2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷

第26页（共26页）2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷一、解答题1．抛物线，过焦点作直线交抛物线于、两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，为顶点，若，求．2．抛物线，过焦点作直线交抛物线于，两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，准线交轴于点，若，求．3．已知实数，满足，求最小值．二、填空题4．已知，若，则在，，，中能确定的参数是．5．若三次方程有一个根是纯虚数，则实数．6．展开式中，常数项为．7．．8．点绕点顺时针旋转60度，所得的点的坐标为．9．方程所表示的曲线形状是．10．设，若，则．11．当实数、满足时，的取值与、均无关，则实数的取值范围是．12．在中，，若为内心，且满足，则的最大值为．三、选择题13．已知直线和，则A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对四、填空题14．抛物线的焦点为，在抛物线上，点处的切线与夹角为，则点的横坐标为．15．已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是．16．已知，，2，3，4，5，6，7，8，且，连接原点和，两点，则的概率为．17．．18．已知三棱锥的体积为10.5，且，，，则长度为．19．在中，，，，则边上中线长度为．20．若，则的图象大致为．21．定义，，已知，，则．22．方程的非负整数解的组数为．23．已知，，且，若满足，则．24．凸四边形，则是的条件．25．设函数的反函数为，则在，上的最大值和最小值的和为．26．若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是．27．已知、、、四点共圆，且，，，，则的长度为．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为．五、选择题29．下列不等式恒成立的是A． B． C． D．六、填空题30．向量数列满足，且满足，令，则当取最大时，的值为．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有种．32．直线，交于点，为平面上任意一点，若，分别为点到直线，的距离，则称为点的距离坐标．已知非负常数，，下列三个命题正确的个数是．（1）若，则距离坐标为的点有且仅有1个；（2）若，且，则距离坐标为的点有且仅有2个；（3）若，则距离坐标为的点有且仅有4个．

2020年上海市复旦大学自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、解答题1．抛物线，过焦点作直线交抛物线于、两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，为顶点，若，求．【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作的垂线，垂足记为．设，则，，可得，即可得，，利用可得，利用梯形面积公式即可得．【解答】解：过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作的垂线，垂足记为．设，则，，，．，，由在抛物线上，，解得，或（舍，，，，．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．2．抛物线，过焦点作直线交抛物线于，两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，准线交轴于点，若，求．【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作的垂线，垂足记为．设，则，，可得，即可得，，利用可得，利用梯形面积公式即可得．【解答】解：过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作的垂线，垂足记为．设，则，，，．，，由在抛物线上，，解得，或（舍，，，，．【点评】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题，是中档题．3．已知实数，满足，求最小值．【分析】先把用表示，问题转化为单变量问题，再利用基本不等式求最小值即可．【解答】解：因为，故，所以，当且仅当等号成立，所以最小值为．【点评】本题考查基本不等式的应用，属于基础题．二、填空题4．已知，若，则在，，，中能确定的参数是．【分析】先令和可得，再由得到．【解答】解：令，令，，，所以恒成立，所以，综上所述．故答案为：．【点评】本题考查赋值法在抽象函数中的应用，考查二倍角公式，属于中档题．5．若三次方程有一个根是纯虚数，则实数．【分析】设三次方程的纯虚数根为，代入三次方程，由复数的运算性质和复数为0的条件，解方程可得所求值．【解答】解：设三次方程的纯虚数根为，可得，即，可得，且，解得，．故答案为：．【点评】本题考查实系数高次方程的根的定义，以及复数的运算法则的运用，考查运算能力，是一道基础题．6．展开式中，常数项为12600．【分析】要使展开式中出现常数项，由题意可知，展开式中的常数项应符合以下特征：，且，由此求出，的值即可．【解答】解：利用组合的知识可知，展开式中的常数项满足：，且，，．即，，．解得，故常数项为：．【点评】本题考查二项式展开式中特定项的求法，注意组合知识在解题中的应用．属于基础题．7．．【分析】通过裂项消项法，求解数列的和，然后利用数列的极限的运算法则求解即可．【解答】解：．．故答案为：．【点评】本题考查数列求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．8．点绕点顺时针旋转60度，所得的点的坐标为．