高考数学常用结论集锦

当前第当前第页共10页高考数学常用结论集锦一.函数函数y二f(x)的图象的对称性：①函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称uf(a•x)=f(a-x)：=f(2a-x)=f(x)②.函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称：=f(x)=2b-f(2a-x)两个函数图象的对称性：①函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.a+b②函数y=f(mx_a)与函数y=f(b_mx)的图象关于直线x对称.2m特殊地：y=f(x_a)与函数y=f(a_x)的图象关于直线x=a对称③函数y=③函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称的解析式为y=f(2a-x)⑧(lnx)」。⑶导数的四则运算法则：(U_v)>u[v;(uv)>uvx■uv;(u)v⑧(lnx)」。⑶导数的四则运算法则：(U_v)>u[v;(uv)>uvx■uv;(u)vuv—uv2v二.数列1.若数列、an｛是等差数列，Sn是其前S3kn项的和，kN，那么Sk,S2k-Sk，Qk一S2k成等差数列。如图所示:?3ka1a2-a3……_ak-ak1……_a2k-a2k1_a3kSkS2k其前n项和公式snS3k』2kn(a1-an)na.n(n-1)ddn2(a1d)n==na〔十d=—n十(a〔一一d)n222④函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为y--f(2a-x)对数的换底公式logaZ_logmN.推论logamb^-logab.alogmaam对数恒等式alogaN=N(a・0,a=1)4.导数：⑴导数定义：f(x)在点X0处的导数记作、八f(x)limf(X。：x)—f(X。)⑵常见函数的导数公式：①c=0:②(xn)=nxnJ:③(sinx)=cosx；aX)'二丄logae；x④(cosx)--sinx；⑤(ax)=axlna；@(eaX)'二丄logae；x等比数列：an』的通项公式a=aqn丄=an1q等比数列：an』的通项公式a=aqn丄=an1q其前n项的和公式sa1(1-qn)1-qna1,q=1=1na1,q=1三.三角函数1.同角三角函数的基本关系式Sin'COS、討，怡升沁，t亦COBJ.tan2「cos•cos.『：•；2.正弦、余弦的诱导公式fnn：\sin()=(-1)2sin?'n为偶数2!-1)2cosn为奇数即:奇变偶不变,符号看象限,如cos(.工V)=-sin:-,sin(2sin(二-:■)=sinJ.,cos(门rn(-1)2cos、丫，n为偶数COS(于•：•)=n1'(-1)2sin:-,n为奇数,JI、:丄亠)=cos：■2—■：■)^-cos:■5.若等差数列「an[的前2n-1项的和为S2n4，等差数列的前2n-1项的和为S2nJ，则电二空^bnS2nd,qn(n三n*)；等比数列、anJ的变通项公式an=amqn®和角与差角公式sin（卅二『■）=sinxcosl-：,二costsin:；cos（x二l：,）=costcos卩-sintsinI-；tan（芒二f'）凹tan-.sin（卅亠『）sin（:;『■）=si『二「sin^-（平方正弦公式）；1+tanottanPcos（l5）cosC--）=cos:-sinA-B■C=二：=C-A-B■C=二：=C-二-（A■B）=Kasina+bcosa=Ja2+b2sin（a+甲）（辅助角®所在象限由点（a,b）的象限决定,tan^=一）.a4.二倍角公式sin2：二sin：cos：._1-cos2：（降幂公式）tan2]_2tan：1-tana.2,sincos2：=cos2：-sin2：=2cos2：_1-cos2：（降幂公式）tan2]_2tan：1-tana.2,sincos5.万能公式：sin2:■6.半角公式:2tan1tan

sina1：:.cos:■,cos2:a_1「cos：■

