九年级数学上册第四章相似三角形45第1课时相似三角形的性质随堂练习(含解析)浙教版

4.5__相像三角形的性质及其应用__第1课时相像三角形的性质1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相像比为1∶2，则△ABC与△DEF对应的角均分线之比为(B)A．2∶1B．1∶2C．1∶4D．1∶122．[2016·兰州]已知△∽△，若△与△的相像比为3，则△与△对应ABCDEFABCDEF4ABCDEF中线的比为(A)A.34B.34916C.16D.93．如图4－5－1，在△中，，分别是边，上的中线，与订交于点，ABCBDCEACABBDCEOOP，OQ分别为∠DOE，∠BOC的角均分线，则OQ＝__2__．OP图4－5－14．两个相像三角形的相像比为2∶5，已知此中一个三角形的一条中线长为10，那么另一个三角形对应的中线长为__4或25__．【分析】∵相像三角形的相像比为2∶5，此中一个三角形的一条中线长为10，而这条中线可能是小三角形的，也可能是大三角形的，∴另一个三角形对应的中线长可能为4，也可能为25.5．如图4－5－2，△ABC∽△A′B′C′，相像比为k，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上AD的中线，求证：A′D′＝k.1图4－5－2证明：∵△ABC∽△A′B′C′，ABBCACA′B′＝B′C′＝A′C′＝k，∠B＝∠B′.又∵AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，1BD2BCBCABB′D′＝1＝B′C′＝A′B′.2B′C′又∵∠B＝∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′，ADAB∴A′D′＝A′B′＝k.6．如图4－5－3所示，Rt△ABC∽Rt△DFE，CM，EN分别是斜边AB，DF上的中线，已知AC9cm，CB＝12cm，DE＝3cm.求CM和EN的长；CM(2)你发现的值与相像比有什么关系？获得什么结论？EN图4－5－3解：(1)在Rt△ABC中，AB＝222＋122＝15，AC＋CB＝91∵CM是斜边AB的中线，∴CM＝2AB＝7.5，Rt△ABC∽Rt△DFE，DEDF31DF∴＝，即9＝＝，∴DF＝5，ACAB315∵EN为斜边DF上的中线，1∴EN＝2DF＝2.5；CM7.53AC93(2)∵＝＝，相像比为＝＝，EN2.51DE31∴相像三角形对应中线的长的比值等于相像比．27．[2016·新泰二模]如图4－5－4，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE订交于点G，且∠EDF＝∠ABE.图4－5－4求证：(1)△DEF∽△BDE；DG·DF＝DB·EF.证明：(1)∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵DE∥BC，∴∠ABC＋∠BDE＝180°，∠C＋∠CED＝180°，∴∠BDE＝∠CED，∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE；(2)由△DEF∽△BDE，得DEEF＝，BDDE2∴DE＝DB·EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE.∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF，DGDE2＝·，∴＝，∴DEDF∴DG·DF＝DB·EF.8．如图4－5－5，在△ABC中，BD是∠ABC的均分线，DE∥BC，BC＝7，AE＝4，求DE的长．3图4－5－5解：∵DE∥BC，∴∠DBC＝∠EDB.∵BD均分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠EDB，∴BE＝DE.∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，AEDE∴＝.ABCB设DE＝BE＝x，则AB＝4＋x，∵BC＝7，AE＝4，4＝x，即x2＋4x－28＝0，4＋x7解得x1＝－2＋42，x2＝－2－42(不合题意，舍去)，∴DE＝42－2.9．如图4－5－6，在△ABC中，点D在AC上，且AD∶DC＝1∶2，E为BD的中点，AE的延长线交BC于点F.求证：BF∶FC＝1∶3.图4－5－6第9题答图证明：∵AD∶DC＝1∶2，∴AD∶AC＝1∶3.ADFG1BEBF如答图，作DG∥AF交BC于点G，则＝＝，＝.ACFC3EDFG∵E是BD的中点，∴BE＝ED，BF1∴BF＝FG，∴＝，即BF∶FC＝1∶3.FC310．[2016·合肥模拟]如图4－5－7，△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°，连接BF.4(1)求证：△CAE∽△CBF；图4－5－7若BE＝1，AE＝2，求CE的长．解：(1)证明：∵△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，CACE∴＝＝2，∠ACB＝∠ECF＝45°，CBCF∴∠ACE＝∠BCF，∴△CAE∽△CBF；∵△CAE∽△CBF，AEAC∴∠CAE＝∠CBF，＝＝2，BFBC2又∵AE＝2，∴BF＝2，∴BF＝2.又∵∠CAE＋∠CBE＝90°，∴∠CBF＋∠CBE＝90°，∴∠EBF＝90°，222223，在Rt△EBF中，EF＝BE＋BF＝1＋(2)＝3，∴EF＝22∵CE＝2EF＝6，∴＝6.CE11．如图4－5－8，在四边形ABCD中，AC均分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．2(1)求证：AC＝AB·AD；(2)求证：CE∥AD；AC若AD＝4，AB＝6，求AF的值．图4－5－8解：(1)证明：∵AC均分∠DAB，5∴∠DAC＝∠CAB.又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，ADAC2∴＝，∴AC＝AB·AD；ACAB证明：∵E为AB的中点，∠ACB＝90°，1∴CE＝2AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.∵AC均分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠CAD＝∠ECA，∴CE∥AD；∵CE∥AD，∴∠＝∠，∠＝∠，DAFECFADFCEF∴△AFD∽△CFE，∴ADAF＝.CECF11∵CE＝2AB＝2×6＝3，AD＝4，由ADAF4AFAF4AC7＝，得＝，∴＝，∴＝.CECF3CFAC7AF412．如图4－5－9，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B，C重合)，连接AD.问题引入：如图①，当D是BC边上的中点时，S△ABD∶S△ABC＝__1∶2__；当D是BC边上随意一点时，S△ABD∶S△ABC＝__BD∶BC__(用图中已有线段表示)；探究研究：如图②，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A，D重合)，连接BO，CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应当等于图中哪两条线段之比，并说明原因；拓展应用：如图③，O是线段AD上一点(不与点A，D重合)，连接BO并延伸交AC于点F，连接COODOEOF并延伸交AB于点E.试猜想＋＋的值，并说明原因．ADCEBF6图4－5－9解：(2)猜想S△BOC与S△ABC之比应当等于OD∶AD.原因：如答图，分别过点O，A作BC的垂线OE，AF，垂足为E，F.第12题答图∴OE∥AF，∴△ODE∽△ADF，∴OD∶AD＝OE∶AF.1又∵S△BOC＝BC·OE，21S△ABC＝2BC·AF，11∴S△BOC∶