2021北京初三（上）期中数学汇编：圆的有关概念

第23页/共23页2021北京初三（上）期中数学汇编圆的有关概念1．（2021·北京·北师大实验中学九年级期中）如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C(0，﹣3)为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（

）A．2 B． C．3 D．2．（2021·北京市鲁迅中学九年级期中）已知⊙O的半径为6，点A在⊙O内部，则（

）A． B． C． D．3．（2021·北京·徐悲鸿中学九年级期中）⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是（

）A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．无法确定4．（2021·北京一七一中九年级期中）已知⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，则OP的长（

）A．小于5cm B．大于5cmC．小于10cm D．不大于10cm5．（2021·北京市第一五九中学九年级期中）的半径为5，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（

）A．无法确定 B．点在外 C．点在上 D．点在内6．（2021·北京市第四十四中学九年级期中）已知⊙O的半径是4，OP＝3，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定7．（2021·北京四中璞瑅学校九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内 B．在⊙O上 C．在⊙O外 D．不能确定第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题8．（2021·北京四中九年级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0），那么△ABC的外接圆的圆心坐标为____．9．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）在平面直角坐标系中，的半径为5，则点在______．(填“内”、“上”或“外”)10．（2021·北京市第四十四中学九年级期中）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，请你简要说明你找圆心的方法是__________________11．（2021·北京海淀·九年级期中）如图，C，D为AB的三等分点，分别以C，D为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，连接EF．若AB=9，则EF的长为__________．三、解答题12．（2021·北京师大附中九年级期中）如图，正方形ABCD，将线段AB绕点顺时针旋转2α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接BE，AP⊥BE于P，交DE于F，连接BF．（1）①补全图形，②∠ADE＝（用含α的式子表示）；（2）判断DE与BF的位置关系，并证明；（3）若正方形ABCD的边长为2，点M是CD的中点，直接写出MF的最大值．13．（2021·北京市第一六一中学九年级期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，点P为图形M上一点，点Q为图形N上一点．若存在OP＝OQ，则称图形M与图形N关于原点O“平衡”．（1）如图1，已知⊙A是以（1，0）为圆心，2为半径的圆，点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．①在点C，D，E中，与⊙A关于原点O“平衡”的点是；②点H为直线y＝﹣x上一点，若点H与⊙A关于原点O“平衡”，求点H的横坐标的取值范围；（2）如图2，已知图形G是以原点O为中心，边长为2的正方形．⊙K的圆心在x轴上，半径为2．若⊙K与图形G关于原点O“平衡”，请直接写出圆心K的横坐标的取值范围．14．（2021·北京·徐悲鸿中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，如果PQ两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“近距离”，记为d（M，N）．特别地，当图形M与图形N有公共点时，d（M，N）＝0．已知A（﹣4，0），B（0，4），C（﹣2，0），（1）d（点A，点B）＝，d（点A，线段BC）＝．（2）⊙O半径为r，①当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝．②若d（⊙O，△ABC）＝1，则r＝．15．（2021·北京市第五十四中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M落在⊙O上，得到线段A′B′（A′，B′分别为点A，B的对应点）．