数据库原理及应用 教学课件作者 胡孔法第04章 关系数据库方法

第4章关系数据库方法

本章主要内容本章将主要介绍关系数据数据库的基本概念，关系运算和关系表达式的优化问题，其中关系运算和关系表达式的优化问题是本课程的重点内容之一。关系运算是关系数据模型的理论基础。（1）基本概念

关系形式定义，关键码（主键和外键），三类完整性规则，关系模式、关系子模式和存储模式。（2）关系代数

五个基本操作及其组合操作。

（3）关系演算

元组关系演算和域关系演算的原子公式、公式的定义。关系演算的安全性和等价性。（4）关系代数表达式的优化

关系代数表达式的等价及等价转换规则，启化式优化算法。关系数据库方法

4.1关系数据库的基本概念4.2关系代数4.3关系演算4.4关系查询优化本章小结4.1关系数据库的基本概念

4.1.1

关系的形式化定义

4.1.2

关系模式、关系子模式和存储模式4.1.3

关系模型的完整性规则

4.1.4

关系数据库模式4.1.1关系的形式化定义(1)1）关系的集合表示一个关系由若干个不同元组组成，因此，可把关系视为元组的集合。此外，关系中每个属性都有其相应的值域或简称域(Domain)。

例如，学生性别的域是｛男，女｝，学生成绩的域是0~100的整数集合。

假设一组域，是由D1,D2，…,Dnn个域组成。D1,D2，…,Dn上的D1×D2×…×Dn定义为集合：

D1×D2×…×Dn＝｛(d1,

d2,,

…,dn)｜di∈Di，i=1，2，…，n｝

其中:每个元素(d1，d2，…，dn)称为一个元组。若Di（i=1,2,…,n）为有限集，其基数为mi（i=1,2，…，n)

则D1×D2×…×Dn的基数为：4.1.1关系的形式化定义(2)【例4-1】设有二个域教师名域T＝｛胡恒，丁伟｝、课程名域C＝｛C语言，数据结构，计算机原理｝，由T和C的笛卡儿积定义为集合：T×C＝｛（胡恒，C语言），（胡恒，数据结构），（胡恒，计算机原理），（丁伟，C语言），（丁伟，数据结构），（丁伟，计算机原理）｝

该笛卡儿积的基数为2×3＝6，也就是说，T×C一共2×3＝6个元组.

4.1.1关系的形式化定义(3)如果取该笛卡儿积的这六个元素，并将它们放到一张名为T_C的二维表中，显然，这是一个关系。于是有下面的定义4-1。

4.1.1关系的形式化定义(4)定义4-1：一个在域D1,D2，…,Dn上的关系(Relation)就是笛卡儿积D1×D2×…×Dn的子集，用R(D1,D2，…,Dn)表示,

RD1×D2×…×Dn。

关系的成员为元组，即笛卡儿积的子集的元素(d1，d2，…，dn)。

例如，我们用教师名代替教师（假设无同名教师存在），用课程名代替课程，教师任教的课程可用关系TC（教师，课程）表示，它是教师名域和课程名域的笛卡儿积T×C的子集，任一学期教师任教的课程记录是这个关系的元组，如：

TC＝｛（胡恒，C语言），（丁伟，数据结构）｝表示本学期胡恒老师上C语言课程，丁伟老师上数据结构课程。4.1.1关系的形式化定义(5)2）关系的一阶谓词表示关系模型不但可以用关系代数表示，还可以用一阶谓词演算表示。

定义4-2：设有关系模式R，其原子谓词表示形式为P(t)。其中，P是谓词，t为个体变元，以元组为其表现形式。关系R(元组的集合)与谓词P(t)之间的联系描述为：

R＝｛t｜P(t)｝,

表示所有使谓词P为真或满足谓词P的元组t都属于关系R。关系R与原子谓词P之间的关系如下：

P(t)＝True，t在R内,P(t)＝Fals，t不在R内。例：｛t[姓名]｜t∈StudentANDt.性别＝‘女’｝4.1.1

关系的形式化定义(6)职工编号姓名部门性别年龄身份证号码2113程晓清销售部男303101107203064052116刘红英财务部女323101107005085062136李小刚管理部男283101107406095072138蒋民采购部男413101106108084062141王国洋销售部男39310110630909407表4.1职工表（实体集）可将关系看成是一张二维表格。(1)关系（表）可以看成是由行和列(5行和6列）交叉组成的二维表格。(2)表中一行称为一个元组。可用来表示实体集中的一个实体。(3)表中的列称为属性，表中的属性名不能相同。(4)列的取值范围称为域，同列具有相同的域，不同的列可有相同的域(5)表中任意两行（元组）不能相同。能惟一标识表中不同行的属性或属性组称为主键。4.1.1关系的形式化定义(7)3）关键码和表之间的联系在关系数据库中，关键码（简称键）是关系模型的一个重要概念。通常键由一个或几个属性组成，通常有如下几种键：(1)超键：在一个关系中，能惟一标识元组的属性或属性集称为关系的超键。(2)候选键：如果一个属性集能唯一标识元组，且又不含有多余的属性，那么这个属性集称为关系的候选键。(3)主键：