sinatan■'27.三函数的周期公式=Asin（伙川门）,x€r及函数y函数二Acos（，X•「）,x€R（A,3，::为常数，且AZ0,）的周期T_2二.一|CO|函数8.二tan（XJ,x=k；—,kZ（A,2二sinx的单调递增区间为3，「为常数，且AZ0,3>0）的周期T=一©…一，2k二22.z单调递减区间为2k,2k—?k22对称轴为Tt二k二?"（kZ）,对称中心为k~,0（kZ）y=cosx的单调递增区间为&kp-ti,25]kwz单调递减区间为2兀,2加+兀]辰Z，对称轴为x=kr（k^Z）,k二匸,0KZ）2y=tanx的单调递增区间为Z，对称中心为（k-,0）（Z）对称中心为正弦定理a二bsinAsinB面积定理（1）s=1aha2玄=—c2RsinC-1bhb-^chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.22（2）c1,•小1,•"1•rSabsinCbcsinAcasinB■222⑶SOab=1、（|oa〒|ob_|）匸（oa—ob）2=^OAOBtan二（二为OA,OB的夹角）13.三角形内角和定理在厶ABC中，有_A•Bu2C=2二-2（AB）.2四.平面向量平面两点间的距离公式dA,B=|AB|=、.ABAB=（X2二xj2—仏二力）2（A（X1,%），B（X2,y2））.向量的平行与垂直设a=（%,yj,b=（屜，y2），且b=o，则a//b=b=Xa二Xry2-屜Y]=0.a_b（a=0）=a•b=0：=x1X2'y1y^0.3.线段的定比分公式设只（洛，％），P2（x2,y2），P（x,y）是线段RP2的分点，人是实数，且Ppi=^PP「，则xX1十扎X2一j_1+扎rOPyy1+心2J—1+&OP1+N_Op2uOP」—tOP「+(1t)OP「(t).1+人14•若OA=xOB-yOC,0不在直线AB上，则A,B,C共线的充要条件是x+y=1五.直线和圆的方程1.直线方程的五种形式：点斜式y—yrnkCx-xJ(直线丨过点P1(x1,y1)，且斜率为k).斜截式y=kxb(b为直线丨在y轴上的截距).(3)两点式、一仆_X—x1(yrV2)(巳(X",V")、P2(x2,y2)(X1=X2)).y?-y’一X2_X’截距式xy-1(a,b分别为x轴y轴上的截距，且a--0,b--0)ab—般式AxByC=0(其中A、B不同时为0).2•两条直线的平行和垂直(1)若l1:^k1xb|,l2:^k2xb2①11二Luk=k2,b=b2②h_Lu=-1.⑵若h:AxByG=0」2:A2XB2yC2=0,①l1一-12二AB2-AB=0且AC2-AG=0:②h_l2二AAB1B2=0；3.夹角公式—(l1:y=Kx+bi,l2：y=k2x十b2,式一1)1+k2k1tana=几比—A^i⑴：Ax+By+G=O’l?：Ax+B?y+G=0,AA+BD式0).A1A2+B1B2直线I1IL时，直线l1与l2的夹角是一.2直线l1到l2的角是tan喧'(h:y=匕，l2：y=k2xb2,Kk2=_1)k2k14•点到直线的距离已」A/「By。+C1(点p(x0,y0),直线i:Ax+By+C=O).JA2+B25•两条平行线的间距离d_|C2-C11(直线I1:AxByG=0,DAxByC2=0,0=C2))..A2B2圆中有关重要结论：(1)若P(X),y0)是圆(x-a)2•(y-b)2=r2上的点，则过点P(X),y0)的切线方程为(X)-a)(x-a)•(%-b)(y-b)二r2特例：若p(x0,y0)是圆x2•y2二r2上的点，则过点p(x0,y0)的切线方程为xx0yy0=r2⑵若p(x0,y0)是圆(x-a)2(y-b)=r2外一点，由P(X0,y0)向圆引两条切线，切点分别为A,B贝U直线AB的方程为(X]-a)(x-a)-t)(y-b)二r特例：若P(X0,y0)是圆xy=r外一点，由P(x0,y0)向圆引两条切线，切点分别为a,b则直线ab的方程为XXJ3■yy0=r2⑶若P(X),y0)是圆(x-a)2ly-b)2二r2内一点，以过P(x0,y0)的弦的端点为切点向圆作两条切线，则两切线的交点的轨迹方程为(x)-a)(x-a(y-b)(y-b)二r222特例：若P(X),y0)是圆xy二r内一点，以过p(x0,y0)的弦的端点为切点向圆作两条切线，则两切线的交点的轨迹方程为XX0yy^r2六.