线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（－1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为________；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为________；（2）若点A，B都在直线上，AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．16．（2021·北京市第三中学九年级期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AC上一点（与点A，C不重合），连接BD，过点A作AE⊥BD的延长线于E．（1）①在图中作出△ABC的外接圆⊙O，并用文字描述圆心O的位置；②连接OE，求证：点E在⊙O上；（2）①延长线段BD至点F，使EF＝AE，连接CF，根据题意补全图形；②用等式表示线段CF与AB的数量关系，并证明．17．（2021·北京市西城外国语学校九年级期中）对于平面内点P和⊙G，给出如下定义：T是⊙G上任意一点，点P绕点T旋转180°后得到点P＇，则称点P＇为点P关于⊙G的旋转点．下图为点P及其关于⊙G的旋转点P＇的示意图．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点P（0，－2）．（1）在点A（－1，0），B（0，4），C（2，2）中，是点P关于⊙O的旋转点的是；（2）若在直线上存在点P关于⊙O的旋转点，求的取值范围；（3）若点D在⊙O上，⊙D的半径为1，点P关于⊙D的旋转点为点P＇，请直接写出点P＇的横坐标P＇的取值范围．18．（2021·北京市第十三中学九年级期中）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，A，B为⊙O外两点，AB＝1.给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，点A，B对应点分别为点A´，B´，线段AA´长度的最大值称为线段AB到⊙O的“极大距离”，记为d（AB，⊙O）．（1）若点A（4，0）．①当点B为（3，0），如图所示，平移线段AB，在点P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，连接点A与点的线段的长度为d（AB，⊙O）；②当点B为（4，1），求线段AB到⊙O的“极大距离”所对应的点A´的坐标；（2）若点A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范围是．19．（2021·北京市第二十二中学九年级期中）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点．例：已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点．（1）已知点，①在，，中，是的覆盖特征点的为___________；②若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围．（2）以点为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________．20．（2021·北京市第五中学分校九年级期中）某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心（不要求写作法、证明和讨论，但要保留作图痕迹）

参考答案1．B【分析】连接AD，令y＝0，则，得OE是△ABD的中位线，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，即可求解．【详解】解：连接AD，如图，令y＝0，则，解得，则A（−4，0），B（4，0），∴O是线段AB的中点，∵E是线段BD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴，设圆的半径为r，则r＝2，当A、C、D三点共线，且点C在AD之间时，AD最大，此时OE最大，，∴线段OE的最大值是．故选：B．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点以及三角形中位线的性质，解题的关键是根据圆的基本性质，确定AD的最大值．2．A【分析】根据点在圆内部，有，进行判断即可【详解】的半径为，点在的内部故选：【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有种，设的半径为，点到圆心的距离为，则有点在圆外，点在圆上，点在圆内．3．A【分析】根据点与圆的位置关系可知：在同一个平面内，当一点到圆心的距离大于圆的半径时，点在圆外；当一点到圆心的距离等于半径时，点在圆上；当点到圆心的距离小于半径时，点在圆内；由此问题可求解．