高中数学第十一章立体几何初步1142平面与平面垂直新人教B必修第四册新人教B高一第四册数学教案

11．4.2平面与平面垂直[课程目标]1.理解二面角及其平面角的观点，能确认图形中的已知角能否为二面角的平面角；2.理解并掌握平面与平面垂直的定义；3.掌握平面与平面垂直的判断定理，并能娴熟应用；4.掌握平面与平面垂直的性质定理，并能娴熟应用．知识点一二面角[填一填]1．定义：平面内的一条直线把一个平面分红两部分，此中的每一部分都称为一个半平面．从一条直线出发的两个半平面所构成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．2．表示：以AB为棱，α和β为半平面的二面角，往常记作二面角α-AB-β.假如C和D分别是半平面α和β内的点，那么这个二面角也可记作C-AB-D.3．在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角．二面角的大小用它的平面角的大小来胸怀，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．[答一答]1．确立二面角的平面角的方法有哪些？提示：方法1：(定义法)在二面角的棱上找一特别点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．以以下图：方法2：(垂面法)过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角．如图：注意：①在平面角的定义中，平面角的两边一定有共同的极点且分别在两个半平面内；平面角的两边一定都与棱垂直．②“特别”两字的作用，在于平面角的大小易于求出．知识点二面面垂直的判断定理与性质定理[填一填]1．假如两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面相互垂直，记作αβ.2．平面与平面垂直的判断定理与性质定理[答一答]2．面面垂直的判断定理的条件有几个，减少一个条件定理能否还建立？提示：判断定理有两个条件，若去掉一个条件，则定理不必定建立．3．若两个平面相互垂直，一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与另一个平面的关系是什么？提示：若α⊥β，⊥α，在β内作a与α，β的交线垂直，则⊥，∴∥.∴laαall∥β或l?β，即直线l与平面β平行或在平面β内．种类一相关观点和定理的判断[例1]以下各命题中正确的序号有________(填序号)．一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行；垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边；过点A垂直于直线a的全部直线都在过点A垂直于a的平面内；假如三条共点直线两两垂直，那么此中一条直线垂直于另两条直线确立的平面．[分析]直线与平面平行，则直线与平面内的直线的地点关系不外乎有两种①平行，②异面，所以(1)错．垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，所以(2)对．①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，②过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，依据第①个命题知：过点A垂直于直线a的平面独一，所以，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，所以(3)对．三条共点直线两两垂直，设为a，b，c且a，b，c共点于O，∵a⊥b，a⊥c，b∩c＝O，且b，c确立一平面，设为α，则a⊥α.同理可知b垂直于由a，c确立的平面，c垂直于由a，b确立的平面．所以(4)对．[答案](2)(3)(4)办理此类问题重点是正确理解观点及定理所具备的条件，只有具备相应条件，才能得到相应结论.[变式训练1]若l，m是互不同样的空间直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是(D)A．若l∥α，m∥α，l?β，m?β，则α∥βB．若α⊥β，l?α，则l⊥βC．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γD．若l⊥α，l∥β，则α⊥β分析：A中未说明l，m订交，只有直线l，m订交时，才能获得α∥β；B中l可能在β内或与其订交、平行，故

B不正确；C中平面的垂直关系不拥有传达性，

α与γ可能斜交、平行；

D中若

l∥β，则在

β

内能找到一条直线

l

′使

l′∥l

，而

l⊥α，则有

l

′⊥α，依据面面垂直的判断定理可得

α⊥β.种类二平面与平面垂直的判断定理[例2]如图，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．求证：CE∥平面PAD；求证：平面EFG⊥平面EMN.[证明]11如图，连结CF.因为F为AB的中点，所以AF＝2AB.又CD＝2AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．所以CF∥AD.又CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可证AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，FG?平面EFG，所以AB⊥平面EFG.又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB.所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.此题经过空间几何体中的平行与垂直的证明，考察了直线与平面平行、平面与平面平行的判断及性质定理，平面与平面、直线与平面垂直的判断定理等.此题对空间想象能力提出了较高要求.[变式训练2]以下图，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：因为AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC.又因为PA⊥⊙O所在的平面，BC在⊙O所在的平面内，∴PA⊥BC(线面垂直的性质定理)．PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC(线面垂直的判断定理)．又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC(面面垂直的判断定理)．种类三平面与平面垂直的性质定理[例3]如图，在三棱锥-中，⊥平面，平面⊥平面.PABCPAABCPABPBC求证：BC⊥AB.[证明]如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD?平面PAB，AD⊥平面PBC，又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判断定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.此题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：1两个平面垂直；2直线一定在此中一个平面内；

3直线一定垂直于它们的交线

.[变式训练

3]

