高考数学《直线和圆》专题学案：直线与圆、圆与圆的位置关系

■■■・・■■■■鬻点亮心灯~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■・・■■■■鬻第6课时直线与圆、圆与圆的位置关系基础过关直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为△,圆心C到直线丨的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切od=rO4=0相交oo相离oo圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r(R>,圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下条件：外离od>R＋r外切o相交o内切o内含o圆的切线方程TOC\o"1-5"\h\z圆x2+y2=r2上一点p(x0,y0)处的切线方程为I:.圆(x—a)2+(y—b)2=r2上一点p(x0,y0)处的切线方程为I:.圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上一点p(x°,y°)处的切线方程为.典型例题例1.过O：x2+y2=2外一点P(4,2)向圆引切线.⑴求过点P的圆的切线方程.⑵若切点为PfP2求过切点PfP2的直线方程.解：⑴设过点P(4,2)的切线方程为y—2=k(x—4)即kx—y+2—4k=0①则d=4^(1+k2・•・^2二4k=込解得k=i或k=丄“+k27・切线方程为：x—y—2=0或x—7y＋i0=0⑵设切点P](X],y」、P2(x2，y2),则两切线的方程可写成l1：xix+yiy=2,l2：x2x+y2y=2

因为点(4,2)在11和12上.则有4xi+2yi=24x2+2y2=2这表明两点都在直线4x+2y=2上，由于两点只能确定一条直线，故直线2x+y—1=0即为所求变式训练1：(1)已知点P(l,2)和圆C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过p作C的切线有两条，则k的取值范围是()A.kWRD.—痘<k<疸A.kWRD.—痘<k<疸33B.kV3设集合A={(x,y)|x2+y2w4},B={(x,y)|(x—1)2+(y—1)2wr2(r>0)}，当AnB=B时，r的取值范围是()A.(0，,'2—1)B.(0，1]C.(0，2—J'2]D.(0，,'2]若实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为()x1A.23(4)过点M(-3,--)且被圆x2+y2=25截得弦长为8的直线的方程为(5)圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2—4x—3=0和x2+y2—4y—3=0的交点的圆的方程是解：(1)D.提示：P在圆外.(2)C.提示：两圆内切或内含.(3)D.提示：从纯代数角度看,得t的范围。从数形结合角度看,设t=丄(3)D.提示：从纯代数角度看,得t的范围。从数形结合角度看,x-是圆上一点与原点连线的斜率，切线的斜率是边界.x(4)(4)3x+4y+15=0或x+3=0提示：用点到直线的距离公式，求直线的斜率．(5)x2+y2—6x+2y—3=0.提示：经过两圆交点的圆的方程可用圆系方程形式设出，其中的一个待定系数，可依据圆心在已知直线上求得.例2.求经过点A(4,—1)，且与圆：x2+y2+2x—6y+5=0相切于点B(1,2)的圆的方程.解：圆C的方程可化为(x+1)2+(y—3)2=5・•・圆心C(—1,3),直线BC的方程为：x+2y—5=0①又线段AB的中点D(5,丄),kAB=—122AB精诚凝聚="「=成就梦想―■■・・■■■■■・精诚凝聚="「=成就梦想―■■・・■■■■■・■■■・・■■■■鬻点亮心灯~~~///「v')\\\~~~照亮人生■■・・■■■■鬻・•・线段AB的垂直平分线方程为：y—-=x—-即x—y—2=0②22联立①②解得x=3,y=1・••所求圆的圆心为E(3,1),半径|BE|f：5.•.所求圆的方程为(x—3)2+(y—1)2=5变式训练2：求圆心在直线5x-3y=8上，且与坐标轴相切圆的标准方程.解：设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,•・•圆与坐标轴相切，a=±b,r=IaI又•圆心(a,b)在直线5x-3y=8上..5a-3b=8,a=±b由5a-3b8r=a|a=4a=1得b=4或b=-r=4r=1.所求圆的方程为：(x-4)2+(y-4)2=16或(x-l)2+(y+l)2=1.例3.已知直线I：y=k(x+2込)(k#与圆0：x2+y2=4相交于A、B两点，O为坐标原点.△AOB的面积为S．⑴试将S表示为k的函数S(k),并求出它的定义域.⑵求S(k)的最大值，并求出此时的k值.解：(1)圆心0到AB的距离d=三2生<1+k2由d<2二—1<k<1|AB|=^,，1^k2S(k)=4+：2|k2(1一k2)h+k2U(1+k2)2⑵解法一：据⑴令l+k2=tk2=t—1(1<t<2)S=4i：2:—斗+--1=4^2[-2(1-3)2+112tt48<4*2=2当1=3即k=_^时，等号成立..•.k=±F为所求.t433解法二：△ABD的面积S=丄|0A||0B|sinZA0B=2sinZA0B2・•.当ZAOB=90°时，S可取最大值2,此时，设AB的中点为C.厂则0C=7|0A|=2由0到直线的距离为|0C|=2：2'k1讥+k2得血J=込，k=士五"1+k23变式训练3：点P在直线2x+y+10二0上,PA、PB与圆x2+y2=4相切于A、B两点，求四边形PAOB面积的最小值..答案：8。提示：四边形可以分成两个全等的直角三角形，要面积最小，只要切线长最小，亦即P到圆心距离要最小．例4.已知圆C方程为：x2+y2_2x—4y—20=0，直线丨的方程为：(2m+l)x+(m+l)y—7m－4=0.证明：无论m取何值，直线l与圆C恒有两个公共点。求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求出此时的m值.提示：(1)用点到直线的距离公式，证明r2-d2>0恒成立.(2)求(1)中r2-d2的最小值，得直线l被圆C截得的线段的最短长度为4躬，此时的m3值为一4-变式训练4：已知圆系x2+y2—2ax+2(a-2)y+2=0，其中aHl,且a^R，则该圆系恒过定占八、、.答案：(1，1)．提示：将a取两个特殊值，得两个圆的方程，求其交点，必为所求的定点，故求出交点坐标后,只须再验证即可。另一方面，我们将方程按字母a重新整理，要使得原方程对任意a都成立,只须a的系数及式中不含a的部分同时为零.精诚凝聚==成就梦想―精诚凝聚==成就梦想―■■・・■■■■•■■・・■■■■■■・・■■■■鬻点亮心灯~~~///「/）\\\~~~照亮人生■■・・■■■■鬻小结归纳处理直线与圆、圆与圆的位置关系的相关问题，有代数法和几何法两种方法，但用几何法往往较简便．圆的弦长公式/=2