【详解】解：由⊙O的半径为5，圆心O到点P的距离为6，可知：点到圆心的距离大于圆的半径，所以点P与⊙O的位置关系是点在圆外；故选A．【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．4．B【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径进行判断即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点P在⊙O外，∴OP＞5cm．故选B．【点睛】本题考查点与圆的位置关系：掌握点到圆心的距离与半径r的关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．5．D【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【详解】的半径为5，点到圆心的距离为4，点到圆心的距离小于圆的半径，点在内．故选：D．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．6．B【分析】根据题意得⊙O的半径为4，则点P到圆心O的距离小于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点P在⊙O内．【详解】解：∵OP＝3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故选：B．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．7．B【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置．【详解】∵点A（﹣3，﹣4），∴AO==5，∵⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，∴点A在⊙O上，故选B．考点:点与圆的位置关系；坐标与图形性质．8．(5，5)【分析】分别作出三角形任意两边的垂直平分线得到圆心的位置，进而得出答案．【详解】∵B(0，3)，C(3，0)，∴在网格中，BC可以看作边长为3的正方形的对角线，根据网格特征及正方形对角线互相垂直平分，分别作出AB、BC的垂直平分线，交于点E，则点E即为外接圆的圆心，如图所示，∵A(0，7)，B(0，3)，∴点E纵坐标为5，∴由图可得，E(5，5)．故答案为：(5，5)．【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的外接圆与外心，熟练掌握定义及性质是解题的关键．9．上【分析】根据勾股定理求出OP的长，再与的半径相比即可解答.【详解】解：∵OP=和的半径相等，故点P在圆上.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，即点到圆心距离小于半径在圆内、等于半径在圆上、大于半径在圆外.10．在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心.【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点连接再作的垂直平分线得到两条垂直平分线的交点即可.【详解】解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点连接则的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点则线段的垂直平分线的交点是圆形纸片的圆心.【点睛】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键.11．【分析】证明四边形CEDF是菱形，△EDC和△FDC是等边三角形，在Rt△EOD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．【详解】解：连接CE、ED、DF、FC，设AB、EF相交于点O，如图：∵C，D为AB的三等分点，且AB=9，∴AC=CD=DB=3，由题意得：CE=ED=DF=FC=CD=3，∴四边形CEDF是菱形，且△EDC和△FDC都是等边三角形，∴∠EOD=90°，∠EDO=60°，在Rt△EOD中，∠DEO=30°，ED=3，∴DO=，∴EO==，∴EF=2EO=，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，圆的基本概念，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．12．（1）①图见解析；②45°﹣α；（2）DE⊥BF，证明见解析；（3）+1．【分析】（1）①根据叙述，画出图形；②由AE＝AB，AB＝AD推出AE＝AD，进而求得结果；（2）根据∠AEF＝∠ABF，∠AEF＝∠ADF，得出∠ABF＝∠ADF，推出A、F、B、D共圆，从而∠BFD＝∠BAD，从而得出结论；（3）连接BD；由∠BFD＝90°推出点F在以BD为直径的圆上，当MF过圆心时，MF最大，进而求得结果．