圆锥曲线1.椭圆(!)椭圆=1(a.b.0)的参数方程是COS.-I.sin二椭圆椭圆\o"CurrentDocument"22X.y\o"CurrentDocument"22X.y焦半径公式PF^aexo，PF?ra-eoF-F?分别为左右焦点=1(a.b.0)的准线方程为a2c，椭圆£¥“a*.0)的准线方程为心二的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为竺a科=1(ab刈上一点，F1，F2是它的两个焦点，/F1PF2=9,则厶PF1F2的面积=b2tan日,当点P与椭圆短轴顶点重合时.F,PF2最大；P是椭圆x2y2上一点,A,B是长轴的两端点，当点P在短轴端点时，.APB最大•12—=l(a>bA0)ab22x.y(5)P是椭圆x2-22

a椭圆=1(a.b.0)(6)若ab是过焦点f的弦，设AF=m,BF|=n,p表示焦准距，则丄m12+-=—nep2.双曲线22双曲线xya—口双曲线兰a2⑶P是双曲线x222-耸=1(a.0,b.0)的准线方程为y=红cbac的渐近线方程为上十丄=0,双曲线匚丄一(a7b7)的的渐近线方程为x±y=0a-bb2a2_'b_a；工=1(2乂,心0)上一点，F1，F2是它的两个焦点，/F1PF2=9则^PF1F2的面积=b2cOt^ab2⑷若ab是过焦点f的弦，设AF=mBF=n,P表示焦准距,ab交在同支时，丄.丄=mnep(5)双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过垂足。探等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项22(2)共轭双曲线：笃-爲=1ab(1)22=1(a>0,b>0)的准线方程为x—+a双曲线xb2'2yT=1(a0,b0)其性质：①渐近线相同；②焦距相同22与x_ya2b2(焦点不同)(3)渐近线相同的双曲线系方程为:2，ab交在两支时，112(设m：：：n)ep=其离心率分别为eq，丄+丄=[，寸e222yb2，0渐近线方程都是彳_丫=0'一丿ab(7)有心型二次曲线(圆、椭圆、双曲线)上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为焦点在x轴上，e2-1(对圆则是J为什么？)〈1焦点在y轴上，2e73.抛物线(1)y2=2px上的动点可设为P,y(27_、或P(2pt2,2pt)或p(x弓y：)，其中)y=2px■2(2)P(x0,y0)是抛物线y=2px上的一点,f是它的焦点，则|pf|=x0⑶抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦AB2性质：<1>.X1X2=p42；y1y2=—p;|AF|-|bF<3>.以AB为直径的圆与准线相切;<4>.以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；<5>.Saob其中二是焦点弦与x轴的夹角；7.点P是抛物线y22sin:=2px上的一点,F是它的焦点，v-：OF,FP'则2；p2卫—°/6焦点弦长|二2psin2-PFp1-cos二⑥AB的中垂线与X轴交于点R,(6)抛物线y2=2px(p>0)，对称轴上一定点A(a,0)，则AB=2FR①若a<p，顶点到点A距离最小，最小值为a；②若a二卩，抛物线上有关于X轴对称的两点到A的距离最小，最小值=1亠k2X=1亠k2Xi亠X2；—4XiX22-帅2AB=•1•k2-lal4、A，B是抛物线y2=2pX(p>o)上两点，则直线ab过定点m(a,0戸=-2ap(或x1x^a2)(1)先证“二•”设直线ab：X=my-a，与抛物线方程联立得y2—2mpy—2ap=0=・y1y^=-2ap从而可得x1x2=a2(2)再证“.