若一个关系中有多个候选键，则选其中的一个为关系的主键。用主键实现关系定义中“表中任意两行（元组）不能相同”的约束。包含在任何一个候选键中的属性称为主属性，不包含在任何键中的属性称为非主属性或非键属性。4.1.1

关系的形式化定义(8)职工编号姓名部门性别年龄身份证号码2113程晓清销售部男303101107203064052116刘红英财务部女323101107005085062136李小刚管理部男283101107406095072138蒋民采购部男413101106108084062141王国洋销售部男39310110630909407表4.1职工表（实体集）例如：表4.1的关系中，设属性集K=（职工编号，部门），虽然K能惟一标识职工，但K只能是关系的超键，还不能作候选键使用。因为K中“部门”是一个多余属性，只有“职工编号”能惟一标识职工。因而“职工编号”是一个候选键。还有“身份证号”也可以是一个候选键。另外，如果规定“不允许有同名同姓的职工”，那么“姓名”也可以是一个候选键。关系的候选键可以有多个，但不能同时使用，只能使用一个，譬如使用“职工编号”来标识职工，那么“职工编号”就是主键了。4.1.1

关系的形式化定义(9)(4)外键：若一个关系R中包含有另一个关系S的主键所对应的属性集F,则称F为R的外键。并称关系S为参照关系，关系R为依赖关系。例如，职工关系和部门关系分别为：职工（职工编号，姓名，部门编号，性别，年龄，身份证号码）部门（部门编号，部门名称，部门经理）职工关系的主键为职工编号，部门关系的主键为部门编号，在职工关系中，部门编号是它的外键。4.1.2关系模式、关系子模式和存储模式关系模型基本上遵循数据库的三级体系结构。在关系模型中，概念模式是关系模式的集合，外模式是关系子模式的集合，内模式是存储模式的集合。1）关系模式关系模式是对关系的描述，它包括模式名，组成该关系的诸属性名、值域名和模式的主键。具体的关系称为实例。一般形式是R(A1,A2，…,An)，其中R是关系名,A1,A2，…,An是该关系的属性名。例如关系模式T_C(T,C)。4.1.2关系模式、关系子模式和存储模式学生关系模式S(SNO,SNAME，AGE,SEX,DNAME)

课程关系模式C（CNO,CNAME，DNAME,TNAME）

选课关系模式SC(SNO,CNO,SCORE)

图4.1表示的实体联系图(ER图)转换成关系模式集如下：学生课程选课学号姓名性别年龄成绩所在系课程号课程名所在系教师mn例如，图4.1是一个教学模型的实体联系图。4.1.2关系模式、关系子模式和存储模式学生关系SSNOSNAMEAGESEXDNAMES1程宏19男计算机S3刘莎莎18女电子S4李刚20男自动化S6蒋天峰19男电气S9王敏20女计算机CNOCNAMEDNAMETNAMEC1计算机基础计算机孙立C2C语言计算机胡恒C3电子学电子钱敏C4数据结构计算机丁伟课程关系C关系模式是用数据定义语言(DDL)定义的。关系模式的定义包括：模式名、属性名、值域名以及模式的主键。由于不涉及到物理存储方面的描述，因此关系模式仅仅是对数据本身的特征的描述。SNOCNOSCORES3C387S4C379S1C288S9C483S1C376S6C368S1C178S6C188S3C264S1C486S9C278选课关系SCSNOSNAMEAGESEXDNAMES1程宏19男计算机S3刘莎莎18女电子……………SNOCNOSCORES3C387S1C288………SCSG4.1.2关系模式、关系子模式和存储模式SNOSNAMECNOSCORES1程宏C288S3刘莎莎C387…

……2）关系子模式有时，用户使用的数据不直接来自关系模式中的数据，而是从若干关系模式中抽取满足一定条件的数据。这种结构可用关系子模式实现。关系子模式是用户所需数据的结构的描述，其中包括这些数据来自哪些模式和应满足哪些条件。例如：用户需要用到成绩子模式G(SNO,SNAME,CNO,SCORE)。子模式G对应的数据来源于表S和表SC,构造时应满足它们的SNO值相等。子模式G的构造过程如图所示。3）存储模式存储模式描述了关系是如何在物理存储设备上存储的。关系存储时的基本组织方式是文件。由于关系模式有键，因此存储一个关系可以用散列方法或索引方法实现。如果关系中元组数目较少（100以内），那么也可以用堆文件方式实现．此外，还可以对任意的属性集建立辅助索引。4.1.2关系模式、关系子模式和存储模式

SCORE4.1.3关系模型的完整性规则(1)关系模型的完整性规则是对数据的约束。关系模型提供了三类完整性规则，实体完整性规则、参照完整性规则、用户定义的完整性规则。其中实体完整性规则和参照完整性规则是关系模型必须满足的完整性的约束条件，称为关系完整性规则。1）实体完整性规则实体完整性规则：关系中元组的主键值不能为空。2）参照完整性规则在关系数据库中，关系与关系之间的联系是通过公共属性实现的。这个公共属性是一个表的主键和另一个表的外键。外键必须是另一个表的主键的有效值，或者是一个“空值”。

