2021北京汇文中学高二（上）期中数学（教师版）

12/122021北京汇文中学高二（上）期中数学一.选择题（每题5分，共10小题）1．（5分）若，2，是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是A．，1， B．，6， C．，， D．，6，2．（5分）若，表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定3．（5分）已知，2，关于面的对称点为，而关于轴的对称点为，则A．，4， B．，0， C．，4， D．，0，4．（5分）若向量，，，，且与的夹角余弦为，则A．2 B． C． D．5．（5分）已知，，则直线的斜率为A．2 B．1 C． D．不存在6．（5分）圆心为且过点的圆的方程是A． B． C． D．7．（5分）焦点在轴上的椭圆的离心率是，则实数的值是A．4 B． C．1 D．8．（5分）设椭圆的两焦点分别为，，若在椭圆上存在点使得，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，9．（5分）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则椭圆的离心率是A． B． C． D．10．（5分）已知，分别是椭圆的左，右焦点，，分别为椭圆的上，下顶点．过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点．△的周长为8，且直线，的斜率之积为．则椭圆的方程为A． B． C． D．二.填空题（每题5分，共6小题）11．（5分）正方体中，为中点，则直线垂直于直线吗？填“是”或“不是”．12．（5分）已知直线与直线平行，则实数．13．（5分）双曲线的渐近线的方程为．14．（5分）已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数；直线的方程为．15．（5分）已知为双曲线的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为．16．（5分）设、是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，△是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为．三.解答题（共4道大题，17，18题每题17分，19，20题每题18分）17．（17分）已知圆．（Ⅰ）试写出圆的圆心坐标和半径；（Ⅱ）圆的圆心在直线上，且与圆相外切，被轴截得的弦长为10，求圆的方程；（Ⅲ）过点的直线交（Ⅱ）中圆于，两点，求弦的中点的轨迹方程．18．（17分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线与椭圆交于、两点，与以为直径的圆交于、两点，且满足，求直线的方程．19．（18分）如图，已知与椭圆：交于，两点，过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为．（1）求直线与的斜率之积；（2）若直线与轴交于点，求证：与轴垂直．20．（18分）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）设二面角为，求与平面所成角的大小．

参考答案一.选择题（每题5分，共10小题）1．【分析】由题意可得只需找到与共线的向量即可．【解答】解：若，2，是平面的一个法向量，能作为平面的法向量的向量一定与共线，由，6，，2，，可得，6，能作为平面的法向量．故选：．【点评】本题考查平面的法向量的求法，以及向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于基础题．2．【分析】判断两平面的法向量的坐标的关系，可得它们的关系，进而得到两平面的位置关系．【解答】解：由，平，可得，可得，所以平面平面，故选：．【点评】本题考查平面的法向量的运用，以及两平面的位置关系，考查运算能力和推理能力，属于基础题．3．【分析】写出点关于面的对称点的坐标，横标和纵标都不变化，只有竖标变为原来的相反数，再写出关于横轴的对称点，根据两个点的坐标写出向量的坐标．【解答】解：，2，关于面的对称点为，根据关于面的对称点的特点得到，2，而关于轴对称的点为，点的坐标是，2，，0，．故选：．【点评】本题是一个空间直角坐标系中坐标的变化特点，关于三个坐标轴对称的点的坐标特点，关于三个坐标平面对称的坐标特点，我们一定要掌握，是基础题．4．【分析】由数量积的定义即可解决．【解答】解：，，，解得，故选：．【点评】本题考查数量积的定义，属于容易题．5．【分析】根据两点坐标求出直线的斜率即可．【解答】解：直线的斜率，故选：．【点评】此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．6．【分析】由已知利用两点间的距离公式求出圆的半径，代入圆的标准方程得答案．【解答】解：圆心为且过点，圆的半径，则圆的方程为．故选：．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础的会考题型．7．【分析】利用椭圆的简单性质，离心率写出方程即可求出的值．【解答】解：焦点在轴上的椭圆，可知，，，椭圆的离心率是，可得，解得．故选：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．8．【分析】求得椭圆的，，，在椭圆上存在点使得，等价为以为直径的圆与椭圆有交点，即有，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：椭圆的，，，在椭圆上存在点使得，等价为以为直径的圆与椭圆有交点，即有，即，即为，解得．故选：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查圆与椭圆的位置关系，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9．