经济应用数学线性代数高数10月12日2.6函数的连续性

例.

火箭升空时,质量变化情形如图.tmom0t0一般,当f(x)连续变化时,其图形是一条连续曲线.反之,若f(x)图形是一条连续曲线,f(x)则是连续变化的.第六节函数的连续性一、函数的连续性xyoxyoxxyyxyxyx0f(x0)ABxx0xx0从图上可看出,(x)在x0间断.但f(x)在x0连续.(x)在x0的极限不存在,而yyx0y=(x)y=f(x)定义1.

设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义.且则称f(x)在x0连续,x0称为f(x)的连续点.否则称f(x)在x0间断,x0称为f(x)的间断点,或称为不连续点.由于当f(x)为多项式时,有所以,多项式及正,余弦函数在任何点x0处连续.连续定义也可用语言给出。若对>0,>0,使得当|xx0|<时,对应的函数值f(x)满足|f(x)f(x0)|<则称f(x)在x0处连续.注:

与极限定义比较,将"a"换成"

f(x0)"将"0<|xx0|<"换成"|xx0|<".例1.证:又因为f(0)=0.如图xyof(x)=|x|还可得到,|x|在任何点x0处连续.称为x0的右邻域和x0的左邻域.定义2.

则称f(x)在x0处右(左)连续.设f(x)在x0的某右邻域(某左邻域)内有定义,定理1.

f(x)在x0处连续f(x)在x0左连续且右连续.例2.问a为何值时,f(x)在x=0连续.解:

f(0)=3=3f(x)在x=0右连续.为使f(x)在x=0连续,必须f(0–0)=f(0)=f(0+0)即,a=3.故,a=3时,f(x)在x=0连续.=a例3.问f(x)在x=0是否连续.解:

f(0)=1=1右连续.故,f(x)在x=0间断.=–1f(0)不左连续.图形为xyo–11y=f(x)若f(x)在(a,b)内每一点连续,则称f(x)在开区间(a,b)内连续.记作f(x)C(a,b).C(a,b)表示在(a,b)内连续的函数全体所成集合.其中若f(x)在(a,b)内连续,且f(x)在x=a右连续.在x=b左连续.则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.记作f(x)C[a,b].一般,设变量u从初值u0变到终值u1,记u=u1u0,称为变量u的增量(改变量).u可正,可负,还可为0.另外,

u1=u0+u记y=f(x)f(x0)=f(x0

+x)f(x0)称为y在x0处相应于x的增量(改变量).设f(x)在U(x0)有定义,xU(x0),记x=xx0称为自变量x在x0处增量(改变量).且x=x0+x

定义3.设y=f(x)在U(x0)有定义.若当x=xx00时,有y=f(x0+x)f(x0)0则称f(x)在x0连续.(令x=xx0)连续定义可用函数的增量的形式给出.如图.xyoB=(x0)A

x0+xyCDx0x>0y=CD的长y=(x)xyof(x0)

x0+x

x0+xx0x<0x>0yMNy=CD的长y=–(MN的长)CDy=f(x)定理2.

若f(x),g(x)在点x0处连续,则(1)af(x)+bg(x)在x0处连续,其中a,b为常数.

(2)f(x)·g(x)在x0连续.(3)当

g(x0)0时,二、连续函数的基本性质定理3.

设若y=f[(x)]由y=f(u),u=(x)复合而成.若u=(x)在x0连续,u0=(x0),而y=f(u)在u0则复合函数y=f[(x)]在x0连续.连续,证:要证y=f[(x)]在x0连续,只须证>0,>0,当|x–x0|<时,有|f[(x)]–f[(x0)]|<.即可.>0,因y=f(u)在u0连续,故>0,当|u–u0|<,有|f(u)–f(u0)|<.又因u=(x)在x0连续.从而对上述>0,>0,当|x–x0|<时,有|u–u0|=|(x)–(u0)|<.进而有|f[(x)]–f[(x0)]|=|f(u)–f(u0)|<故y=f[(x)]在x0连续.推论.

若lim[(x)]=A.且y=f(u)在u=A连续,则

limf[(x)]=f[lim(x)]式子=f[(x0)]相当于因此,有例4.解:定理4.

