2021年数学高考真题卷-浙江卷（含答案解析）

2021年普通高等学校招生全国统一考试•浙江卷

数学

参考公式：

若事件A,B互斥，则

P(A+B)=P(A)+P(B)

若事件A,8相互独立，则

P(4B)=P(A>P(B)

若事件A在一次试验中发生的概率为p,则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率P“伏)=C枭/(1-P)*

位:=0,1,2,

台体的体积公式

⑸+V^+S2)6

其中S,S2分别表示台体的上、下底面积表示台体的高

柱体的体积公式

V=S/7

其中S表示柱体的底面积,71表示柱体的高

锥体的体积公式

*

其中S表示锥体的底面积,/1表示锥体的高

球的表面积公式

S=4兀F

球的体积公式

V=%R3

其中R表示球的半径

选择题部分(共40分)

一、选择题:本大题共10小题,每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合4={]|应1},3={无|-1<工<2},则AC\B=

A.{x|x>-1}

C.{x|-l<x<l}

D.{x|l<x<2}

2.已知a6R,（l+ai）i=3+i（i为虚数单位），贝lja=

A.-lB.l

C.-3D.3

3.已知非零向量a也c,则“ac="c"是的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单位:cn?）是

俯视图

（第4题图）

A.|B.3C等D.3V2

%+130

5.若实数xj满足约束条件x-y<0，则z=x-%的最小值是

.2%+3y-l<0

A.-2B-1Dw

6.如图，已知正方体ABCD-A出分别是田的中点，则

（第6题图）

A.直线A。与直线垂直，直线A/N〃平面ABCD

B.直线与直线平行，直线MN_L平面BDDyB\

C.直线A\D与直线D\B相交，直线MN〃平面ABCD

D.直线4。与直线D\B异面，直线平面BDDiBt

7.已知函数1x)=W+3,g(x)=sinx,则图象如图的函数可能是

(第7题图)

Ajfx)+g(x)T

Cj寸)xg(x)

D•产噌

"/W

8.已知a,[i,y是互不相同的锐角，则在sinacos夕,sin^cos%sinycosa三个值中，大于的个数的最大值是

A.OB.lC.2D.3

9.已知a/eR,ab>0,函数兀小混+如弋田.若式s-r)而，)麻+/)成等比数列，则平面上点(sj)的轨迹是

A.直线和圆B.直线和椭圆

C.直线和双曲线D.直线和抛物线

10.已知数列｛斯｝满足“1=1必+产各(〃eN*),记数列｛的｝的前n项和为S”,则

1十，斯

3

A.-<Sioo<3B.3<Sioo<4

QQ

C.4<5ioo<-D.-<Sioo<5

非选择题部分(共110分)

二、填空题:本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分.

IL我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正

方形拼成的一个大

正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别为3,4,记大正方形的面积为Si,小正方形的面积为S2,则

(第11题图)

12.已知“6R,函数兀0=\玲：；：<2•若欢n))=3,则a-.

13.已知多项式(尤-1y+(x+l州=产+⑶9+④炉+4犷+生贝!!=,(12+(13+(14=.

14.在△ABC中,/8=60。工8=2"是BC的中点,AM=2g,则AC=,cos/MAC=.

15.袋中有4个红球,〃?个黄球,"个绿球.现从中任取两个球，记取出的红球数为占若取出的两个球都是红球的

概率为:，一红一黄

O

的概率为g,则m-n=,E©=.

16.已知椭圆力+廿1(4>/?>0)樵点FI(-C,0),F2(C,0)(C>0).若过Fi的直线和圆⑴氐尸+尸,相切，与椭圆在第一

象限交于点P,且

轴，则该直线的斜率是椭圆的离心率是.

17.已知平面向量a,6,以存0)满足⑷=1,|勿=2,”乃=O,(aS>c=O.记平面向量d在a力方向上的投影分别为x,y,d-a

在c方向上的

投影为Z,则*+/+Z2的最小值是.

三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.(本题满分14分)

设函数fix)-sinx+cosx(xGR).

(/)求函数产麻+今］2的最小正周期；

(〃)求函数〉=於贸X-》在吗］上的最大值.

19.(本题满分15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是平行四边形,NA8C=120。力B=1,BC=4,PA=V1豆M,N分别为BC,PC

的中点,POLDC,

PMA.MD.

