第二节正项级数的审敛法_第1页
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文档简介

第二节正项级数及审敛法如果级数满足条件：称为正项级数定理1:正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。定理2（比较审敛法）如果两个正项级数（1）若（2）若证：设

较大一般项对应的级数收敛，则较小一般项对应的级数也一定收敛。

较小一般项对应的级数发散，则较大一般项对应的级数也一定发散。

和满足关系式收敛，则也收敛，发散，则也发散。（1）若则由定理1知,因此所以级数（2）若则由定理1知,因此所以级数推论：如果正项级数则定理2中的结论仍然成立。

定理1:正项级数收收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界。收敛，也有界，收敛；发散，也无界，发散；和从某项N之后满足关系式:例1：判定调和级数的敛散性。解：取因此有发散，取例2：讨论p—级数的敛散性解：（1）（2）当p>1时，例2：讨论p—级数的敛散性解：（2）当p>1时，即例2：讨论p—级数的敛散性解：（2）当p>1时，即有界，所以部分和数列因此级数收敛。

结论：p—级数当p>1时收敛；当p

1时发散。例3：判别级数解：的收敛性。所以所以原级数为正项级数。取而是收敛的几何级数，所以，是收敛的。（1）若（2）若且收敛，和则有相同的收敛性。则也收敛;（3）若且发散，则也发散;定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，0,收敛和有相同的收敛性。收敛;发散也发散;注意：若发散，不一定发散。定理3（比较审敛法的极限形式）设和都是正项级数，解：发散，例5：判别级数的收敛性。和有相同的收敛性，发散0,收敛和有相同的收敛性。收敛;发散也发散;定理3设和都是正项级数，（1）取则发散，因此若（或为+），则发散0,收敛和有相同的收敛性。收敛;发散也发散;定理3设和都是正项级数，（2）取则收敛，因此若收敛。则定理6（极限审敛法）设是正项级数，（1）如果（或为+),发散；则（2）如果收敛。则级数例如级数当n

时，故所给级数收敛说明：（1）使用比较审敛法（包括推论或极限形式），需选取一个适当的、收敛性为已知的级数作为比较对象。（2）常用的比较对象有：等比级数、P-级数和调和级数。（3）比较对象的选取有时比较困难。定理4（比值审敛法，达朗贝尔判别法）如果正项级数的后项与前项之比的极限为：，则（1）当

<1时，级数收敛；（2）当

>1（或为）时，级数发散；（3）当

=1时，不能用此法判定级数的敛散性。比值审敛法的优点：无须寻找比较对象，直接利用级数自身的一般项，因此使用直观方便。例1：级数且有而调和级数是收敛的(p=2)，是发散的，但也有例2：判定级数解：因为x>0，故所讨论的级数为正项级数。

当0<<1时，

当x=1时，级数成为发散。的收敛性。

当

>1，即x>1时，发散；即0<x<1时，级数收敛；

比较判别法与比值判别法常结合使用。例3：判定级数解：因为所以故的收敛性。收敛，收敛。例4：判定级数解：比值判别法失效，需改用其它方法来判别。的收敛性。例4：判定级数的收敛性。解：而级数所以由比较判别法知也是收敛的。是

p=2的p

级数，故收敛

注意：当某个判别法失效时，不要盲目下结论，此时

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