4.1.3关系模型的完整性规则(2)导师编号导师姓名性别职称301程星女教授308刘成柄男副教授316吴海英女副教授

学号学生姓名性别研究方向导师编号98104程明男计算机30898106刘英女电子31698107韩伟海男自动化

98110刘刚男计算机318

导师研究生导师编号不允许是重复值和空值允许为空值这是一个错误值(引用了不存在的编码318)

例如，图4.4所示研究生表的主键是学号，不包含空的数据项；导师表的主键是导师编号，也不包含空的数据项，所以，这两个表都满足实体完整性规则。而学号为“98110”的研究生的导师编号为“318”，由于导师表中不存在导师编号“318”，所以这个值是非法的，违反了参照完整性规则。4.1.3关系模型的完整性规则(3)

3）用户定义的完整性规则这是针对某一具体数据的约束条件，由应用环境决定。它反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求。系统应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统方法处理它们，不再由应用程序承担这项工作。例如学生成绩应该大于或等于零，职工的工龄应小于年龄，等等。4.1.4关系数据库模式(1)一个关系数据库是多个关系的集合，这些具体关系构成了关系数据库的实例。由于每个关系都有一个模式，所以，构成该关系数据库的所有关系模式的集合构成了关系数据库模式。

例如，一个学生选课数据库系统的模式有下面三个关系模式构成：

S(SNO，SNAME，SEX，AGE，DNAME)C(CNO，CNAME，PRE_CNO)SC(SNO，CNO，SCORE）4.1.4关系数据库模式(2)关系数据库管理系统一般向用户提供四种基本数据操纵功能：(1)数据检索

数据检索是指按照用户指定的条件查询一个关系内的数据或多个关系间的数据。

(2)数据插入

在关系内插入一些新的元组。(3)数据删除在关系内删除一些元组。(4)数据修改

该操作实际上可分解为两个更基本的操作：先删除要修改的元组，再将修改后的元组插入。4.1.4关系数据库模式(3)上述四类数据操作的对象都是关系，这样，对关系模型的数据操纵可描述为：（1）操纵对象是关系。（2）基本操纵方式有五种：

属性指定，指定一个关系内的某些属性，确定二维表中的列。主要用于检索或定位。元组选择，用一个逻辑表达式给出一个关系中满足此条件的那些元组，确定二维表中的行。主要用于检索或定位。关系合并，将两个关系合并成一个关系。用以合并多张表，从而实现多张表间的检索和定位。元组插入。在一个关系中添加一些元组，用以完成数据插入或修改。元组删除。先确定所要删除的元组，然后将它（们）删除。用于数据删除或修改。4.2关系代数4.2.1关系代数的五个基本操作4.2.2关系代数的组合操作4.2.3关系代数表达式应用举例4.2.1关系代数的五个基本操作

关系代数操作集｛∪,－,×,σ,Π｝是个完备的操作集，任何其他关系代数操作都可以用这五种操作来表示。商品编号品名数量2008230冰箱192008234彩电502007156空调20(a）库存关系R设关系R和S具有相同结构的关系模式，R和S的并是由属于R或属于S的元组构成的集合，记为R∪S。形式定义如下：R∪S≡{t|t∈R∨t∈S}，t是元组变量，R和S的元数相同。例如：有库存和进货两个表（见下表），要将两个表合并为一个表，可利用并运算来实现。商品编号品名数量2008214电熨斗302008310微波炉18（b）进货关系S商品编号品名数量2008230冰箱192008234彩电502007156空调202008214电熨斗302008310微波炉18（c）并运算R∪S结果1）并（Union）2）差（Difference）设关系R和S具有相同结构的关系模式，R和S的差是由属于R但不属于S的元组构成的集合，记为R－S。形式定义如下：

R－S≡{t|t∈R∧t∉S}，R和S的元数相同。考生号2001321120011231200171562001812420013610(a)成绩合格考生号R例如：有考生成绩合格者名单和身体不合格名单两个关系，按录取条件将成绩合格且身体健康的考生中产生录取名单关系。(b)身体不合格考生号S考生号2001123120018124考生号200132112001715620013610(c)差运算R－S结果书P53页的例4.2

表4.6（a）WORKER(职工)E＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302068王飞2700452表4.6（b）MANAGER（经理）E＃NAMESALARYAGEDEPT＃068王飞2700452059曾富3200511表4.6（c）WORKER∪MANAGERE＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302068王飞2700452059曾富3200511表4.6（d）WORKER-MANAGERE＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302表4.8MANAGER×DEPTINFOE#NAMESALARYAGEM.DEPT＃D.DEPT＃DNAMEDTASK068王飞27004521技术部产品设计068王飞27004522市场部产品销售059曾富32005111技术部产品设计059曾富32005112市场部产品销售3）笛卡儿积(CartesianProduct)表4.7DEPTINFO（部门信息）DEPT＃DNAMEDTASK1技术部产品设计2市场部产品销售表4.6（b）MANAGER（经理）E＃NAMESALARYAGEDEPT＃068王飞2700452059曾富3200511[例4.3]:假定部门信息存放在表DEPTINFO中（见表4-6），则表MANAGER与表DEPTINFO的笛卡儿积如表4.7所示。笛卡儿积定义设有关系R和S，它们分别是n目和m目关系（即它们的属性个数分别为n和m），分别有p和q个元组。则关系R,S经笛卡儿积运算的结果T是一个n＋m目关系，共有p×q个元组，这些元组是由R与S的元组组合而成的。关系R与S的笛卡儿积记为R×S，形式定义如下：4）选择运算(Selection)