【详解】（1）①补全的图形如图1所示，②∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EAB+∠BAD＝90°+2α，由旋转性质得：AE＝AB，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝＝＝45°﹣α，故答案是：45°﹣α；（2）如图2，连接BD，DE⊥BF，理由如下：∵AE＝AB，AP⊥BE，∴∠AEB＝∠ABE，EP＝PB，∴FE＝FB，∴∠FEP＝∠FBP，∴∠AEB﹣∠FEP＝∠ABE﹣∠FBP，∴∠AEF＝∠ABF，∵∠AEF＝∠ADE，∴∠ABF＝∠ADE，∴点A、F、B、D共圆，∴∠BFD＝∠BAD＝90°，∴DE⊥BF；（3）如图3，连接BD，∵∠BFD＝90°，∴点F在以BD为直径的⊙O上，过M点作⊙O的直径NF′，则MF′最大，∵OM＝BC＝1，NF′＝BD＝2，∴，∴，即MF的最大值是：+1．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，四点共圆等知识，四点共圆是解答本题的关键，也是难点．13．（1）①C，D；②或；（2）或．【分析】（1）①求出OC＝1，OD＝，OE＝，⊙A上的点到原点O的最小距离为1，最大距离为3，根据“平衡”定义判断即可；②由①可得出1≤OH≤3，求出两端点的坐标即可确定范围；（2）分圆心K在原点左侧和右侧两种情况，分别求出极值，判断范围即可．【详解】解：（1）①∵点C（﹣1，0），D（﹣2，1），E（3，2）．∴OC＝1，OD＝，OE＝，⊙A上的点到原点O的最小距离为1，最大距离为3，∵1＝1，1＜＜3，＞3，∴点C，D是与⊙A关于原点O“平衡”，故答案为：C，D．②解：若点H可以与⊙A关于原点O“平衡”，则1≤OH≤3．当OH＝1时，点H为直线y＝﹣x上一点，则点H坐标为，∴，解得，，∴H（﹣，）或（，﹣），当OH＝3时，同理可得，H（﹣，）或（，﹣）∴点H横坐标的取值范围是或．（2）如图3﹣1中，K从原点向右平移时，当⊙K经过（﹣，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好开始“平衡”，此时，K（2﹣，0），当⊙K经过（，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好结束“平衡”，此时，K（2+，0），观察图象可知满足条件的x的值为2﹣≤x≤2+．如图3﹣2中，K从原点向左平移时，当⊙K经过（，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好开始“平衡”，此时，K（﹣2+，0），当⊙K经过（﹣，0）时，⊙K与图形G关于原点O刚好结束“平衡”，此时，K（﹣2﹣，0），观察图象可知满足条件的x的值为﹣2﹣≤x≤﹣2+．综上所述，圆心K的横坐标的取值范围或．【点睛】本题考查了一次函数与新定义问题，解题关键是熟练运用数形结合思想，分类讨论思想，准确作图，合理推导进行解答．14．（1）；2；（2）①-1，②．【分析】（1）根据A（﹣4，0），B（0，4），利用勾股定理两点距离AB=，可求d（点A，点B）＝，点A与线段BC上的点中最近的点为C，根据两点距离公式可求d（点A，线段BC）＝2．（2）①过O作OE⊥AB，根据（1）得AB=，利用面积求出OE=，当r＝1时，可求d（⊙O，线段AB）＝OE-r=-1，②过O作OD⊥BC于D，根据勾股定理BC=，利用面积，可求d（⊙O，△ABC）＝1=OD-r,得出r=即可．【详解】解：（1）∵A（﹣4，0），B（0，4），∴AB=，∴d（点A，点B）＝，点A与线段BC上的点中最近的点为C，∴AC=-2-（-4）=2，d（点A，线段BC）＝2．故答案为：；2；（2）①过O作OE⊥AB，∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴AB=，∴S△AOB=，∴OE=，∴当r＝1时，⊙O与线段AB的“近距离”d（⊙O，线段AB）＝OE-1=-1，故答案为-1，②过O作OD⊥BC于D，∴OC=2，OB=4，∴BC=，∴S△COB=，∴，∵d（⊙O，△ABC）＝1=OD-r,∴r=．故答案为：．【点睛】本题考查新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，图形与坐标，圆的半径，勾股定理，三角形面积，点到直线距离，掌握新定义“近距离”仔细阅读，抓住新定义实质，勾股定理，三角形面积，点到直线距离是解题关键．15．（1）①；②（-5，0）或（7，0）；（2）；（3）【分析】（1）①先求出M的坐标，然后根据线段AB到圆O的“平移距离”=线段AM的长进行求解即可；②线段AB到⊙O的“平移距离”为2，且A、B都在x轴上，得到此时线段AB到圆O的：“平移距离”=线段AM的长，即可得到M的坐标，从而确定B的坐标；（2）设直线与x轴，y轴的交单分别为F，E，过点O作OH⊥EF于H，交圆O于K，先利用勾股定理求出EF=5，然后利用面积法求出OH的长，再由当AB的中点M与H重合时，线段AB到圆O的“平移距离”最小，最小值为HK，进行求解即可；（3）根据题意可得AB的中点M在以A为圆心，以1为半径的圆上运动，连接OA与M点所在的圆交于Q，与圆O交于P，延长OA与M所在的圆交于R，则“平移距离”的最小值即为PQ，“平移距离”的最大值即为PR．