若y=f(x)在区间I上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数x=f–1(y)在相应区间上严格单调增加(减少)且连续.定理5.

若y=f(x)在x0连续,且f(x0)>0(<0),则U(x0),使xU(x0),有f(x)>0(<0).定理6.(1)基本初等函数在其定义域内连续.(2)初等函数在其定义域内连续.例5.三、初等函数的连续性称形如y=[f(x)]g(x)的函数为幂指函数,其中f(x)>0.根据对数恒等式y=elny,y>0,有[f(x)]gx=eg(x)·lnf(x),即,因此,当f(x),g(x)均连续时,[f(x)]g(x)也连续.则例6.例7.若limf(x)=A>0.limg(x)=B,存在.例8.=21=2例9.yx01例10.y01x1若limf(x)=1,limg(x)=,称lim[f(x)]g(x)为“1”型极限问题.若limf(x)=0,limg(x)=0,称lim[f(x)]g(x)为“00”型极限问题.“1”,“00”和“0”型都不一定是无穷小量,也不一定是无穷大量,更不一定是1.若limf(x)=,limg(x)=0,称lim[f(x)]g(x)为“0”型极限问题.例11.解:

“1”型,原式=函数f(x)在x0连续可简单地表示为:要使它成立,必须(1)f(x)在x0有定义;(2)f(x)在x0的极限存在;(3)两者相等.这三条有一条不成立,则f(x)在x0不连续(间断).四、函数的间断点设f(x)在Û(x0)内有定义,若f(x)是下列情况之一,(1)f(x)在x0无定义;(2)f(x)在x0的极限不存在;(3)则称f(x)在x0处间断,x0称为f(x)的一个间断点.例1.解:在其定义域内都连续.故其间断点必是使函数无定义的点.因f(x)只在x=0处无定义,故x=0为f(x)的唯一间断点.而f(x)在x=0无定义,此时,补充定义:则例2.解:

这是一个由初等函数组成的分段函数.这种函数的间断点若存在,通常在分段点x=0处.事实上,在(,0)内,f(x)=2x,连续,在(0,+)内,f(x)=sinx,连续.只须考虑在x=0是否连续即可.而f(0)=1.则如图xoy–2–1y=sinxy=2x1一般,若x0是f(x)的间断点,则称x0为f(x)的一个可去间断点.例3.解:

类似例2.只讨论分段点x=0处情况.由于xy0y=arctanxx=0为f(x)的间断点.看图一般,若f(x)在x0处的左,右极限都存在,但不相等,则间断点x0称为f(x)的跳跃间断点.如图xoy–2–1y=x–2y=2+(x–1)212可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.或者说,左,右极限都存在的间断点称为第一类间断点.不是第一类的间断点称为第二类间断点,或者说,左,右极限中至少有一个不存在的间断点称为第二类间断点.例4.解:

间断点x=0.故x=0为第二类间断点.一般,若中至少有一个为无穷大,则称x0称为f(x)的无穷型间断点.例5.解:

间断点x=0.看图故x=0为第二类间断点.01－1yx定理1.(根的存在定理),若f(x)C[a,b],即f(x)在[a,b]上连续.且f(a)f(b)<0.则至少存在一点x0(a,b),

使得f(x0)=0.看图.0abxyABx0x0x0定理1中的x0,就是方程f(x)=0的根.因此,也称定理1为根的存在定理.闭区间上连续函数的性质定理2.(介质定理),设f(x)C[a,b],f(a)f(b),则对于介于f(a)和

f(b)之间的任意一值c,至少存在点x0(a,b),

使得f(x0)=c.看图.x0C0bxyf(a)af(b)y=f(x)证:

令F(x)=f(x)–c.则F(x)在[a,b]上连续,且F(a)F(b)=(f(a)–c)(f(b)–c)<0由根的存在定理,至少存在x0(a,b),

使得F(x0)=0.即,f(x0)=c.例1.

证明方程ln(1+ex)=2x至少有一个小于1的正根.证:

记f(x)=ln(1+ex)–2x,知f(x)在[0,1]上连续.且f(0)=ln2>0,f(1)=ln(1+e)–2