这个操作是根据某些条件对关系做水平分割，即在一个关系内选择符合条件的元组称为选择运算。选择运算可表示为：

σC（R）＝｛t｜t∈R∧C[t]=True｝C表示逻辑条件表达式。这个表达式按以下规则组成：①αθβ，其中α、β是属性名或常量，但α、β不能同为常量。θ是比较运算符，它可以是＜、≤、＞、≥、＝或≠。称αθβ为基本逻辑条件。②由若干基本逻辑条件经过逻辑运算∧（与）、∨（或）、­（非）构成复合逻辑条件。选择运算事例表4.6（a）WORKER(职工)E＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302068王飞2700452

表4.9E＃NAMESALARYAGEDEPT＃462李明2500311对表WORKER执行下列选择运算：5）投影(Project)这个操作是对一个关系进行垂直分割，即对一个关系内属性的指定称为投影运算。设关系R有n个属性：A1,A2，…，An，则对R上属性Ai1,i2，…,Aim（Aij∈｛A1,A2，…，An｝投影的结果记为：对例4-2中的表WORKER执行下列投影运算：∏NAME,AGE（WORKER）、∏DEPT＃(WORKER)

其结果如表所示。投影运算事例表4.6（a）WORKER(职工)E＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302068王飞2700452

表4.10∏NAME,AGE（WORKER）NAMEAGE张国华25李明31刘英明30王飞45表4.11∏DEPT＃（WORKER）DEPT＃12c关系代数操作的结果

（b）R∪S

（c）R－S（d）R×S

（e）πC，A（R）（f）σB='b'（R）事例关系R

关系S图(a)两个关系

fc4.2.2关系代数的组合操作1）交（intersection）

设关系R和S具有相同的元数n，相应的属性取自同一个域，则关系R和S的交记为R∩S，由既属于R又属于S的元组组成，其结果仍然一个n元关系。形式定义如下：

R∩S＝｛t｜t∈R∧t∈S｝,t是元组变量。

关系的交可以由关系的差来表示，即：

R∩S＝R－（R－S）或R∩S＝S－（S－R）例如：以上例中的WORKER和MANAGER为例，其交运算WORKER∩MANAGER的结果表4-5（E）所示。可以其按差运算WORKER－（WORKER－MANAGER）来计算，其结果分别如表4-5（E1）、表4-5（E2）所示。交操作事例表4.13（a）WORKER(职工)E＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302068王飞2700452表4.13（b）MANAGER（经理）E＃NAMESALARYAGEDEPT＃068王飞2700452059曾富3200511表4.13（E）WORKER∩MANAGER

E＃NAMESALARYAGEDEPT＃068王飞2700452E＃NAMESALARYAGEDEPT＃123张国华1800251462李明2500311263刘英明2100302表4.13（E1）WORKER-MANAGER

E＃NAMESALARYAGEDEPT＃068王飞2700452表4.13（E2）WORKER-(WORKER-MANAGER)

2）连接(Join)运算就是说，连接操作是笛卡儿积和选择操作的组合。

（1）条件连接条件连接运算又可称θ-连接，这是一个二目运算，通过它将两个关系合并成一个关系。设有关系S和n目关系R以及比较表达式iθj,其中i是R中的属性,j是S的属性,θ含义同前（比较运算符）。形式定义如下：【例4.8】设关系EMP表4.14表示职工的年龄和工龄情况，关系ELIT表4.15表示一个职工工作年限和可以享受的福利级别。使用下列θ连接：连接运算事例表4.14关系EMPNAMEAGEYEARS李亚当262王明303赵亮349陈宾4318表4.15关系ELITYEARSLEVEL1A3B5C10D

表4.16每个职工享有的全部福利(例4.8结果）NAMEAGEEMP.YEARSELIT.YEARSLEVEL李亚当2621A王明3031A王明3033B赵亮3491A赵亮3493B赵亮3495C陈宾43181A陈宾43183B陈宾43185C陈宾431810D

EMP×ELIT

NAMEAGEEMP.YEARSELIT.YEARSLEVEL李亚当2621A李亚当2623B李亚当2625C李亚当26210D王明3031A王明3033B王明3035C王明30310D赵亮3491A赵亮3493B赵亮3495C赵亮34910D陈宾43181A陈宾43183B陈宾43185C陈宾431810D（2）自然连接(NaturalJoin)R⋈S最常用的是θ-连接的一种特例，可以定义为:

