与圆有关的最值问题优秀教案

——与圆有关的最值问——生涯规划在数学学习中的渗透吴兴国

高中数【教材析】圆的教学在平面解析几何乃至整个数学中都占有重要的地位，而直线和圆的位置关系的应用又比较广泛，其中的最值问题在生活实际中更为广泛应用。与圆有关的最值问题，又为圆锥曲线中的最值问题的学习奠定了根底，为线性规划的复习加深稳固。其思想方法也为以后解决高考重点问题直线与圆锥曲线的位置关系问题提供思想、方法上的铺垫，近年高考试题也常考。考纲考情：1、掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程2、判断点、直线、圆间的位置关系3、初步了解代数法处理几何问题的思想命题方向：考查角度圆的方程与圆有关的轨迹问题与圆有关的最值问题核心素养：素养

数学抽象

逻辑推理

数学建模

直观想象

数学运算

数据分析达成全国卷5年3考，命题指数：★★★★☆20xx年全国III卷，北京卷，天津卷均有考题【学情析】

●学生在高一时已经学习了有关直线与圆的知识握了判断直线与圆的位置关系的方法；高二时还学习了线性规划问题中的三种典型最值模型；还学习了有关圆锥曲线的知识，能够解决一些基此题型且掌握了解析几何的一些常用的数学思想方法数形结合的思想；高三初期，还学习了极坐标与参数方程。但是因间断学习和间隔时间比较长，所以有些知识有些淡忘且不能融会贯穿。所以这节课主要是通过典型题目起到复习根本知识总结规律的作用。【渗透涯内容】数学来源于生活，学习了数学要用于指导生活。我们高生要指导自己的善思，严谨，多变、分析与综合的思维活动。通过本节课的学习，解题的思想方法指导生活，了解选择大学专业的方法和与数学密切相关的专业。更好规划生涯【教学目标】通过本课的学习，理解与圆有关的三种最值问题的转化方法；培养数形结合、

min划归转化的数学思想；体会它与生涯规划的关系。min【教学难点】点：三种模型求解方法、转化方法。难点：题型升华、解题时的转化思想，蕴含的生涯规划内容的挖掘。【授课年级】高三年级【教学策略】讲练结合【教学准备】教师准备：组织本课题例习题的筛选或编制，挖掘教学内容或解题方法蕴含的生涯规划内容；课件〔含教学案〕的制作准备直线与圆、线性规划、极坐标与参数方程的知识准备。【教学过程】【知识梳理】圆：x

2

y

2

的圆心

半径，半径x)2y)r的圆心圆的参数方程为：圆坐标方=2cosC(,)到直线的距0【例1】实数x、满足方程2＋2－4x＋＝0.求：

，斜

y(1)的最大值和最小值；x

(2)

2

2

的最大值和最小值．(3)y的最小值；解

(1)法一几何法1如图，方程2

y2

－4x＋1＝0表示以点(2,0)圆心，以3为半径的圆．y设=kkxyx则圆心2,0)直y距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由

|k

k

，

y2或k=.即,2maxmin〔法2也可平面何知，AC＝3，＝

3，

max

=

2P)，2〔法三：数法〕圆的参数方程为：

x3y3

(数，

，即,2x，即,2x于是

y3sin=ksinx33

3k

k

2

其tan|解k

2y22max【生涯划的启示三种解法——表达不方法解答同一问题我们选择上大学的途径有何启示？多种渠道上大学，选择自己的快捷途径〔文考、艺术、体育、留学、自主招生等活中办事也如此。【提升1.1实数x、满足方程2＋y24x＋＝0，求

yx

的取值范围解k

yx

3直k距32

，

33或k，即的取值范围(][333【提升数x、满足方程x2y2－4x＋1＝0，求

xyx

的取值范围【解答k

xyyy=2+xxx

，k3或k3即

xyx

的取值范围3][23,【提升1.3求函数y

sin

的值域解：y

sin

可看成是点P(3,2)线的斜率，点M是圆x2上的动点。问题转化成过点P的直线与圆有公共点时，直线的斜率的取值范围。圆心〔0,0〕到直kxy+3距

3k|12

34结合图形有

3333，即444【生涯划的启示】三个提升问题在纵向和横向变式但还是圆中最值的斜率模型。由此你认为对我们的生涯规划有何启示？

思考问题，不但要从纵深发散，还要从横向思考，全方位思考问题，才不会出漏洞，才更加严密，更加合理。在选择大学专业时，是不是要根据自己的思维情况，选择适合自己的专业学习呢？如有严密的逻辑思维能力，分类讨论问题做得好，考虑学法律、编程等专业；排列组合学得好，考虑管理类专业等。就大学专业而言，很多专业都与数学有关，比方经济学、统计学、运筹学等专业，剥掉外衣，就是学数学。【例1】〔几何〕2＋y2是圆上点与原点的距离的平方，故连OC，与圆交于B点，并延长交圆于C，则x2＋y2＝OC′|2

