理论力学13第13章动量矩定理

.1第第十三 动量矩定 刚体对轴的转动§13-2刚体对轴的转动 质点与质点系的动 动量矩 刚体定轴转动微分 质点系相对于质心的动刚体平面运动微分2动量定理

动量的改 外力（外力系主矢质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢物体在移动时动量的变化率与受力之间的关系－动量定理C C上C vC0,动量：pMvC 质心无运而：F(e)

所以，动量不能反应转动的问物体在转动中运动的量与受力之间的关系－动量矩定32§13-1刚体对轴的2一．转动惯量的定义：J

mi z2mr若刚 z2mrkgm 4二．转动惯量的计 ．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用[例1]匀质细直杆长为l,质量为m。求：1）对z轴的转动Jz；2）对z'轴的转动惯Jz'l解：J

x2m 2

2Jz'20

mdxl

ml35[例2]匀质细圆盘半径为R质量为m求：1）对O点的转动惯量JO；2）对x轴的转动惯量Jx y解

2m2 R

2 2R02 22 y2mdA, x2m

R

R (y2x2)mdA

/

RJxJy

mR Jm由Jm

2zz 2zz

称为刚体对z轴的回转半对于均质刚

仅与几何形状有关，与密度无关（转半径是相同的。刚体的Jzz，以供参考。7平行移轴同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同JJz'JzCmd8i证明：设质量为m的刚体，质心为C，i∵m∵mim,miyimyC

mr

mi(xi

y2iJzi

mr'2

m(x'2y'2i ∵xixi',yi'i J

m[x2(yd)2 mi( yi)(mi)dJz

J

md

2dmi刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值例如，对于例1中均质细杆z'轴的转动惯J' m(l)21ml21ml21ml

9计算转动惯量的物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理[例2]钟摆质直杆m1,l均质圆盘：m2RJO

1ml21mR2m(lR) 1ml21m(3R22l2 §13-2刚体对轴的转动Jx

(y2z2 Jy(z xJz(x

y2JLJxcos2Jycos2Jzcos22Jyzcoscos2Jzxcoscos2JxycoscosJyz

Z轴为刚体在O点处的一根§§13- 质点与质点系的动一．质点的动量复习：力对点O之

GMO(F)r MO(F)(xiyjzk)(FxiFyjFzk MO(F)[MO(F)]xi[MO(F)]yj[MO(F)]zGMO(Fo

力对点O之矩在z轴上的投影G[MO(F)]zxFy力对z的之G：Mz(F

x x Mz(F)[MO(F 质点的动量对点O之矩：MO(mv)r

MO(mv)(xiyjzk)(mvximvyjmvzk MO(mv)[MO(mv)]xi[MO(mv)]yj[MO(mv)]z 质点的动量对点O之矩在z轴上的GMO(mvo

[MO(mv)]zxmvy质点对轴z的动量矩GMz(mv)xmvy Mz(mv)[MO(mv

动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱单位：kg·ｍ2/s二．质点系的动量质点系对点O动量矩

G GLO

MO(mivi

：刚体动量矩计算

Lz

Mz

[LO]z平动刚体对点O的动量矩：LO

GGGMO(mvC)rCGGGG平动刚体z动量矩LzMz(mvC平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量点（轴）的动量刚体绕z轴转动L G

mr2J Mz(mivi

i 平面运动GLzMz(mvC)JC刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心动时的动量矩之和 P[例1]滑轮A：m1，R1，R1=2R2，J1，1滑轮B：m2，R2，J2；物体C：m3求:系统对O轴的动量矩。P定轴转动：A2平动：C2平面运动：B

v3v2R2 1J11(J22m2v2R2)m3v3O ( J m)RO

注意方向RR RR

§13-一．质点的动量矩定

d(mv F

Gd(mv G两边叉乘矢径r

rG可写

rd(mv)

(rmv) 而dr

G Gmvvmv0,rFMO(F)

m)

d[M

O(m)]

MO(FF质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在F点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，ddMm)M( dMm)M( dMm)m(xxyyzz 若MO(F) (Mz(F)称为质点的动量矩守恒

则MO(mv常矢则G(Mz(mv)常量注：计算动量矩与力矩时，符号规定应 质点绕某心（轴）二．质点系的动量矩对质点Md

)