R⋈SR⋈S计算的具体过程为:计算R×S；设R和S的公共属性是B1,

B2,

…,Bn，挑选R×S中满足

R.B1＝S.B1,…,R.Bn＝S.Bn的那些元组；去掉S.B1,…,S.Bn这些列（保留R.B1,…,R.Bn）。【例4.9】查询各部门经理及他们所在部门的信息。该查询可用一个自然连接运算实现：

MANAGER⋈DEPTINFO，其查询结果如表所示。自然连接事例表4.17MANAGER×DEPTINFOE#NAMESALARYAGEM.DEPT＃D.DEPT＃DNAMEDTASK068王飞27004521技术部产品设计068王飞27004522市场部产品销售059曾富32005111技术部产品设计059曾富32005112市场部产品销售表4.7DEPTINFO（部门信息）DEPT＃DNAMEDTASK1技术部产品设计2市场部产品销售表4.6（b）MANAGER（经理）E＃NAMESALARYAGEDEPT＃068王飞2700452059曾富3200511表4.18MANAGER⋈DEPTINFOE#NAMESALARYAGEDEPT＃DNAMEDTASK068王飞2700452市场部产品销售059曾富3200511技术部产品设计（3）半连接(SemiJoin)两个关系R和S的半连接运算定义为：表4.14关系EMPNAMEAGEYEARS李亚当262王明303赵亮349陈宾4318表4.15关系ELITYEARSLEVEL1A3B5C10D表4.19NAMEAGEYEARS王明3033）除法运算(Division）有关系R和S，R能被S除的条件有两个：一是R中的属性包含S中的属性；二是R中的有些属性不出现在S中。

R除以S表示为R/S或R÷S。

R÷S是由R中那些不出现在S中的属性组成，其元组则是S中所有元组在R中对应值相同的那些元组值。

表4.20SCS＃C＃S1C1S1C2S2C1S2C2S2C3S3C2表4.21CC＃C1C2C3表4.22SC÷CS＃S2除法运算计算过程设有关系R和S的元数分别为r和s，则R÷S是一个(r-s)元的元组集合，其计算过程如下：（a）T＝∏1,2,…,r-s（R）（b）W＝（T×S）－R（c）V＝∏1,2,…,r-s（W）（d）R÷S＝T－V

即R÷S＝∏1,2,…,r-s（R）－∏1,2,…,r-s（（T×S）－R）除法运算不是基本运算，它可由其他基本运算推出。除法运算计算事例（SC÷C）(a)T＝∏1,2,…,r-s（SC）S＃S1S2S3（T×C）S＃C#S1C1S1C2S1C3S2C1S2C2S2C3S3C1S3C2S3C3

SCS＃C＃S1C1S1C2S2C1S2C2S2C3S3C2(b)W＝（T×C）－SCS＃C#S1C3S3C1S3C3(c)V＝∏1,2,…,r-s（W）S＃S1S3(d)R÷S＝T－V

S＃S2表4.20SCS＃C＃S1C1S1C2S2C1S2C2S2C3S3C2表4.21CC＃C1C2C34.2.3关系代数表达式应用举例

关于教学数据库的关系模式如下：S（SNO，SNAME，AGE，SEX，DNAME）C（CNO，CNAME，PRE_CNO，TEACHER）SC（SNO，CNO，SCORE）（1）检索“陈军”老师所授课程的课程号（CNO）和课程名（CNAME）∏CNO,SNAME（σTEACHER=’陈军’（C））

（2）检索年龄大于21的男学生学号（SNO）和姓名（SNAME）∏SNO,SNAME（σAGE>21∧SEX=’男’（S））

（3）检索至少选修“陈军”老师所授全部课程的学生姓名（SNAME）∏SNAME（S⋈（∏SNO,CNO（SC）∏CNO（σTEACHER=’陈军’（C））

应用举例（4）检索“李强”同学不学课程的课程号（CNO）∏CNO（C）－∏CNO（σSNAME=’李强’（S）⋈SC）

（5）检索至少选修两门课程的学生学号（SNO）∏SNO（σ1=4∧2≠5（SC×SC）

（6）检索全部学生都选修的课程的课程号（CNO）和课程名（CNAME）∏CNO,CNAME（C⋈（∏SNO,CNO（SC）∏SNO（S））

（7）检索选修课程包含“陈军”老师所授课程之一的学生学号（SNO）∏SNO（SC⋈∏CNO（σTEACHER=’陈军’（C））

（8）检索选修课程号为k1和k5的学生学号（SNO）∏SNO,CNO（SC）∏CNO（σCNO=’k1’∨CNO=’k5’（C））

（9）检索选修全部课程的学生姓名（SNAME）∏SNAME（S⋈（∏SNO,CNO（SC）∏CNO（C）））

应用举例（10）检索选修课程包含学号为S2的学生所修课程的学生学号（SNO）∏SNO,CNO（SC）∏CNO（σSNO=’S2’（SC））

（11）检索选修课程名为“C语言”的学生学号（SNO）和姓名（SNAME）∏SNO,SNAME（S⋈（∏SNO（SC⋈（σCNAME=’C语言’（C）））））

（12）从关系SC中删除课程号为“C2”的课程成绩DELETETUPLE＝σCNO=’C2’（SC）SC＝SC－DELETETUPLE（13）将元组＜C6，数据库原理及应用，C4，胡拓＞插入课程关系C中NEWTUPLE＝＜C6，数据库原理及应用，C4，胡拓＞

