异面直线所成的角的计算

异面直线所成角的计算同一平面内：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，αβ.....(空间中)：那么这两个角相等.问题等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.αβ...将方向相同改成相反，结果如何？αβγ一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？αβγ如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，它们成的角有何关系？αγ推论

如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.αγab′bO一.定义:注意：异面直线所成角的范围是

直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O,分别引直线a′∥a,b′∥b。我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.（0，]a′★求角的步骤：1.确定角2.求角求异面直线所成角的步骤有哪些？想一想例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）O1MDB1A1D1C1ACB解：为什么？于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，解：为什么？O1MDB1A1D1C1ACB由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为方法归纳：平移法连A1M，在A1O1M中即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。解法二：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1与BD1所成角的余弦值为

如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的方体B1F，正方体ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为A1B1C1D1ABCDO练习1900在正四面体S-ABC中，SA⊥BC,E,F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900练习2BSABEFCDG练习2（解法二）SACBEFSABEFC练习2（解法三）三、解答题已知正方体的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。解：A1D1C1B1ABCDMNEG如图，取AB的中点E,连BE,有BE∥A1M取CC1的中点G,连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF,有BE∥NF则∠FNC为所求角。想一想：还有其它定角的方法吗？在△EBG中定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：

（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决。90o（2）补形法化归的一般步骤是：定角求角说明：异面直线所成角的范围是（0，]，在把异面直线所成的角平移转化