(/)证明:

(〃)求直线4N与平面PDM所成角的正弦值.

20.(本题满分15分)

已知数列｛%｝的前n项和为且4S„+l=3S„-9(»eN*).

(/)求数列｛斯｝的通项公式；

(〃)设数列出"｝满足34,+(〃-4)4“=0(〃©#),记出"｝的前〃项和为若7；q对任意〃GN*恒成立，求实数2的

取值范围.

21.(本题满分15分)

如图，已知尸是抛物线丁=22小。＞0)的焦点,M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF|=2.

(/)求抛物线的方程；

(〃)设过点F的直线交抛物线于A,B两点，若斜率为2的直线/与直线MA,MB,AB,x轴依次交于点PQR,N,

且满足

|RN|2=|PN|-|QN|,求直线/在x轴上截距的取值范围.

(第21题图)

22.(本题满分15分)

设a,h为实数，且心1,函数4x)=〃-fe+e2(xGR).

(/)求函数./(x)的单调区间；

(〃)若对任意/＞2e2,函数段)有两个不同的零点，求a的取值范围；

(也当“=e时,证明:对任意函数段)有两个不同的零点xg,满足及＞瞿Xl+R

(注:e=2.71828…是自然对数的底数)

1234567891011121314151617

DCBABADCCA25252^13—1越江£

10139S55

1.D【考查目标】本题主要考查集合的交运算，考查运算求解能力.

【解析】因为集合4={川启1},8=*|-1＜尢＜2},所以4仆8={川1夕＜2}.故选口.

2.C【考查目标】本题主要考查复数代数形式的四则运算及复数相等,考查运算求解能力.

【解题思路】利用复数代数形式的四则运算化简复数，再利用复数相等，建立等式,即可求得实数4的值.

【解析】解法一因为(1+“i)i=-〃+i=3+i,所以-。=3,解得〃=-3.故选C.

解法二因为(1+〃i)i=3+i,所以1+ai=F=l-3i,所以〃=-3.故选C.

3.B【考查目标】本题主要考查充分条件、必要条件及平面向量，考查同学们的逻辑思维能力，考查数学

探索、理性思维学科素养.

【解题思路】由4(二"。,得到(。-份_1_。或4=/?,即可得""=/?七"与"4=/?”的关系.

【解析】由可得(Q-〃)・c=0,所以(a/)_Lc或所以"a,c="c”是"〃=£’的必要不充分条件.故选B.

4.A【考查目标】本题主要考查空间几何体的三视图及几何体的体积，考查空间想象能力，考查理性思维

学科素养.

【解析】解法一由三视图可知，该几何体是一个底面为等腰梯形的直四棱柱，其中底面等腰梯形的底边

长分别为企,2鱼，高为今该四棱柱的高为1,所以该几何体的体积*x(夜+2烟乂枭1=|.故选A.

解法二由三视图可知，该几何体是由底面为等腰直角三角形(腰长为2)的直三棱柱截去一个底面为等腰直

角三角形(腰长为1)的直三棱柱后得到的，所以该几何体的体积丫=畀22'1/<12'1=|.故选A.

【方法技巧】解决三视图问题，一般根据三视图还原出几何体的直观图，然后直接计算或从补形的角度进

行计算.

5.B【考查目标】本题考查简单的线性规划问题，考查运算求解能力，考查理性思维学科素养.

【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y=2r并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点4

时z取得最小值.由｛，二个丁。,得;所以泻.故选B.

【归纳总结】线性规划问题中，目标函数的最值通常在约束条件表示的可行域的边界交点处取得.

6.A【考查目标】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断,考查逻辑思维能力、空

间想象能力，考查理性思维、数学探索学科素养.

【解析】解法一连接A。,则易得点M在A£>i上，且因为ABL平面所以所

以平面AB",所以AQ与BD\异面且垂直.在△ABD\中，由中位线定理可得MV〃AB,所以MV〃平面

ABCD易知直线AB与平面成45。角，所以与平面BB\D\D不垂直.所以选项A正确.故选A.

解法二以点。为坐标原点,D4QCQ。所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设AB=2,则

4(2,0,2),。(0,0,0)4(0,0,2),8(2,2,0),所以M(1,0,1),。(1,1,D,所以砧=(-2,0,-2),万工=(2,2,-2),而=(0,1,0),所以

初•布=-4+0+4=0,所以AQJ_AB.又由图易知直线与8功是异面直线，所以A。与异面且垂直.