C=C∪NEWTUPLE4.3

关系演算

把数理逻辑的谓词演算引入到关系运算中，就可得到以关系演算为基础的运算。关系演算又可分为元组关系演算和域关系演算，前者以元组为变量，后者以属性（域）为变量。

4.3.1元组关系演算

4.3.2域关系演算4.3.1

元组关系演算在元组关系演算（TupleRelationalCalculus）中，元组关系演算表达式简称为元组表达式，其一般形式为:{t|P（t）}

其中，t是元组变量，表示一个元数固定的元组；P是公式，在数理逻辑中也称为谓词，也就是计算机语言中的条件表达式。{t|P（t）}表示满足公式P的所有元组t的集合。设r目关系R和s目关系S的谓词分别为R(u)和S(v)，用它们表示并、差、选择、投影和笛卡儿积如下：1）并：R∪S＝｛t｜R（t）∨S（t）｝2）差：R－S＝｛t｜R（t）∧¬S（t）｝3）选择：σF(R)＝｛t｜R（t）∧F’｝

其中F’是条件表达式F在谓词演算中的表示形式。4）投影：5）笛卡儿积：下面首先介绍关系演算的原子公式定义，然后介绍关系演算公式定义。定义4.3:关系演算的原子公式（简称原子公式）定义如下：(1)原子谓词R(u)是原子公式，其中u为元组。(2)u[i]θv[j]是原子公式，其中u和v为元组,θ是比较运算符。(3)u[i]θa是原子公式，其中a是常量。(4)原子公式仅有上面三种定义方式。定义4.4：关系演算公式（简称公式）递归定义如下：

(1)每个原子公式都是一个公式。(2)如果φ1、φ2是公式，则φ1∧φ2、φ1∨φ2、¬φ1也都是公式。(3)如果φ是公式，φ中有元组变量t，则(∃t)(φ)、(∀t)(φ)均为公式。(4)公式仅由上面三种定义方式。在公式中运算符的优先次序为：比较运算符最高量词∃、∀次之，否定符¬再次之，最后是∧∨（与或）运算。加括号时，括号中运算优先。元组关系演算表达查询事例设有关系模式S(S#,SN,SEX,SA,SD)例4.11：列出计算机科学系CS的所有学生：例4.12：列出所有年龄大于或等于20的学生：例4.13：求学生姓名及所在的系：例4.14：设有关系模式R(A,B,C)和S(B,E)，用元组关系演算表示连接运算如下:元组关系演算事例例:下图的（a）、（b）是关系R和S，（c）～（g）分别是下面五个元组表达式的值

元组关系演算的例子

R1={t|S（t）∧t[1]>2}R2={t|R（t）∧┐S（t）}R3={t|（u）（S（t）∧R（u）∧t[3]<u[2]}}R4={t|（u）（R（t）∧S（u）∧t[3]>u[1]）}R5={t|(u)(v)(R(u)∧S(v)∧t[1]=u[2]∧t[2]=v[3]∧t[3]=u[1]∧u[1]>v[2])}4.3.2域关系演算

域演算的运算符基本上与元组关系演算相同，主要区别是公式中的变元不再是元组而是元组分量的域，简称域变量。域演算表达式的形式是：｛X1，X2，…，Xk｜Φ（X1，X2，…，Xk）｝原子公式有三类：(1)R（X1，X2，…，Xk）,R是K元关系，Xi是域变量或常量。R（X1，X2，…，Xk）表示由分量X1，X2，…，Xk组成的元组属于R。(2)XθY，X、Y是域变量,θ是算术比较符，XθY表示X与Y满足比较关系θ。(3)Xθc或cθX,这里c为常数，表示域变量x与常数c之间满足比较关系θ。A

B

C

A

B

C

D

E

A

B

C

A

B

C

B

D

A

1

2

3

1

2

3

7

5

4

5

6

1

2

3

5

7

4

4

5

6

3

4

6

4

8

4

5

6

8

7

7

7

8

9

5

6

9

7

8

9

8

4

7

3

4

6

域关系演算事例例：下图（a）、（b）、（c）是三个关系R、S、W，（d）、（e）、（f）分别表示下面三个域表达式的值。（a）关系R（b）关系S（c）关系W（d）R1

（e）R2

（f）R3域关系演算的例子

R1={xyz|R（xyz）∧x<5∧y>3}R2={xyz|R（xyz）∨（S（xyz）∧y=4）}R3={xyz|（u）（v）（R（zxu）∧W（yv）∧u>v）}4.4关系查询优化用户输入查询查询的内部表示执行查询步骤向用户报告查询结果查询语句的句法分析查询优化处理查询查询是数据库的最基本、最常用、最复杂的操作。数据库的查询一般从查询语句出发，直到获得查询结果，需要一个处理过程，这个过程叫做查询处理。在关系数据库的查询中用户不必关心查询语言的具体执行过程，而由DBMS确定合理的、有效的执行策略，称为查询优化。