【详解】解：（1）①∵A（-1，0），B（0，0），∴线段AB的中点M坐标为（-，0），∴线段AB到圆O的“平移距离”=线段AM的长=，故答案为：；②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，且A、B都在x轴上，∴此时线段AB到圆O的：“平移距离”=线段AM的长，∴AM=2，∵A点坐标为（-1，0），∴M点的坐标为（-3，0）或（3，0），∵M是AB的中点，∴B点的坐标为（-5，0）或（7，0）；故答案为：（-5，0）或（7，0）；（2）如图所示，设直线与x轴，y轴的交单分别为F，E，过点O作OH⊥EF于H，交圆O于K，∴E（0，4），F（-3，0），∴OF=3，OE=4，∴，∵，∴，观察图形可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到圆O的“平移距离”最小，最小值为HK，∵圆O的半径为1，∴OK=1，∴；（3）如图所示，∵A是定点，AB=4是定长，∴B在以A为圆心，半径为2的圆上，∴AB的中点M在以A为圆心，以1为半径的圆上运动，连接OA与M点所在的圆交于Q，与圆O交于P，延长OA与M所在的圆交于R，则“平移距离”的最小值即为PQ，“平移距离”的最大值即为PR，∵A（3，4），∴，∴QP=OA-OP-AQ=3，PR=OA+AR-OP=5，∴【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与坐标轴的交点问题，圆外一点到圆上一点的距离最值问题，解题的关键在于能够利用数形结合的思想进行求解．16．（1）①见祥解，圆心O在斜边AB的中点；②见详解；（2）①见详解；②，见详解．【分析】（1）①作AC的垂直平分线GH与AB的交点O为圆心O，以点O为圆心，以OA为半径画圆，则⊙O是△ABC的外接圆，然后证明圆O为△ABC的外接圆，圆心O在斜边AB的中点即可；②根据OE为斜边中线，得出OE=OA=OB即可，（2）①延长线段BD至点F，使EF＝AE，连接CF，如图；②根据AC＝BC，∠ACB＝90°，可得∠A=∠ABC=，可得∠CEB=∠CAB=45°，可求∠AEC=∠CEB+∠AEB=45°+90°=135°，可证∠FEC=180°-∠CEB=180°-45°=135°=∠AEC，再证△FEC≌△AEC（SAS），可得FC=AC，利用三角函数可求AC=ABsin45°=即可．【详解】解：（1）①作AC的垂直平分线GH与AB的交点O为圆心O，以点O为圆心，以OA为半径画圆，则⊙O是△ABC的外接圆，∵GH为AC的垂直平分线，OI⊥AC，AI=CI，∠ACB=90°，连OC，∴IO∥CB，∴，∴AO=OB，

∴点O为AB中点，∴OC为斜边中线，∴OC=OA=OB，∴⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在斜边AB的中点；②∵AE⊥BD，AO=BO，∴OE为斜边中线，∴OE=OA=OB，∴点E在⊙O上；（2）①延长线段BD至点F，使EF＝AE，连接CF，如图；②，理由如下：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠BAC=∠ABC=，∴∠CEB=∠CAB=45°，∴∠AEC=∠CEB+∠AEB=45°+90°=135°，∴∠FEC=180°-∠CEB=180°-45°=135°=∠AEC，在△FEC和△AEC中，，∴△FEC≌△AEC（SAS），∴FC=AC∵AC=ABsin45°=，∴FC=AC=，∴．【点睛】本题考查三角形外接圆作图，线段垂直平分线作法与性质，直角三角形斜边中线，三角形全等判定与性质，三角函数，掌握三角形外接圆作图，线段垂直平分线作法与性质，直角三角形斜边中线，三角形全等判定与性质，三角函数是解题关键．17．（1）点B，点C；（2）；（3）【分析】（1）根据题意结合图即可得出旋转点；（2）使直线分别与圆相切时，求出的取值范围；（3）考虑全两种情况即可得出取值范围．【详解】（1）点B，点C；（2）由题意可知，点P关于⊙O的旋转点形成的图形为以点G（0，2）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙G．当直线与⊙G相切时：如图1，求得：，如图2，求得：．因为直线上存在点P关于⊙O的旋转点，所以，．图1图2（3）当⊙D的圆心在（-1，0）（1，0）时，取最小和最大值，P＇的横坐标P＇的取值范围．【点睛】此题考查了圆与一次函数图像的知识，解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点，进而求解．18．（1）①；②；（2）【分析】（1）①根据平移到性质及“极大距离”的定义即可得出答案；②根据题意可得当⊥x轴于点M，M为中点时，线段AA´长度为线段AB到⊙O的“极大距离”，根据勾股定理即可得出A´的坐标；（2）根据题意知，点B在以A为圆心，1为半径的圆上，连接OA交⊙A于点B，交⊙O于点B´，此时，AA´最小，过点A作