172+72=13后,

口四边形是正方形，

UBC=CD,C=90°,

BD13及

BC=-f=-=—^=\3,

V2V2

□8C的长为13.

【点拨】本题主要考查J'正方形的性质、勾股定理及旋转性质，作辅助线直角三角形是

解题关键.

【变式1】如图，四边形/38、/EFG均为正方形，其中E在BC上，并连接3G.下

列判断正确的是()

G

BE

A.ai<D2B.01>02

C.D3<D4D.D3>n4

【答案】C

【分析】根据正方形的每一个角都是直角求出口8/1。=口£46=90。，然后根据同角的余

角相等可得口1=口2,根据直角三角形斜边大于直角边可得从而得到/G>/8,

再根据三角形中长边所对的角大于短边所对的角求出3<U4.

解：四边形/88、4EFG均为正方形,

nCBAD=nEAG=90°,

口口540=口2+S4E=90。，

□EZG=D1+.DAE=90°,

□□1=D2,

在MMBE中,AE>AB,

口四边形是正方形，

UAE=AG,

QAG>AB,

□□3<D4.

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相

等的性质，要注意在同一个三角形中，较长的边所对的角大于较短的边所对的角的应用.

【变式2】如图，在正方形ABCZ)中，E是5c边的中点，将ACDE沿OE折叠，得到

NFDE,延长E尸交于G,连接。G,GF=\.(1)AG=；(2)NGDE=°；

(3)正方形45co的边长为

D

G

BE............C

【答案】1453

【分析】

(1)由翻折的性质及全等三角形的性质可求出4G=FG；

(2)根据正方形的性质及角的和差关系可得/GDE；

(3)设边长为x,得到8G=x-l,BE=\x,GE=l+[x,根据勾股定理列出方程，故可

22

求解.

解：(1)根据折叠的意义，得iDECDEF,

UEF=EC,DF=DC,UCDE^UFDE,

GDA=DF,DG=DG,

[RtADGJRt'dFDG(HL),

^\VADG=VFDG,AG=FG=\

(2)QDDECnnDEF,RtADGZRtQFDG

CUGDE^QFDG+FDE=±(.\：ADF+L\CDF)=45°

(3)□I：DECOGDEF,RUADGRtDFDG

Gf=GA=\,EC=EF

设正方形边长为x,得到8G=x-l,BE=；x,GE=l+；x,

在mBEG中,GE2=BG2+BE2

(l+-x)2=(x-1)2+(-x)2

22

解得尸3

正方形的边民为3

故答案为：1;45；3.

【点拨】此题考查了翻折性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握其性

质是解决此题关键.

类型六、中点四边形

写/6.如图，在四边形ABC。中，E,F分别是A£),BC的中点，G,〃分别是对

角线8。，AC的中点，依次连接E,G,F,H,连接EF,GH.

(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；

(2)当口=。£＞时，EF与G”有怎样的位置关系？请说明理由；

【答案】(1)见分析；(2)当力8=8时，EFUGH,理由见分析

【分析】

(1)利用三角形的中位线定理可以证得四边形EG"的一组对边平行且相等，即可证

(2)根据菱形的判定和性质定理即可得到结论.

解：(1)口四边形中，E、F、G、”分别是/。、BC、BD、/C的中点，

FG=^CD,FGCD.HE=^CD,HECD.

FG=EH,FGEH,

四边形EG"是平行四边形；

(2)解：当时，EFUGH,

理由：由(1)知四边形EGFH是平行四边形,

当/8=CZ)时，EH=；CD,EG=；4B,

□EG=EH,

口四边形EGFH是菱形，

UEFDGH.

【点拨】本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形和菱形的判定，掌握三角

形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂宜是解题的关键.

【变式1】如图，点E、F、G、，分别是四边形Z8CQ的边/8、BC、CD、D4的中点.则

下列说法:

」若47=8。，则四边形EFG”为矩形；

□若ACLBD,则四边形为菱形；

口若/C与8。互相垂直且相等，则四边形EFG"是正方形;

口若四边形EFGH是平行四边形，则/C与8。互相平分.

其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】先根据三角形中位线定理证明四边形EFG”是平行四边形，然后根据菱形，

矩形，正方形的判定进行逐一判断即可.

解：L点E、F、G、”分别是四边形N8C。的边/8、BC、CD、D4的中点，

EH是的中位线，

EH=；BD,EH//BD,

同理GF=,BDEF=-AC,GH=-AC,EF//AC

222

DEH=GF,GH=EF,

口四边形EFGH是平行四边形，

口若4C=BD,则EH=GF=GH=EF,则四边形是菱形，故口错误；

H若/CHBD,则即“，，卜平行四边形EFG，是矩形，故错误；

口若NC与8D互相垂直且相等，结合口的判断可知四边形EFG"是正方形，故；

正确；

口若四边形EFG”是平行四边形，并不能推出NC与8。互相平分，故□错误，

故选A.

【点拨】本题主要考查了中点四边形，三角形中位线定理，熟知中点四边形的知识是解

题的关键.

【变式2】某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地(如图)，各边的中点分别是E、F、

G、H,用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm,则对角线AC=_cm

【答案】20

解：等腰梯形的对角线相等，EF、HG、GF、EF均为梯形的中位线，EF=HG=GF=EF=

3AC

又匚EF+HG+GF+EF=40cm,即2AC=40cm,则AC=20cm.对角线AC=20cm.

类型七、正方形的综合问题

.如图口，四边形ABC。是正方形，点E是2C上一点，连接AE,以AE为一边

作正方形AEFG,连接。G.

(1)求证：DG=BE；

(2)如图口，连接A尸交8于点“，连接求证：EH=BE+DH-,

⑶在(2)的条件下，若A8=4,点H恰为中点，求的面积.

Q

【答案】(1)证明见分析(2)证明见分析(3)Sg=|

【分析】

(1)由正方形的性质得UBAD=QEAG=90°,AE=AG,再证口比IE=QDZG,

然后证ADGABE(S/S即可得出结论;

(2)证n/E"AGH(SAS),得EH=GH,再证C、D、G三点共线，然后由G〃=

DG+DH=BE+DH,即可得出结论;

(3)设BE=x,则CE=4-x,DG=BE=x,EH=BE+DH=x+2

48

，再由勾股定理得出方程，求出则CE=4-X=§,然后山三角形面积公式即可

得出答案.

解：（1）四边形A8C。是正方形

[ZBAD=9Q0.AB=AD

ZBAE^ZEAD=90°

四边形AEFG是正方形

ZEAG=90°.AE=AG

NE4Z>+ND4G=90。

E/BAE=/DAG

在△物1石和ZXD4G中

AB=AD

,ZBAE=ZDAG

AE=AG

^BAE^=^DA（J

EDG=BE.

（2）由（1）知△B4E也△D4G

ZADG=ZB-90°,BE=DG

ZADC=90°

ZCDG=ZADC+ZADG=90。+90。=180°

□H,D,G三点共线

四边形A&G是正方形

AE=AG,ZE4F=ZGAF=45°

AE=AG

在ABAE和△D4G中，^EAF=NGAF,

AH=AH

△EAHq©AH

EH=HG

HG=DG+DH

EH=BE+DH

(3)四边形ABC。是正方形，AB=4

\JCD=AB=4

，恰C。中点

DH=HC=、CD=2

2

△BAE'DAG

BE=DG

设=则£>G=x,EC=4—x

由(2)知EH=BE+DH=2+x

在中，由勾股定理知EC2+C42=E〃2

(4-X)2+22=(2+x)2

4

解得，x=-