4.4.1查询优化的一般策略

(1)尽可能早地执行选择、投影等一目运算。(2)把先做笛卡儿积，后做选择结合起来，使之成为一个连接运算。(3)同时计算一串选择和一串投影运算，以免分开运算造成多次扫描文件。(4)找出表达式里的公共子表达式。(5)适当的预处理。(6)把投影同其前面的双目运算结合起来，没有必要为了去掉某一个或某几个属性而扫描一遍关系。4.4.2关系代数优化

1）表达式的求值

两个等价的关系代数表达式E1和E2等价，记为E1=E2，就是说，当两个表达式中的同名变量代入相同关系后产生相同结果。基于这一定义，可得到许多代数表达式的等价转换规则。第一种定义：关系是一个k一元组(k-tuples)的集合，其中k是固定的。两个关系相等，当且仅当有相同的元组集合。第二种定义：关系是从属性名到其值域的映射的集合；按这种定义，如果两个关系有相同的映射集，它们是相等的。2）关系代数等价变换规则⑴连接和笛卡儿积的交换律

⑵连接和笛卡儿积的结合律

(E1

×

E2)×

E3＝E1

×(E2×

E3)

E1×E2＝E2×E1等价变换规则⑶投影的串接

⑷选择的串接

⑸选择和投影的交换

其中：更一般地，如果F1只涉及到E1中的属性，而F2涉及到E1和E2两者的属性,则：等价变换规则(6)选择移入笛卡儿积如果F中所涉及的属性都在E1中，那么:

如果F是F1∧F2形式，并且F1只涉及E1中的属性,F2只涉及E2的属性,则：等价变换规则⑺选择与并运算交换

⑻选择与差运算交换⑼投影移入笛卡儿积设A1，…,An是E1的属性，中出现的B1，…，Bm是E2的属性，则：⑽投影移入并运算3）代数优化的算法下面给出一个通用的优化算法：优先应用单项的选择和投影；优先应用一般选择和投影；对笛卡儿积、并运算、差运算，若它们前面加有选择和投影，则先做选择和投影。

优化算法算法：关系表达式的优化输入：表示关系代数表达式的语法分析树输出：计算这个表达式的程序方法：(1)使用规则④把形式为的选择变成选择串接的形式：(2)对每个选择用规则④~⑧，尽可能地将选择向树的叶端移动。(3)对每个投影，利用规则③，⑨，⑩和一般化规则⑤，将投影尽可能地向树的叶端移动。(4)利用规则③~⑤把串接的选择和投影组合为一个选择、一个投影或带投影的选择。(5)把所得到的树的内部结点划分成组。

图书管理数据库，其关系如下：

BOOKS(LC_NO,TITLE，AUTHOR，PNAME）PUBLISHERS(PNAME，PADDR，PCITY)BORROWERS(CARD_NO,NAME，ADDR，CITY)LOANS(CARD_NO，LC_NO，DATE)为了解借书情况，我们定义一个关系XLOANS存放借书信息。XLOANS是关系BOOKS,BORROWERS和LOANS的自然连接，即：

其中,F是条件表达式：

BORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO∧BOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NOS是投影表达式：

TITLE,AUTHOR,PNAME,LC_NO,NAME,ADDR,CITY,CARD_NO,DATE表达式的语法分析树∏TITLE,NAMEσDATE<01/01/1999∏TITLE,AUTHOR,PNAME,LC_NO,NAME,NAME,ADDR,CITY,CARD_NO,DATE

σBORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO∧BOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NO××BOOKSBORROWERSLOANSσBORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO∧BOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NO分解成σBORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO和σBOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NO两个运算将三个选择尽可能向树叶端移动将该语法树中的两个投影合并为一个投影运算

。

选择下移且合并投影后的语法树∏TITLE,NAMEσDATE<01/01/1999σBOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NO××BOOKSBORROWERSLOANSσBORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO在上面的笛卡儿积运算乘积之下增加一个投影运算：∏TITLE,NAME,BOOKS.LC_NO,LOANS.LC_NO并将投影替换分解成两个投影，一个是作用在BOOKS上：∏TITLE,BOOKS.LC_NO另一个是作用在笛卡儿积右边：∏

NAME,LOANS.LC_NO进一步优化后的语法树

BORROWERS∏TITLE,NAMEσDATE<01/01/1999σBOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NO××BOOKSLOANSσBORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO∏TITLE,BOOKS.LC_NO∏NAME,LOANS.LC_NO最下面的笛卡儿积运算运算前增加两个投影运算：∏

NAME,BORROWERS.CARD_NO∏LOANS.LC_NO，LOANS.CARD_NO最后的语法树

∏TITLE,NAMEσBOOKS.LC_NO=LOANS.LC_NO××BOOKSσBORROWERS.CARD_NO=LOANS.CARD_NO∏TITLE,BOOKS.LC_NO∏NAME,LOANS.LC_NOσDATE<01/01/1999LOANSBORROWERS∏NAME,BORROWERS.CARD_NO∏LOANS.LC_NO,LOANS.CARD_NO4.4.3基于存取路径的规则优化