因为平面ABCD的一个法向量为〃=(0,0,1),所以而.〃=(),所以〃平面4BCD设直线与平面BB\D\D

所成的角为。，因为平面BDDB的一个法向量为a=(-l,1,0),所以sin州|cos而□匚翳卜身苧，所以直

线MN与平面88。。不垂直.故选A.

【解后反思】本题可以借助直线与平面平行、垂直的相关定理进行推理判断,也可以建立恰当的空间直角

坐标系，利用空间向量法进行判断.

7.D【考查目标】本题考查函数的图象与性质，考查逻辑思维能力，考查理性思维学科素养.

【解题思路】根据函数的性质及函数图象的特征，利用排除法可以确定符合要求的选项.

【解析】易知函数+；是偶函数,g(x)=sinx是奇函数，给出的图象对应的函数是奇函数.选项

AjRW+gaAAf+sinx为非奇非偶函数，不符合题意，排除A;选项B,yyx)-g(x)-[=『-sinx也为非奇非偶函

数，不符合题意，排除B;因为当xe(0,+8)时危)单调递增，且大x)>0,当xG(O,》时,g(x)单调递增，且g(x)>0,所以

>=Ax)g(x)在(0,会上单调递增，由图象可知所求函数在(0,会上不单调，排除C.故选D.

8.C【考查目标】本题考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力、运算求解能力、综合应用能力，考查

理性思维、数学应用学科素养.

【解析】因为是互不相同的锐角，所以sina,cosy?,siny?,cosy,sin%cosa均为正数,由基本不等式可知

sinacos0对八a;cos。⑼口^cos父血6；cos公山y;cos2.三式相力口可得acos夕+sin//cosy+sinycos

ag|,当且仅当sina=cos4，sin4=cos%sinkcos%即仁=戒=?=：时取等号，因为是互不相同的锐角，所以sin

acos夕+sinQcosy+sinycosav：所以这三个值不会都大于;.若取则

22634

si喙os^Wx滑<物味<足=[x]邛>：=如件(定=1*，畔所以这三个值中大于:的个数的最大值为2.

63224234224424622422

故选C.

【解题关键】解决本题的关键在于利用基本不等式得到这三个值不会都大于看再利用赋值法确定这三个

值中可能存在两个值大于由此确定结论.

9.C【考查目标】本题考查函数、数列与圆锥曲线的综合问题，考查逻辑思维能力、运算求解能力，考查

的学科素养是理性思维、数学探索.

【解析】因为函数段)=五+6,所以./(s-r)=a(s-r)2+Z?而)=#+仇大s+f)=a(s+f)2+8.因为危-。加入小+。成等比

数列,所以产(s)=/SMs+f),即32+份2=口(502+处，心+炉+句,化简得-2a2s2户+“2/+24/=0,得或2a?-

“产=2"易知点(s,f)的轨迹为一条直线和一个双曲线.故选C.

【能力提升】利用等比数列的定义构建方程，通过化简，提炼出直线方程及双曲线方程，由此确定动点的轨

迹.

10.A【考查目标】本题考查数列的综合应用,考查运算求解能力、综合应用能力，考查了理性思维、数

学应用学科素养.

【解析】因为41=1,%+产:帚，所以斯>0,'污所以$00>|.含=噜三;+*=(高:•所以

两边同时开方可得〈<=+：,则…<《：+：,由累加法可W1<_Z=+7=1+?,

aaaa

n+iVn2yjdn+iVn2anyja.n-12>[^2v^i27^n+ivi22

所以7袭+手等，所以再潟，所以斯+尸赢三篇=*瓯艮喈瑞，则矢表巧,由累乘法可得

4

当n>2时,如=*合X-71-*1X—n-2.X...x-3x-2=-----6---="・一京)，所以$oo<1+6(三+9+...+公击)=1+6(3

%71+2n+1n54(n+2)(n+l)

工)<1+2=3,故选A.

【技巧点拨】利用放缩法，结合累加法与累乘法求得〃胫6(a-京)，从而利用裂项相消法计算Sioo的取值范

围.

11.25【考查目标】本题主要考查数学文化，考查运算求解能力，考查数学文化学科素养.

【解析】因为直角三角形直角边的长分别为3,4,所以$=(而巾>=25,S2=25-4x；x3x4=l,所以2=25.