二”2y「2mpy「2rp=0=yy=-2rp=-2ap二r=a2y「2mpy「2rp=0=yy=-2rp=-2ap二r=a5、抛物线『=2px(p>0)与直线y=kx+b相交于^x1,y1严化也且该直线与y轴交于点c(0,y3则有丄.丄二丄屮yy36、过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，自A、B两点向准线作垂线，垂足分别为A1,B1，则.AFB,=90°；其逆命题：若/_aFB1-90°，则A、F、B三点共线。※若点M是准线上任一点，则.AMB<9007、过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作两条互相垂直的动弦OAOB则①XX2=4卩2』〃2=/p2②直线AB过定点M(2p,0)③S^ab的最小值为4p24.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB=)(X1-X2)2(%-曲或AB=|x^x2LJ_k21-k2lal(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程丿=収+b消去y得到ax2+bx+c=0，也>0,k为直线的斜率)〔F(x,y)=0若(弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)由方程[y-kxF(x,y)-b=0消去x得至Uay2亠by亠c=0，-■■■■0k为直线的斜率)ABTy!-y2I1"k15.圆锥曲线F(X,y)=0关于点p(xo,yo)成中心对称的曲线是F(2xo-x,2yo「y)=0.求圆锥曲线的切线与切线有关的过定点问题22、,1、已知点Px0,y0是椭圆y1ab0上任意一点，求以点P为切点的切线方程。解：①若y0-0,设f“b21二七怡』\_,2丄2,22y_y0=—2x-x^=bX0X■ay0y=bX0ay0'f=b2ay。b2ay0②若y。：：：0,设fX=7，k=fX。③右y0=0,则P(4a,0)，则切线X=±a亦满足。故所求的切线方程为驾-孚ab=1。XoXyXoXy°y22二ab2、已知点Px0,y0是双曲线_x2_1a,0,b0上任意一点，求以点P为切点的切线方程。②若y0④,与①同理得笃x_yg=1ab③若y。=o,则p(曲,o则切线x=±a亦满足。故所求的切线方程为3、已知点PXo,yo是抛物线3、已知点PXo,yo是抛物线2解:fxX2=f■x0=丄x0x1切线：y-y0讨Xf=x0x=2P，2yoy..22..4、已知椭圆,y_=1ab0，点Pm,t是定直线丨：x=m上一动点，过点P作椭圆的两条切线PA、PB,A、a2b2B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设Ax,,y!,Bx2,y2，由第1题的结论，则独n三，则有竺.止t2.22.2abab■AB两点的坐标满足mx._Ly=1a2b2故直线AB:斗x+\y弓，由于m定t变，二令y=0=x=a］定值Y即直线AB过定点纟01abmm,点评：若点P(m,t)定直线丨：y=t上的动点呢？则直线AB过定点；兰\,t5、已知双曲线g_£=(a>€b：>0，点P(m,t)是定直线l：x=m上一动点，过点P可作双曲线的两条切线PA、a2b2，PB,A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设A")B(x2,y2卜由第2题的结论，则X1X~2~aX2X2a"b2__yjt"b2竽亠,AB两点的坐标满足故直线AB:mxjy丄，由于m定t变'—a*2令y=°=.X祐定值'即直线AB过定点AB过定点点评：若点Pm,t定直线I:y二t上的动点呢？只要能过其上的点作两条切线，则直线AB过定点6、已知抛物线x令y=0=X/，故直线MNrm注意:理解思路，试题一般会告知具体数字。变式：已知椭圆C：\b.0的上、下顶点分别是A令y=0=X/，故直线MNrm注意:理解思路，试题一般会告知具体数字。