高等代数 矩阵练习题参考答案

第四章矩阵习题参考答案判断题对于任意n阶矩阵A,B，有|A+B\=|A|+|B.错.如果A2二0,则A二0.(11、错•如A二,A2二0,但A丰0.IjT丿如果A+A2=E，则A为可逆矩阵.正确.A+A2=EnA(E+A)=E，因此A可逆，且A_i二A+E.设A,B都是n阶非零矩阵，且AB二0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n.错•由AB二0可得r(A)+r(B)<n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾•只可能两个秩都小于n.A,B,C为n阶方阵，若AB=AC,则B二C.(11、(21、(32',B=,C=<-1J<-2-1丿<-3-2丿错.如A二有AB=AC,但B丰C.6.A为mxn矩阵，若r(A)=s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQ=PAQ=0、0丿正确•右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形.n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.正确•由A可逆可得IAIh0，又AA*=A*A=1AIE•因此A*也可逆，且(A*)一i=—A.IAI设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*=B*A*.正确.(AB)(AB)*=IABIE=IAIIBIE.又(AB)(B*A*)=A(BB*)A*=AIBIEA*=IBIAA*=IAIIBIE•因此(AB)(AB)*=(AB)(B*A*)•由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(AB)*=B*A*.二、选择题设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(Bt=-B)，则下列矩阵中为反对称矩阵的是(B)•AB-BA(B)AB+BA(C)(AB)2(D)BAB(D)为对称矩阵，(B)为反对称矩阵，(C)当A,B可交换时为对称矩阵.设A是任意一个n阶矩阵，那么(A)是对称矩阵.ATA(B)A-AT(C)A2(D)AT-A以下结论不正确的是(C).如果A是上三角矩阵，则A2也是上三角矩阵;如果A是对称矩阵，则A2也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，则A2也是反对称矩阵；如果A是对角阵，则A2也是对角阵.A是mxk矩阵，B是kxt矩阵，若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是(B)AB的第j行元素全等于零；(B)AB的第j列元素全等于零(C)BA的第j行元素全等于零；(D)BA的第j列元素全等于零5•设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是(D)(A+B)2二A2+2AB+B2(B)A2-B2二(A+B)(A-B)(C)(AB)2二A2B2(D)A2-E2二(A+E)(A-E)下列命题正确的是(B).若AB二AC，则B二C若AB二AC，且|A|丰0，则B二C若AB二AC，且A丰0，则B二C(D)若AB二AC，且B丰0,C丰0，则B二C7.A是mxn矩阵，B是nxm矩阵，则(B).当m>n时，必有行列式\AB\丰0；当m>n时，必有行列式|AB=0当n>m时，必有行列式|AB丰0；当n>m时，必有行列式|AB=0.AB为m阶方阵，当m>n时，r(A)<n,r(B)<n,因此r(AB)<n<m，所以|AB=0.以下结论正确的是(C)如果矩阵A的行列式|A|=0,则A=0；如果矩阵A满足A2=0，则A=0；n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的；对任意方阵A,B，有(A-B)(A+B)=A2-B29.设a,a,a,a是非零的四维列向量，A=(a,a,a,a),A*为A的伴随矩阵，已知12341234Ax=0的基础解系为(1,0,2,0)t，则方程组A*x=0的基础解系为(C).(A)a,a,a.(B)a+a,a+a,a+a.123122331(C)a,a,a.(D)a+a,a+a,a+a,a+a.23412233441(1(1]02<0丿=0,a+2a=0.13由Ax二0的基础解系为(1,0,2,0)t可得(a,a,a,a)1234因此(A),(B)中向量组均为线性相关的，而(D)显然为线性相关的，因此答案为(C).由可得a,a,a,a均为A*x二0的解.123410•设A是n阶矩阵，A适合下列条件(C)时，I-A必是可逆矩阵n(A)An=A(B)A是可逆矩阵(C)An=0A主对角线上的元素全为零n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是(D)(A)|A|=1(B)|A|=0(C)A=At(D)|A|丰0A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是(A)若A是可逆矩阵，则从AB=AC可推出BA=CA若A是可逆矩阵，则必有AB=BA若A丰0，则从AB=AC可推出B=C若B丰C，则必有AB丰ACA,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC=E，则有(C)

(A)ACB=E(B)BAC=E(C)BCA=E(D)CBA=EA是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是(D)(A)若A是可逆矩阵，则A*也是可逆矩阵；(B)若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；若|A*卜0，则A是可逆矩阵；(D)|AA*卜|A|(A)|a|15•设A是5阶方阵，且|A|丰0，则A*二(D(A)|a||A|2(C)|A|3(D)|A|416•设A*是A=(a)的伴随阵，则A*A中位于(i,j)的元素为(B)ijnxn(A)工aA(B)工aA(C)工aA(D)工aAjkkikjkijkikkikjk=1k=1k=1k=1应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.17.设17.设A=a11•••…a1n••••••,B=A…11••••••an1…ann」A•…Ln1A1n…，其中A是a..的代数余子式，则(C)ijijAnn(A)A(A)A是B的伴随(B)B是A的伴随(C)B是Ar的伴随以上结论都不对A018•设A,B为方阵，分块对角阵C=n，则C*=(C)0B