【分析】不妨设，，则，在在复平面对应的复数求出来，并用三角表示，再结合复数乘法运算的几何意义即可求出所对应的复数，进而求出的坐标，再求点坐标，即为答案．【解答】解：不妨设，，则，在复平面对应的复数为，则顺时针旋转，则，，，因此，从而可得点．【点评】本题考查复数乘法运算的几何意义，考查转化能力和计算能力，属于中档题．9．方程所表示的曲线形状是两条射线．【分析】直接利用转换关系，消去，整理成三角函数关系式，进一步求出结果．【解答】解：根据方程，整理得，即，解得或．所以该曲线为两条射线．故答案为：两条射线．【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和普通方程之间的转换，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10．设，若，则1．【分析】设，把已知条件转化为，又因为函数在上是单调递增的奇函数，故，进而求出．【解答】解：原式可得变形为，设，因为，所以为奇函数，当时，①当时，，所以；②当时，，，所以．所以在上是单调递增函数，又因为奇函数关于原点对称，所以函数在上是单调递增函数，因此，则，则．故答案为：1．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合，考查学生的转化能力，是一道综合性的题目，属于中档题．11．当实数、满足时，的取值与、均无关，则实数的取值范围是．【分析】根据，满足的表达式可设，，进而求出的范围，再由条件可知，且，则可求出的取值范围．【解答】解：因为实数，满足，设，，则，其中，所以，因为的取值与、均无关，所以，即此时，所以，则，故答案为：【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题．12．在中，，若为内心，且满足，则的最大值为．【分析】设，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．【解答】解：延长交于，设与圆相切于点，与圆相切于点，则，则，设，因为、、三点共线，所以，即，因为，所以，所以．故答案是：．【点评】本题主要考查向量数量积的运算及几何意义，三角形的内心的概念，三角函数的转化关系，属于中档题．三、选择题13．已知直线和，则A．和可能重合 B．和不可能垂直 C．存在直线上一点，以为中心旋转后与重合 D．以上都不对【分析】求出直线与直线的斜率，由斜率不能相等判断两直线不可能重合；由斜率之积为，得出两直线垂直；由两直线不平行，得出两直线相交，从而判断直线以交点为中心旋转后与重合．【解答】解：直线，斜率为；直线，斜率为；，所以和不可能重合，错误；时，，和垂直，所以错误；由知和不平行，设、相交于点，则直线以为中心旋转后与重合，所以正确．故选：．【点评】本题考查了两条直线的位置关系应用问题，是基础题．四、填空题14．抛物线的焦点为，在抛物线上，点处的切线与夹角为，则点的横坐标为．【分析】设的坐标求导可得的切线的斜率，设切线的倾斜角为，求出准线的斜率，由题意可得，可得的横坐标．【解答】解：抛物线可得，所以焦点坐标，，设，，设，，所以在处的切线的斜率为：，设在处的倾斜角为，则，，，由题意可得，所以，整理可得：，解得：，所以的横坐标为：，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的性质及由求导法求在点的切线的斜率，属于中档题．15．已知点在直线上，且点到、两点的距离相等，则点的坐标是．【分析】由二项展开式性质得点在直线，设，由点到、两点的距离相等，能求出点的坐标．【解答】解：点在直线上，点在直线，设，点到、两点的距离相等，，解得，点的坐标是．故答案为：．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查行列式、直线方程、两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16．已知，，2，3，4，5，6，7，8，且，连接原点和，两点，则的概率为．【分析】先由题设条件求出数对总的个数，然后利用求出满足题意的数对的个数，最后利用古典概型概率公式计算出结果．【解答】解：，，2，3，4，5，6，7，8，且，数对共有个．，，，又连接原点和，两点，得，，则，即，即，或，满足的数对有：，，，，，，，，共8个，的概率．故答案为：．【点评】本题主要以集合为背景考查满足古典概型的概率的计算及三角公式的简单应用，属于中档题．17．．【分析】由题意判断出，求出的值，即可得出的值．【解答】解：由，所以，又，所以，所以，所以，所以．故答案为：．【点评】本题考查了反三角函数值的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．18．已知三棱锥的体积为10.5，且，，，则长度为7或．【分析】先根据题意证明平面平面，进而得到点到的距离即点到平面的距离，再利用三棱锥的体积为10.5，求出，利用同角的三角函数关系求出，在中运用余弦定理即可求出的长度．【解答】解：取中点，因为，，又因为且，平面，则面，又因为平面，所以平面平面，那么点到的距离即点到平面的距离，依题意可得，所以，那么，由余弦定理可得或．故答案为：7或．【点评】本题考查线面垂直及面面垂直的证明，三棱锥体积公式，余弦定理，考查学生的转化能力和运算能力，属于中档题．19．在中，，，，则边上中线长度为．【分析】利用余弦定理求出的值，再利用平面向量的线性表示，即可求出中线的长度．【解答】解：中，，，，如图所示；所以；设是边上的中线，则，所以，解得，所以边上的中线长度为．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积与解三角形的应用问题，是基础题．20．若，则的图象大致为．【分析】求出的解析式，并判断奇偶性，利用导数求出时的单调性，由对称性即可作出大致图象．【解答】解：，令，，可得或0，由，可得为偶函数，当时，，时，，单调递减，时，，单调递增，由偶函数关于轴对称，可得的图象大致为故答案为：．【点评】本题主要考查函数的图象的画法，属于基础题．