变式：已知椭圆C：\b.0的上、下顶点分别是A、B，设Qm,t是直线丨：y二t上的动点，若直线PB，A、B为切点，求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标。证明：设Axny,,Bx2,y2，由第3题的结论，则&m=p%,x>^=py2t-A,B两点的坐标满足mx=py・t故直线AB:mx=py-「t，由于口变t疋，.令x=o=y__t定值，即直线AB过定点0,」7、已知椭圆C：X：.y：Tab.0的左、右顶点分别是A、B,设Qmt,是直线l:x=m上的动点，若直线QA,QBa2b2与椭圆C分别交于M、N，求证：直线MN过定点「'H0]冋丿证明：y=—xa一ma=■b2x2-a2y2=a2b2jjm亠a?b2亠a2t2x2亠2aa2b2t2x亠aQA,QB与椭圆C分别交于M、N，求证：直线a2b2QA,QB与椭圆C分别交于M、N，求证：直线MN过定点:b2〕ft丿8、已知双曲线C：耳士^估刃心。的左、右顶点分别是A、B,设Qmt,）是直线l：x=m上的点，直线QA,QBa2b2'Miab2(m+a)-a3t22ab2t(m+a)](m+ajb2+a2t2(m+ajb2+a2t2』/2\同理"'a3t2-ab2(m-aj-2ab2t(m—a)|'22l(m-a)b2七:t2，(m-a)b2七:t2』MN2b2mt直线MN:MN2b2mt直线MN:b2m2y-2ab2y-2ab2tm：：.a(m知jb24a2t2与双曲线C分别交于M、N，求证：直线MN过定点色o]何丿9、已知抛物线y2=2pxp0的顶点为物线交于点M，直线OP与抛物线交于点，则直线MN过定点Aa,0证明：设P和，则M9、已知抛物线y2=2pxp0的顶点为物线交于点M，直线OP与抛物线交于点，则直线MN过定点Aa,0证明：设P和，则M勢m，直线OP:y2=2px得N2pa2

m2<pa，.直线MN:mmrm2]m22pa2x芍2p__m^■y=0=x=a点评：①过定点Aa,0的直线点评：①过定点Aa,0的直线MN与抛物线交于点M,N,经过点M和抛物线顶点O的直线交定直线1：x=-a于P，则PNx轴；②过定点A(a,0的直线MN与抛物线交于点M,N，作PN爭轴交定直线I：x=—a于P，则M,o,p三点共线。2210、已知点P是椭圆C：右”ab0上不同于左、右顶点A、B的任意一点，直线PA,PB分别交直线l:x=m于点M,N，则以MN为直径的圆经过定点证明：kpA=y1,kpB=y2,yy=：m2-a2e2-1m+am-af以MN为直径的圆：x-mx「m厂[y—y1y「y2=0,0令y=0=x=mb.m2_a2即过定点,0a代B两点，则在x轴上存在定点M卫0)，I2代B两点，则在x轴上存在定点M卫0)，I2>使MF始终平分•AMB。证明：设l*y=kxk不存在时显然成立(2丿设Ax，y,B“2则由y=kx-f=

y2=2px点评：过定点Mp°作直线l与抛物线y=2pxP.0交于点代B两点，点B与点B•关于x轴对称，则直线AB过定点f炉o丨222k222k2x2-pk22x-0，则xAxB=卫f44x2卷与咅岁x2.MF始终平分^AMB。2，12、过椭圆J+玲=[fa汕》0的左焦点F任意作直线丨与椭圆交于点A,B两点，则在X轴上存在定点m'1兰,oia2b2_c'使MF始终平分.AMB。点评：过定点M〔_a2,0'作直线l与椭圆三+丄二心汕乂交于点代B两点，点B与点BH关于X轴对称，则直线Ic'丿a2b2'丿AB•过定点（即焦点）F-c,013、过双曲线2222=1a0,b13、过双曲线2222=1a0,b^0ab的右焦点F任意作直线丨与双曲线交于点A,B两点，则在X轴上存在定点a2，使ML0点评：过定点MF始终平分.AMB。e作直线l与双曲线-0x2y20交于点A,B两点，点B与点B'关于x轴对称，则直线ABHa2_b2_（沖‘>）过定点（即焦点）Fc,022过定点（即焦点）Fc,02214、已知椭圆才舒1上有一点p（心y0），过P作倾斜角互补的两条直线pmPN分别与椭圆交于异于点P的两点MN,则直线MN点MN,则直线MN的斜率为定值2bX0，类似地，已知双曲线2ay°22爲—爲=1上有一点P“y。，过P作倾斜角互补ab2的两条直线PMPN分别与双曲线交于异于点P的