＝(2＋3)27＋43，x2

＋y2

)＝OB2

＝(2－3)2

＝7－43.〔代数法23cos23sin3(x2)

3;(x22

min

在解答问题时，需要选择快捷的方法，很多时候，更重要的是需要将问题进行转化。看变式【提升定点(1,0),B(1,0)C:(x2上的动点P|2PB2的最大值和最小值，并求相应的点坐标【解析】(几何法设(x,)|PA|PB|y22xy2上式中x

2

2

相当于(x

2

y4)

2

4上的点到原O的距离的平方。当O(0,0),,(3,4)共线时，即y

x，x

2

2

取最

值。S

max

2(|OC|220OC+2100x(x

y4)

x得y

的最大值100点P的坐标(

9的最小值是20时点P的坐标〕〔代数〕设()，PA2

|

x

y

2

x2

2

2(x

2

2

0点Px在圆上，xy2xy0yxy

(数4[3(32cos2sin10]8sin

3其(0)42010043tanos,sin55当S2

x

2155当时

332sin

4，cos5x3cos0

69812y4555的最大值100点P的坐标(

9的最小值是20时点P的坐标【提升为函数(x)

x

的图象上任意一点Q为

2

2

2

任意一e为自然对数的底数则线长度的最小值为【解析】圆C(e

2

，先PC的最小值，设Pte

t

),f

x

，故以P点为切点的切线方程ly

t

t

)当时，

tte

e2tt，此时)函数图象上任意一点P到圆心的距离大于等于点C到切点的距离

2。所||

的最小值e

。【生涯规划启示这两个提升问题有点难度，但是将问题转化，也不难哈。你觉得它给我们

带来的启示是啥？在生活中，处理问题要善于将较复杂的问题转化为简单明了的问题。比方在报考大学专业时，都难选，其实有两个问题解决了就简单了〕找到高考分数的适合区问问自己的心向哪里？【例】(3)〔何法〕y－xb，y＝＋b，仅当直＝xb与圆切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的距离公式，得

－0＋b|2

＝3，即＝－2±6，故(y－x＝－2－6.〔代数法〕y3

3cos

(y

max

y)

min

6【提升于x的方程x＋b＝3－4x－2有解，则b的取值范围是_____________【解析】

方程x＋b＝3－4x－2

有解，等价于直线＋b与曲线y＝－4x－x

有公共点。由y＝3－4xx得(x2)2＋y3)24(1≤≤3)．∴曲线y＝3－4xx

是半圆，如图中实线所示．当直线y＝xb与圆相切时，

|23＋b|2

＝2.∴b＝1±22.由图可知b＝1－22.∴b的取值范围是[－22，]【生涯划启示】提升问题看似与例题无关转化后借用的最值问题的求解方法得解。由此，对你的高习生涯中，寻找学习方法有何启示？A问题看起来与B问题无关善于转化其实就是一样的比方学习好数学的方法与学习语文的方法，很大程度上讲是不一样的，其实可以将其学习语文分析课文的方法〔明线、暗线，作者寓意分析等〕转移到今天的数学学习上来，今天的这节课，你会有很大收获。复制成功者的思维和行为=复制成功者的结果。【例〔20xx全国Ⅱ改〕在直角坐标xOy中，以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲的极坐标方程为4cos上，面积的最大值