MO )MO

对质点系

MO(mivi)

MO

)MO (i1,2,3,,G左边交换求和与导数运算的顺序 LO

O(mivi GMO((i

)

MO

) 一质点系对固) z将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，zxM(F(e)xM(F(e))

(e)y(e)y

M M

))MM）。动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外才能改变质点系的动量质点系的动量矩 MO(e)z (e)z

[例3]APB P r。求 解:研究对象：取整个受力分析PAPBP,XOAOM AO

r

r

PB)运动分v PAvrPBvrJ 将 1Pr2代入,得 2

r2( P 由动量矩定

d[r2(

PP)](PP)

dg

PA PAPBP/2G[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度

上爬r猴ABA）r。。解 )0,所以，系统的动量矩守0mBvBrmAvAr,

vB(vrvA0mB(vrvA)rmAvAr (vv)

vr

猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 2§13-5§13-5刚体定轴转动微分对于一个定轴转动刚体LzJ

d(J)

(e).zJzMz(e)或z

d2

M —刚体定轴转M解决两类问题 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律 特殊情况1）．

(F(e则0恒量，刚体动或保持静2）．若Mz(e)常量，则=常量，刚体作匀变速转动将J

ma

F比较，刚体的转动惯量Jz是刚转动惯性的度量[例 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1、P2,可视为均圆盘物体C的重量为P3轮A上作用常力矩M1。求体C上升的加速度。Pr解1轮

11 1M1Tr1 2轮B与物体d(1P2

2

P3

)T'

P

2

补充运动学条件r22v,r22a

P2化简(2)2

3aT'化简(1)P1aM12 aM1/r1

§§13- G

G dLCdLCCG(Fi)C.

Cr

(LCLCr二．质点系相对质心的动三．刚体平面运设有一平面运动刚体具有质量对称平面F1,F2,,可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平S，质心一定位于S内取质心C为动系原点，则此平面运动可分解随质心C的平绕质心C的平

(xC,yC（∵ J

dLCr

JC

G G maC F JC 写成投影形 F, F,J

m

(e) 或

Fx,myC

Fy,

MC(Fi(e)C上式称为平面运动微分方程CCmaC

F,ma

Fy,JC

MC(Fi(e)]m滑动摩擦系数为、f´解：研究对mg运动分析aCy=0，aCx一般情况下轮作平面运动平面运动微分方maCmgsin 0mgcos 1，3两式中含知数aC、F、a充附加条件

JC 由2式得：Nmgcos 设接触面绝对光滑。F0aCgsin0常量因为轮由静止开始运动，故＝0，轮沿斜面平动下设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，aCr所以可 2gsin,2gsin;F1mgsin 设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=f´N，可解 (sinf'cos)g,2f'gcos,Fmgfcos. 轮作纯滚动的条件F1mgsin

fNfmgcos. f tgf1tg

时，解答表明：

适用f3tg时，解答2适用；f0时解答1适用第第十二章动量矩定理习一．基本概动量矩：某瞬时物体绕点转动时机械运动强弱的一种度量G 质点的动量矩：MO(mv 质点系的动量矩：

mivi转动惯量：物体转动时惯性的度刚体动量矩

rCmvC Lz

Mz(mvC定轴转动

LzJ 平面运动LzMz(mvCJC二．质点的动量矩定理及质点的动量矩 F zFd (m)] F zF

(m)M(质点的动量矩 1 2Mz(F0mz(mv三．质点系的动量矩定理质点系的动量矩 (G) O

F

M(e)

z

z

(e))

OOz质点系的动量矩

，M ，

LO常矢量2

MzM

0，则Lz四．质点系相对质心的动dLC

dLC

MC 五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微刚体定轴转动微分方Jzmz(F JzMz(F刚体平面运动微maCxXmaCyY

mxCXC myCCJC

(F(e)

JC

MC(F(e)六．动量矩定理的应用动量矩定理，一般可以处理下列一些问题：（对单传动系统尤为方便已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或 GXO 两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T形GXO=4rad/s。求该瞬时轴承O的反力解：一、T”字型二、受力分析mg, , 三、运动分析：定轴 1ml21ml2ml217ml 四、由定轴转动微分方20.75rad/s2

dO

O (F(e)OJ