2O2

12.2【考查目标】本题主要考查分段函数的求值，考查运算求解能力，考查理性思维学科素养.

【解析】因为e>2,所以火遍)=6-4=2,所以欢遍))=42)=1+a=3,解得a=2.

【解题关键】求分段函数的函数值时，关键是判断出自变量的取值所处的区间，再代入相应的函数解析式.

13.510【考查目标】必备知识:本题主要考查二项式定理.关键能力:运算求解能力.学科素养:理性思维.

【解析】(尤-I/展开式的通项TV+iXjPy-DNx+l)“展开式的通项。+|=以/弋则

0=砥+禺=1+4=5；42=玛(-1)1+第=3；&3=髭(-1)2+盘=7；44=玛(-1)3+酸=0.所以«2+«3+«4=3+7+0=10.

【技巧点拨】本题可以根据多项式的特点，利用二项式定理分别求得相应项的系数，然后计算即可;也可以

利用项数不多的特征，通过展开多项式计算即可.

14.2g誉【考查目标】必备知识:本题主要考查解三角形知识.关键能力:逻辑思维能力、运算求解

能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【解析】解法一由NB=6(r,AB=2,AM=2V5,及余弦定理可得8M=4,因为M为BC的中点，所以BC=8.在

△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-28CAacosNB=4+64-2x8x2x2=52,所以AC=2g,所以在△AMC

4c2+4M2-MC2_52+12-162739

中,由余弦定理得cosZMAC=F

2ACAM2x2\/13x2\/3

解法二由23=60。,43=2,4知=2百,及余弦定理可得8加=4,因为〃为BC的中点，所以8c=8.过点C作

CDLBA交BA的延长线于点。，则8。=4=2,。>=4次.所以在RtAAOC中工C2=CZ)2+4)=48+4=52,得

心2m.在△AMC中,由余弦定理得cos”心与粽乜悬|焉=誉

15.1|【考查目标】必备知识:本题主要考查随机变量的概率、数学期望.关键能力:运算求解能力、数

据处理能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【解析】由题意可得『(片2)=；4--7；------含----；=；,化简得(，"+”)2+7(/"+")-60=0,得机+〃=5,取出的两

^14+771+71(4+771+71)(3+771+71)6

个球一红一黄的概率尸=/2=罢=3解得〃尸3,故〃=2.所以廿"=1,易知的所有可能取值为0,1,2,且

^4+m+n363

£=0+1+2

%=2)=/(31)=譬三,尸(看0)=鲁磊所以(C)X^X|XH

【方法技巧】先确定袋中各类球的个数,然后确定^的所有可能取值及其取值对应的概率，利用数学期望公

式求解.

16.当9【考查目标】必备知识:本题主要考查椭圆的几何性质及直线与椭圆、圆的位置关系.关键能

力:运算求解能力、逻辑思维能力.学科素养:理性思维、数学探索.

【解析】设过Q的直线与圆的切点为M圆心4氐,0),则|AM=c,|AQ|=|c,所以阳川=务所以该直线的斜

率上摆上。=亭•因为PF2_Lx轴，所以|PF2|=±,又尸iB|=2c,所以％=当=+*£=-得e邛.

*c5a52c2ac2e5

17.|【考查目标】必备知识:本题主要考查平面向量数量积的应用、向量投影.关键能力:运算求解能力、

逻辑思维能力、综合应用能力.学科素养:理性思维、数学应用.

【解析】由⑷=1,依=2,。"=0,不妨设〃=(1,0)力=(0,2),所以a-b=(l,-2).因为(a-b)・c=0,所以可取c=(2加,团).因

为向量d在。力方向上的投影分别为x,y,所以可得d=(x,y),所以4a=(x-l,y)则z=^=^^,

解法一所以2x+y-A疗Z=2,由柯西不等式可得21+y-V^Z=2gj22+1+(—遥)2.J%2+y2+z2,化简得

/+卢22*=|，当且仅当:三二手，即户|,产核=-?时取等号，故f+V+Z?的最小值为|.

解法二故f+V+z?

2,2工(2计大2)2

=XZ+/-H~

=1[6>,2-(4-4x)y+9x2-8^+4]

本6(号)2・(44r)•9+9P8x+4](解题关键:二次函数在其图象的对称轴处取得最小值)

5%2-4X+2

3

4

当且仅当x=|,yW，z=4时取等号，故记+产+3的最小值为|.