如图，在四棱锥

P-ABCD中，底面

ABCD是矩形，点

E、F分别是棱

PC和PD的中点．求证：EF∥平面PAB；若AP＝AD，且平面PAD⊥平面ABCD，证明AF⊥平面PCD.证明：(1)因为点E、F分别是棱PC和PD的中点，所以EF∥CD，又在矩形ABCD中，AB∥CD，所以EF∥AB，又AB?面PAB，EF?面PAB，所以EF∥平面PAB.(2)在矩形ABCD中，AD⊥CD，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以AF?平面PAD，所以CD⊥AF，①因为PA＝AD且F是PD的中点，所以AF⊥PD，②由①②及PD?平面PCD，CD?平面PCD，PD∩CD＝D，所以AF⊥平面PCD.种类四平面与平面垂直的判断定理、性质定理的综合应用[例4]如图，在△中，∠＝90°，＝＝1，⊥平面，∠＝60°，BCDBCDBCCDABBCDADBE，F分别是AC，AD上的动点，且AEAFλ<1)．＝＝λ(0<ACAD求证：不论λ为什么值，总有平面BEF⊥平面ABC；能否存在实数λ，使得平面BEF⊥平面ACD.[解](1)证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，AB⊥CD.CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.AEAF又∵＝＝λ(0<λ<1)，ACAD∴不论λ为什么值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF?平面BEF，∴不论λ为什么值，总有平面BEF⊥平面ABC.假定存在λ，使得平面BEF⊥平面ACD.∵平面BEF∩平面ACD＝EF，AC⊥EF，BE?平面BEF，AC⊥平面BEF，∴BE⊥AC.BC＝CD＝1，∠BCD＝∠ABD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝2，∴AB＝2tan60°＝6，2AC＝AB＋BC＝7，由Rt△AEB∽Rt△ABC，得AB2＝AE·AC，∴AE＝6，7λ＝＝6.AC7AE6故当λ＝7时，平面BEF⊥平面ACD.立体几何中的探究性问题1探究条件，即探究能使结论建立的条件是什么

.解答此类问题，先察看与试试给出条件再给出证明

.2探究结论，即在给定的条件下命题的结论是什么探究出要求的结论是什么.关于探究的结论能否存在问题

.解答此类问题，常从条件出发，.求解时，常假定结论存在，再找寻与条件相容仍是矛盾的结论

.[变式训练4]以下图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB＝60°，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.求证：AD⊥PB；若E为BC边上的中点，可否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论．解：证明：设G为AD的中点，连结PG，BG，BD，如图．因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD为等边三角形，又因为G为AD的中点，所以BG⊥AD.又因为BG∩PG＝G，BG，PG?平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB?平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，知足平面DEF⊥平面ABCD.证明：如图，设F为PC的中点，则在△PBC中，EF∥PB.在菱形ABCD中，GB∥DE，而PB∩GB＝B，EF∩DE＝E，PB，GB?平面PGB，EF，DE?平面DEF，所以平面DEF∥平面PGB，由(1)得，PG⊥AD，又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG?平面PAD，所以PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.种类五二面角问题[例5]已知Rt△ABC，斜边BC?平面α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，求二面角A-BC-O的大小．[剖析]选特别点O，作OD⊥BC，连结AD.若AD⊥BC，则∠ADO即为二面角A-BC-O的平面角，所以只要证明AD⊥BC即可．[解]如图，在平面α内，过点O作OD⊥BC，垂足为点D，连结AD.设OC＝a.AO⊥α，BC?α，∴AO⊥BC.又∵AO∩OD＝O，∴BC⊥平面AOD.而AD?平面AOD，∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A-BC-O的平面角．由AO⊥α，OB?α，OC?α，知AO⊥OB，AO⊥OC.又∠ABO＝30°，∠ACO＝45°，OC＝a，AO＝a，AC＝2a，AB＝2a.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，2BC＝AC＋AB＝6a，·2a·223∴AD＝＝3a.BC＝6a在Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOa＝3，＝32AD2a∴∠ADO＝60°，即二面角A-BC-O的大小是60°.求二面角问题的重点是找出或作出该二面角的平面角，再把平面角放到三角形中求解.一般采纳垂线法来作平面角，即过二面角的一个平面内一点作另一平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.这类方法通用于求二面角的全部题目，其步骤可简写为“一找、二证、三求”.[变式训练5]如图，在四周体SABC中，若△BAC是边长为a的正三角形，且SA⊥底1面ABC，AS＝2a，求二面角A-BC-S的大小．解：设D是BC的中点，连结AD，SD.由△ABC是等边三角形知AD⊥BC.SA⊥平面ABC?平面?SA⊥BCBCABCAD⊥BC?⊥平面，BCSADAD，SA?平面SADAD∩SA＝ABC⊥平面SAD?SD⊥BC.SD?平面SAD∴∠ADS是二面角A-BC-S的平面角．1在Rt△SAD中，tan∠ADS＝SA2a3＝3＝，ADa32∴∠ADS＝30°.即所求二面角A-BC-S的大小为30°.1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(D)A．0个B．1个C．无数个D．1个或无数个分析：两点连线垂直于α时有无数个，不垂直于α时，只有一个．2．以下命题中错误的选项是(D)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内必定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内必定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β分析：关于D，设平面α和平面β的交线为l，则交线l在平面α内，显然可得交线l在平面β内，所以交线l不行能垂直于平面β，平面α内全部直线都垂直于平面β是错误的．3．已知平面α⊥平面β，则以下命题中真命题的个数是(B)①α内的随意直线必垂直于β内的无数条直线；②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的随意一条直线；③α内的随意一条直线必垂直于β；④过β内的随意一点作α与β交线的垂线，则这条直线必垂直于α.A．4B．3C．2D．1分析：①设α∩β＝，?α，?β，⊥，则⊥，故β内与b平行的无数条labblab直线均垂直