21．定义，，已知，，则，，，．．【分析】求出集合，，利用新定义求出即可．【解答】解：，，，；，，，，．因为，所以当，，，当，，或，故，，，．故答案为：，，，．【点评】考查集合的交并集的计算，集合概念的理解，属于基础题．22．方程的非负整数解的组数为14365．【分析】利用非负整数这一条件结合题干中的进行分析入手即可．【解答】解：因为，所以，因为，，均为整数，所以也是整数，所以设，则，所以，易知，则可取的值为，当时，，当时，或，当时，的取值集合为，1，2，，，对应，故当取遍时，的所有可能取值数为种，故所有的非负整数解为14365种，故答案为14365．【点评】本题考查逻辑分析能力，考查学生对于题中隐藏条件的判断，属于中档题．23．已知，，且，若满足，则7．【分析】通过研究除以12的余数的规律得到结果．【解答】解：归纳：，，，，，，，由以上过程可知，除去第一个式子之外，余数为7，5循环；易知中为奇数对应余数为5，为偶数对应余数为7；2020为偶数，故余数为7．故答案为7．【点评】本题考查归纳推理，属于中档题．24．凸四边形，则是的充要条件．【分析】根据四点共圆的性质，对，进行逻辑判断即可．【解答】解：在凸四边形中，若，则四点共圆，则必有；在凸四边形中，若，则四点共圆，则必有；所以：是的充要条件．故答案为：充要．【点评】本题考查了四点共圆问题，充分必要条件的定义，属于基础题．25．设函数的反函数为，则在，上的最大值和最小值的和为2．【分析】由，可得，令，结合函数的单调性可得此时，再由反函数的性质即可得解．【解答】解：由，可得，令，由单调递增可得，，，在，上的最大值与最小值之和为，故答案为：2．【点评】本题主要考查反函数的性质，考查运算能力，属于中档题．26．若，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是，．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与轴的交点，与轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的值【解答】解：如图所示：直线即，过定点，与轴的交点，与轴的交点，，直线，即，过定点，4，与轴的交点，，与轴的交点，由题意，四边形的面积等于面积面积，所求四边形的面积为，，则故时，直线与和坐标轴围成的四边形面积的取值范围是，．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，是基础题．27．已知、、、四点共圆，且，，，，则的长度为．【分析】连接，，由圆内接四边形的性质可得，，在和中运用余弦定理，结合诱导公式求得，，同理可得，，再由两角和的正弦公式求得，在中运用余弦定理可得所求．【解答】解：连接，，由，，，四点共圆，可得，，由，，且，可得，则，化为，解得，即，则，又，，且，可得，则，化为，解得，即，则，则，在中，由，可得，解得．故答案为：．【点评】本题考查三角形的余弦定理和正弦定理的运用，以及圆内接四边形的性质，考查化简运算能力，属于中档题．28．给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为．【分析】基本事件总数，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数，由此能求出其中既有奇函数、又有偶函数的概率．【解答】解：给定5个函数，其中3个奇函数，2个偶函数，则在这5个函数中任意取3个，基本事件总数，其中既有奇函数、又有偶函数包含的基本事件个数，其中既有奇函数、又有偶函数的概率为．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查概率定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．五、选择题29．下列不等式恒成立的是A． B． C． D．【分析】．时，成立；时，设，不等式化为：，化简即可判断出正误．．取特殊值，令，即可判断出正误；．由绝对值不等式的性质即可判断出正误；，即可判断出真假．【解答】解：．时，成立；时，设，不等式化为：，化为，即，恒成立．因此不等式恒成立．．取，则，因此不恒成立；．由绝对值不等式的性质可得：，因此不恒成立．．，，，错误．故选：．【点评】本题考查了不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．六、填空题30．向量数列满足，且满足，令，则当取最大时，的值为6或7．【分析】直接利用向量的运算求出数列的通项公式，进一步利用前项和公式的应用求出结果为二次函数的形式，最后利用二次函数的性质求出结果．【解答】解：数列满足，所以，，，，所有的式子相加得到：，所以，由于，由于，由于二次函数的对称轴方程为为整数），所以或7时，取最大值．故答案为：6或7【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式，向量的运算，数列的前项和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．31．某公司安排甲乙丙等7人完成7天的值班任务，每人负责一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，则不同的安排方式有1056种．【分析】根据题意，按甲乙丙的安排分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可以安排在第一天和第三天，乙没有限制，②甲在第三天值班，丙安排在第二天值班，乙没有限制，③甲在第三天值班，丙安排在第四天值班，乙有4种安排方法，④甲在第四五六天值班，丙有2种安排方法，乙有4种安排方法，⑤甲安排在第七天值班，丙只能安排在第六天，乙有4种安排方法，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，甲不安排在第一天，乙不安排在第二天，甲和丙在相邻两天，分5种情况讨论：①甲在第二天值班，则丙可