1）选择操作的实现和优化选择条件分为等值、范围和集合三种。选择操作的实现方式：顺序扫描

索引技术无序索引排序索引

多属性索引

散列技术

排序和簇集虽然对某些查询有利，但在插入新元组时，要移动其他元组，而且修改该关系上的所有索引，就十分费时了。关系只对按排序或簇集的这个属性上进行查询有利，而对其他属性上的查询没有什么好处，还要额外地增加索引维护的开销。

(1)如果是小关系，则直接使用顺序扫描，不考虑其他存取路径。(2)如果无索引或散列等存取路径可用，使用顺序扫描。(3)对于主关键字等值查找，如果最多只有一个元组中选，则优先采用主关键字上的索引或散列。(4)对于非主属性等值查找，若选中元组个数在关系中所占的比例。小于20％，使用无序索引，否则，使用簇集索引或顺序扫描。(5)对于范围查找，可以先通过索引找到范围的边界，再沿索引顺序集搜索。(6)对于用AND连接的合取条件，最好使用相应的多属性索引。(7)对于用OR连接的析取条件表达式，只能按各个子条件分别选出相应的元组集合，然后计算这些元组集的并。(8)因为采用索引结构能够提高检索速度，所以，只要有可能，应优先使用索引查找。选择操作的启发式规则2）连接操作的实现和优化

（1）嵌套循环(NestedLoop）法

对于R的每个元组，S要顺序扫描一次。嵌套循环算法:／*设R有n个元组，S有m个元组*／(1)i←1，j←1(2)while(i≤n)(3)do｛while(j≤m)(4)do｛ifR(i)[A]＝S(j)[B](5)then输出<R(i),S(j)＞至T;(6)j←j＋1｝(7)j←1，i←i＋1;｝／*T为R,S连接的结果*／以R为外关系，S为内关系，用嵌套循环法进行连接时所需访问的物理块数为：若以S为外关系,R为内关系，则所需访问的物理块数为：其中：bR,bS分别为分配给R和S的物理块数,nB为可供连接用的缓冲块数（2）利用索引或散列寻找匹配元组法如果内关系有合适的存取路径（例如索引或散列），则可以考虑使用这些存取路径取代顺序扫描，以减少I/O次数，尤其当连接属性上有簇集索引或散列时，最为有利。如果连接属性中只有无序索引，在一般情况下要比嵌套循环法好，但不如簇集索引和散列那样效果显著。尤其当可供连接用的缓冲块增多时内关系的扫描次数将减少，每次循环从内关系所选的匹配元组数将增大，当每次循环所选的匹配元组数在内关系中占有较大比例（例如20％）时，用无序索引还不如顺序扫描。（3）排序归并法R.A233578…S.B123367…跳过跳过排序归并示意图排序归并算法(1)i←1，j←1;(2)while(i≤n)and(j≤m)(3)

do｛ifR(i)[A]>S(j)[B](4)

thenj←j＋1;(5)

elseifR(i)[A]<S(j)[B](6)

theni←i＋1；(7)

else｛／*R(i)[A]=S(j)[B]，输出连接元组*／(8)输出＜(R(i),S(j)＞至T;／*输出R(i)与S中除S(j)外的其他元组所组成的连接元组*／(9)p←j＋1(10)while(p≤m)and(R(i)[A]=S(p)[B])(11)

do｛输出<R(i),S(p)>至T;(12)

p←p＋1;｝

／*输出S(j)与R中除R(i)外的其他元组所组成的连接元组*／(13)k←i＋1；(14)while(k≤n)and(R(k)[A]=S(j)[B])(15)do｛输出<R(k),S(j)>至T;(16)

k←k＋1；｝(17)i←i＋1，j←j＋1；(18)｝｝（4）散列连接法(HashJoin)当连接属性R.A和S.B具有相同的域时，可以用A、B作为R、S的散列键，并用相同的散列函数把R和S散列到同一散列文件中。符合连接条件的R和S的元组必然位于同一桶中，但同一桶中的R和S的元组未必都满足连接条件。只要把桶中所有匹配的元组取出，就可以获得连接的结果。散列连接法的关键是要建立一个供连接用的散列文件。建立散列文件时，也可以在桶中不填入R、S的实际元组，而代之以它们的tid（元组标识）。可取出∏A（R）和∏B(S)附在相应的tid后。在连接时，以桶为单位，按∏A（R）＝∏B(S)条件找出匹配的tid对，在得到匹配的tid对后，可按tid对中的tid取出元组进行连接。连接方法的启发式规则①如果两个关系都已按连接属性排序，则优先用排序归并法。如果两个关系中已有一个关系按连接属性排序，另一个关系很小，方可考虑对此未排序的关系按连接属性排序，再用排序归并法连接。②如果两个关系中有一个关系在连接属性上有索引（特别是簇集索引）或散列，则可令另一关系为外关系，顺序扫描，并利用内关系上的索引或散列寻找其匹配元组，以代替多遍扫描。③如果应用上述两规则的条件都不具备，且两个关系都比较小，可以用嵌套循环法