设点的极坐标)，曲线

1【解析C直角坐标方程x2)1

2

y

2

4．设B极坐标(

B

0)．B由题设||B

，于OAB积S

|||B3

)2

．

时，取最大值3．所面积的最大值3．【变式全国Ⅱ卷改〕在直角坐标xOy

cos中，曲线C：t为参数，t≠0〕y其0≤

在以O为极点轴正半轴极轴的极坐标系中曲2sin2

C：3

假C相交于点C相交于点，|AB|11

的最大值【解析】曲的极坐标方程其1

．因此A到极坐标(2sin

极坐标(23cos

所以AB3in(，

时，AB取得最大值，最大值4．【小结把有关式子进行转化利用所给式子的几何意义解题，充分表达了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化为常见，要注意熟记：(1)形如m

y－x－

的最值问题，斜率模型；(2)形如＝ax＋by最值问题，截距模型；(3)形如m(x－a2＋(－)2的最值问题，距离模型解题思〕几何法：数形结合转化为直线与圆的位置关系求解。〔2〕代数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解。【生涯划启示】学来源于生活，学习了数学要用于指导生活。我们高生要指导自己的善思，严谨，多变、分析与综合的思维活动。通过数学学习了解以下专业与数学密切相关。更好规划生涯。数学与息、经管

国际经济与贸易

网络工程数学与应用数学财政学经济管理类心理学信息科学计算机科学与技术金融学

财务管理

会计学物联网工程银行与国际金融经济学类管理科学投资学农林经济管理工商管理场营销工业工程

电子信息金融工程应用统计学农产品加工及储藏工程数理与学、技术

法学。测控技术与仪器

飞行器动力工程

材料科学与工程

自动化

工业设计

城乡规划材料学类

数理经济

交通工程

生物医学工程

物理学

海洋工程类

电子信息科学与技术

纺织类地理科学集成电路设计车辆工程

建筑学

通信工程专业机械工程系

生物技术生物科学

生物工程

装甲车辆工程

飞行器设计与工程

仪器科学与技术

信息工程

化学工程与工艺生命科学材料化学土木工程专业理科试验班

交通运输〔智能运输〕自然地理学

应用物理

机械设计制造及其自动化土木工程等等【练习】1、两点(－1,0)，(0,2)点P是圆(x－1)2＋y2＝上任意一点，则面积的最大值与最小值分别是

()答案

B111A．2，(4－5)B.(4＋5)，(4－5)C.5，4－5222解析如图，圆心(1,0)直线AB：42xy＋2＝0的距离为＝，5

11D.(5＋2)，(5－2)22故圆上的点到直线AB的距离的最大值是

44＋1，最小值是－55

1，55又AB＝5，故△面积的最大值和最小值分别是2＋，2－.222:分别是C上的动112点,P为轴上的动点,则的最小值为〔〕A2

B．

C6

D．【解析如图C关轴的对称圆的圆心(2半径为1C1

2的圆径为3，PMPN|

的最小值为圆与的圆心2距离减去两圆的半径和，即2)

(4

2，选A3、(20xx全国卷Ⅲ)直线x0分别xy轴交于点，

点P在xy，则积的取值范围是A

B[4,8]

C[2]

D[22,32]【解析】圆(2,0)到直线的距d

||2

，所以点到直线的距离2,32]．根据直线的方程可，B两点的坐标分别为A2,0)，(0,，所|AB2所的面

|d2．1因2,32]，所S，ABP积的取值范围[2,6]．应选A．4、(20xx北京)在平面直角坐标系中，为点变化时，d的最大值为A．1B．C3D．4

到直x的距离，当【解析】由题意可

cos

|2

msin

m2

mm

sinm2

m2

|

2m2〔其

2

2

,∴

2m|2

d≤

2mm

，

2m2

2m

，∴m时d取得最大值3，应选C5为直线y=x+1上任一点为圆Cx

2

2

上任一点

PQ

的最小值为.解：如图1，圆心C到直线+1的距d22

，圆半r，故PQ26A(0,1),(2,3),Q为圆x2y2上任一点，的最小值为.QAB【分析】此题要的最大值，因为线段AB为定长，由三角形面积公式可知，只需求Q到

l

AB

的最小值〞，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离〞，解：如图2，设为Ql的距离，则AB

AB222

y

yP

BAQOC

x

QO

x图17直线+1上一点向圆x

2

图2引线，则切线长的最小值为【分析一般地，当直线和圆切时，应连接圆心和切点，构造直销三角形进行求解．因为PA

，故即求PC的最小值，解：如图3PA

PC

，∵min

2∴PAmin

8、直线y=x+1上一动点，P作圆x

2

2

的切线，PB,A为切点，则当PC=

时最大．【分析，故即求APC的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC的最小值，解：如图，CPBCPAsinAPC

PC

,∵,PC2min

时APC最大，APB最．y