(A)C=A*0-(B)C=]a|a*0_0B*0IBB*C="|BA*0_(D)C=]a||b|a*0-0|A|B*0|A||B|B*(C)利用CC*=1CIE验证.—46—「135「已知A=,B=1-224619．下列运算可行的是（C）(A)A+B(B)A-B(C)AB(D)(A)A+B设A,B是两个mxn矩阵，C是n阶矩阵，那么（D）对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB=BA，那么B是（A）对称阵（B）对角阵（C）数量矩阵（D）A的逆矩阵与任意一个n阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.设A是一个上三角阵，且|A|=0，那么A的主对角线上的元素（（A）全为零（B）只有一个为零（C）至少有一个为零（D）可能有零，也可能没有零_13_设A=，则A-1=（D）2011(A)0-21624.设A=a1a2a3b1b2b31

c2CB)1—316，若AP=a1a2a3C)c1c2c2b12b22b131—6，则P=D)21-—6~100_"100_"001_-200_001(B)002(C)020(D)001020010100010(A)3331aa…aa1a…a25•设n(n>3)阶矩阵A=aa1…aaaa…1(A)1C)B)-1若矩阵A的秩为1,则a必为(A)矩阵A的任意两行成比例.26.设A,B为两个n阶矩阵，现有四个命题:①若A,B为等价矩阵，则A,B的行向量组等价;②若A,B的行列式相等，即IA1=1BI,则A,B为等价矩阵;③若Ax=0与Bx=0均只有零解，则A,B为等价矩阵;④若A,B为相似矩阵，则Ax=0与Bx=0解空间的维数相同.以上命题中正确的是(D)(A)①,③.(B)②,④.(c)②，③.(D)③，④.当B=P-1AP时，A,B为相似矩阵。相似矩阵的秩相等。齐次线性方程组基础解系所含解的个数即为其解空间的维数。三、填空题11.设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，有|A|=2，则(-A)-1-2A*二A*=|A1A-1=2A-1，(-小=3A-1，因此(1A(1A)-1-2A*3二3A-1-4A-1二-A-1|二(-1)3|A|-1二-12.设A,B为4阶方阵，且|A|=3，则-(3A)-1=1/27,BA2B-1=93.设A是一个mxn矩阵，B是一个nxs矩阵，那么是(AB)'一个sxm阶矩阵，它的第i行第j列元素为Eab.jkkik=14.n阶矩阵A可逆oA非退化OIAIh0oA与单位矩阵等价OA可以表示为一系列初等矩阵的乘积.a00bc004.三阶对角矩阵A=0b0，则A的伴随矩阵A*=0ac000c00ab15.设A=00

一0a\0…0-6•设a丰0,i=1,2,…n，矩阵i010a2…0••••••••・••・••・000…an-1a00…0的逆矩阵为n7．设A,B都是可逆矩阵，矩阵C=的逆矩阵为0A-1B-108．"17．设A,B都是可逆矩阵，矩阵C=的逆矩阵为0A-1B-108．"12",B="13—,C="3_34__24__24_，则|B(2A-C)=(设A=）．9．A既是对称矩阵,又是反对称矩阵，则A为零矩阵.bxcbyc111111bxc,B=byc222222bxcbyc33333310•设方阵A=，且|A|=-2,|B|=3则行列式|A+B|11•设A为m阶方阵，B为n阶方阵,已知|A|=a,=b，则行列式=(-1)mnab.一00…0a-1na-10…0010a-1…00••・2•••••・••・•••00…a-10n-1将A的各列依次与B的各列交换，共需要交换mn次，化为12•设A为n阶方阵，且|A|丰0，则在A等价关系下的标准形为_n阶单位矩阵，

'12-213.设A=2-1a(a为某常数)，B为4x3的非零矩阵，且BA二0，则矩阵B的秩为1311丿1.由BA二0可得A的各列为齐次线性方程组Bx二0的解，A的前两列线性无关，因此Bx二0的基础解系至少有两个解，因此r(B)<1•又B为非零矩阵，因此r(B)>1•即r(B)=1.四、解答下列各题1．求解矩阵方程(1)-613丿(1)-613丿I21丿(21-11(1-131X210、432丿(1-11丿7(2)(141(201(311X=<-12丿<-11丿<0-1丿(3)解：1)-61(3-5解：1)-61(3-51(4-61(2-2313丿(0101(1001(1-431(4)100X001=20-1<001丿<010><1一20丿(1(21-11-1(2)X二-131(-2211210=、432丿、一8/35-2/3丿7<1-11丿7(03312.设A=110,AB=A+2B，求BJ-123丿解：（A-2E）B二A.厂033、厂200、厂-233、A-2E二110-020二1-10<-123丿<002丿21丿|A-2E|=2，因此A-2E可逆.厂-1-4、r-1o]<11>102>,求A11.3•.设P-iAP=A，其中P二解：A二PAP-1,4•设3级方阵A,B满足2A-1B=B-4E，证明：A-2E可逆，并求其逆.证明：2A-iB=B-4E两边同左乘以A得到2B=AB-4A・因此有(A-2E)B=4A・由A可逆可得A-2E，且(A-2E)-i=1BA-i.45•设A是一个n级方阵，且R(A)=r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP-i的后n-r行全为零・证明：R(A)二r，因此矩阵A可以经过一系列行初等变换化为后n-r行全为零•也即存在初等矩阵P,P，…,P,使得P・・・PPA后n-r行全为