绳杆端速度分解模型

本文格式为Word版，下载可任意编辑——绳杆端速度分解模型船模分解及其应用速度

■一、问题的由来大家经常会遇到这样的关于速度分解的题目：如图1所示，某人站在岸上通过绕过定滑轮的绳子向岸边拉船，他拉绳子的速率v保持不变，当拉船的绳子与水平面成θ角时，船前进速度u为多大？

初次接触这道题目，学生最易展现的速度矢量分解图有两个，见图2、图3，两个图所得到的结论均为u=vcosθ.

■二、问题的分析

图2错误的理由是没有分清哪个是研究对象，哪个速度是合速度.而是把绳收缩的速度作为合速度，把它按水平和竖直方向正交分解，因小船是沿水平方向运动，所以这样的分解中竖直向上的分速度是没有物理意义的，结论自然也是错误的.

图3分解的虽是实际速度，即合速度，但没有正交分解，错误理由是其中的一个分运动并不是竖直向下的，而应是绳以定滑轮O为轴沿顺时针方向的转动，这个分运动的方向应垂直于绳.

另外，由方才两图得到的结论都说明u＜v.假若小船经过一个极短时间Δt从位置A运动到位置B，如图4所示，那么AB线段表示小船在这段时间内的位移大小，而OA与OB之差那么表示这段时间内绳子收缩的距离，也即人的位移大小，很鲜明OA与OB之差小于AB，同除以时间Δt应得到u＞v，这也与方才的结论不符合.

■三、问题的解决

其实，当认为绳子不成伸长时，对于用绳联结的两个物体，若速度沿绳方向，那么两物体速度必一致，否那么绳子就处于松弛状态或者被拉断了；若两物体速度不沿绳子方向，那么两物体速度在沿绳方向的分量必定一致.此题中，人的速度全在沿绳方向上，因此，只要将小船速度沿绳方向和垂直绳子方向举行分解（垂直绳子方向的分量表示小船绕O点的转动），再令两物体沿绳方向的速度相等即可求出.作出速度矢量的平行四边形.由图5可知船的速度大小为：

u=■.

■四、模型的应用

■例1如图6所示，物块A通过光滑的定滑轮用细绳与圆环B相连，A位于光滑的水平桌面上，B套在光滑的竖直杆上.当细绳与水平方向的夹角为θ时，A的速度为v，此时B的速度u为多少？

■解析B的速度u为“实际速度”，即合速度.将B的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向举行分解，如图7所示.由图可得：

u=■.

■例2如图8所示，在水平面上小车A通过光滑的定滑轮用细绳拉一物块B，小车A的速度为v1＝5m/s.当细绳与水平方向的夹角分别为30°和60°时，物块B的速度v2为多少？

■解析将A、B的速度v1、v2都分别沿绳的方向和垂直于绳的方向举行分解，在沿绳的方向上A、B的速度相等，即：

v1cos30°=v2cos60°

所以v2=5■m/s.

■例3如图9所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不成伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M.滑轮的半径可疏忽，B在O的正上方，OB之间的距离为H.某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率vM.

■解析杆的端点A点绕O点做圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，在所考察时其速度大小为：

vA=ωR.

对于速度vA作如图10所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向举行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率vM，由于物块只有沿绳方向的速度，所以

vM=vAcosβ.

由正弦定理知，

■=■.

由以上各式得vM=ωHsinα.

■五、模型的延迟

上面的分解方法对于求解面接触物体的速度问题也是可以的.

■例4一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动.在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图11所示.当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度.

■解析将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向举行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出.设竖直杆运动的速度为v1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以v0、v1在OP方向的投影相等，即有

v0sinθ=v1cosθ，

解得v1=v0tanθ.

对于连接体中物体之间的速