【分析】由点在椭圆上，，列出方程组能求出椭圆方程，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，，解得，，，椭圆的离心率是．故选：．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．10．【分析】由△的周长为8，可得，解得．设，，可得，由于直线，的斜率之积为，可得，代入化简可得．即可得出．【解答】解：△的周长为8，，解得．设，，则，直线，的斜率之积为，，，化为：，可得．椭圆的标准方程为：．故选：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（每题5分，共6小题）11．【分析】由题意在正方体中利用线面垂直的判定定理即可解决．【解答】解：正方体，，底面，，又、平面，平面，又为中点，平面，．故答案为：是．【点评】本题考查线面垂直的判定定理，属于容易题．12．【分析】由平行关系可得向量相等，排除截距相等即可．【解答】解：当时，第二个方程无意义，故，故直线可化为，由直线平行可得，解得故答案为：1或【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．13．【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得、的值以及焦点的位置，进而由双曲线的渐近线方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其中，，其焦点在轴上，其双曲线的渐近线方程为：；故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线渐近线方程的求法．14．【分析】由题意判断点在圆上，求出与圆心连线的斜率，可得的值，与直线的方程．【解答】解：因为点满足圆的方程，所以在圆上，又过点的直线与圆相切，且与直线垂直，所以切点与圆心连线与直线平行，所以直线的斜率为：，所以．直线的方程为，即故答案为：，．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．15．【分析】求出双曲线的，，，可设，设双曲线的一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到．【解答】解：双曲线的，，，则可设，设双曲线的一条渐近线方程为，则到渐近线的距离为，故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．16．【分析】利用△是底角为的等腰三角形，可得，根据为直线上一点建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：设交轴于点，△是底角为的等腰三角形，，且为直线上一点，，解之得椭圆的离心率为故答案为：【点评】本题给出与椭圆有关的等腰三角形，在已知三角形形状的情况下求椭圆的离心率．着重考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．三.解答题（共4道大题，17，18题每题17分，19，20题每题18分）17．【分析】（Ⅰ）化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标与半径；（Ⅱ）由题意设圆方程为，列关于，的方程组，求解得答案；（Ⅲ）设，由列关于，的关系式，化简可得的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）由圆，得．圆的圆心坐标为，半径；（Ⅱ）设圆方程为，则，解得，．圆的方程为；（Ⅲ）设，依题意有，即且．整理得：且．当时，，符合题意，当时，，符合题意．弦的中点的轨迹方程为．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）由题意可得，解出即可．（Ⅱ）由题意可得以为直径的圆的方程为．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线的距离及，可得的取值范围．利用弦长公式可得．设，，，．把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长．由，即可解得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，，．椭圆的方程为．（Ⅱ）由题意可得以为直径的圆的方程为．圆心到直线的距离，由，可得．．设，，，．联立，化为，可得，．．由，得，解得满足．因此直线的方程为．【点评】本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交的弦长问题、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．19．【分析】（1）设，，，联立，得，，设，，由此能求出直线与的斜率之积为．（2）由，得，从而直线的方程为，由此能证明直线与轴垂直．【解答】（1）解：设，，，联立，得，，，的横坐标互为相反数，设，，直线的斜率为，且，而，，，，都在椭圆上，，，，直线与的斜率之积为．（2）证明：，而，垂直，，，直线的方程为，令，得，点，直线上，，代入得到点的横坐标为，直线与轴垂直．【点评】本题考查直线与的斜率之积的求法，考查与轴垂直的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．【分析】先由已知建立空间直角坐标系，设，，，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明，，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；先求平面的法向量，再求平面的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得的值，最后利用空间向量夹角公式即