【方法技巧】设定向量坐标后利用垂直关系及向量投影建立关系式，然后根据柯西不等式计算求解.柯西

不等式:xiX2+yiy2+zmA/*+犬+z/J名+片+z；,当且仅当日=义=包时取等号.本题也可以将z=笔詈代入

x2yzz2V5

/+V+z2,然后利用二次函数在其图象的对称轴处取得最小值求解.

18.【考查目标】本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础知识，同时考查数学运

算素养.满分14分.

解:（/）由已知得y=[Xx+/）F=（cosx-sinx）2=l-sin2x,

故所求的最小正周期7=院

(/I)y=J(x)fix--)=V2(sinx+cosx)sinx=sin(2x--)+—,

442

因为xG。?，

故当尸萼时，函数双臼取得最大值1+v.

842

19.【考查目标】本题主要考查空间点、线、面的位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查直

观想象和数学运算等素养.满分15分.

解:（/）在4CO/W中,DC=1,MC=2,NOCM=60。狈」DM=®

所以CD_LDW.

又因为CD，PD,PDCDM=D,PD,DMu平面PQM,所以CO_L平面PDM.

因此CDLPM.

又因为AB〃CD,所以4B_LPM.

（〃）方法一连接AC交DM于点E,过E作EF//AN交PC于点尸，过点F作FH//CD交PD于点、”,连接HE.

由（/）知CQ_L平面PCM所以F4_L平面PDM.

故/庄H是直线AN与平面PDW所成的角.

由（/）知P历_LCZ）,又己知PM_LA/£）,且CZ）nMr>=C,CC,M£>u平面

所以PMJ_平面ABCD.

连接AM,在平行四边形ABCD中,AM=V7/C=VH.（第

在直角△PMA中，由PA=EWW=夕得PM=2y[2.

在直角△PMC中，由PM=2a,MC=2得PC=2回

在4PAC中，由P4=VI^,PC=2V^AC=Vn得47=皮.

在平行四边形ABCD中笔斗所以喘=?W，

AC3ANNC3

故EF=—,HF^~.

36

在直角△FHE中,sinNFEH=*=W.

因此，直线AN与平面P£)M所成角的正弦值为李.

6

方法二

如凰以。为原点，分别以射线OMQC为X,)•轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-xyz,

则A(28,20),C(0/,0),M(V5,0,0),设P(V3,O,zo),zo>O.

因为PA=V15所以zo=2&,

故P(b,0,2或),M曰g,a),所以而=(-

竽,|,物,而=(V3,0,2V2),DM=(遮,0,0).

设平面PDM的法向量n=(x,y,z),

由[n•四=0(^[V3x+2V2Z=0,取取⑴』,。),

(第19题图)

设直线AN与平面PD例所成角为a,所以

而。=如<而”|=鼎=?.

因此，直线AN与平面PDM所成角的正弦值为”.

20.【考查目标】本题主要考查等比数列定义、通项公式、前n项和公式等基础知识，同时考查数学运算

和逻辑推理等素养.满分15分.

解:(/)由4s,+i=3S“-9,得4s〃=3S“r9(〃22),贝ij4斯+k3斯(w?2).

又4(ai+a2)=3ai-9,因为ai=1,所以4a2=3即

4

所以｛3｝是以3为首项，以:为公比的等比数列.

44

因此〃〃=3x(》.

(〃)由题意得为=04)x(：)〃.

4

则7>(-3)x沁2)x(*...+(〃-4)x(',

孤=(一3)x(y+(一2)x(1+…+(〃一4)x(》叫

两式相减，得筋=(-3厉+($2+©3++©产(小4)x©"+)

所以7},=-4nx(^»+1.

由题意得-4”x0)"+〈(〃一4)*《)"恒成立，所以(2+3)”-4念0,

44

记1A〃)=(4+3)〃-42(〃GN*),所以{；;)：昌°,解得-3qWl.

21.【考查目标】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查数学抽

象、数学运算与逻辑推理等素养.满分15分.

解:(/)由题意知p=2,所以抛物线的方程是V=4x.

(〃)由题意可设直线AB的方程为x=ty+1(#6,A(xiJI),8(X2J2),

将直线AB的方程代入)2=4元得广4y4=0,

所以y+丁2=4/田丁2=・4.

直线MA的方程为)=