高二数学：11.2《直线的倾斜角和斜率》教案(沪教版下)

用心爱心专心用心爱心专心11.2直线的倾斜角和斜率一、教学内容分析本节的重点是直线倾斜角和斜率的概念•引入斜率和倾斜角是为了刻画直线和x轴间的相对位置关系，是由于进一步研究直线方程的需要•在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生理解倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系本节的难点是当斜率为负值或斜率不存在时，求直线的斜率；弄清倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的联系，已知其中一个，会求其它三个二、教学目标设计理解倾斜角与斜率的概念；建立倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的关系；认识事物间联系的本质，体会用联系的观点看问题•三、教学重点及难点直线的倾斜角、斜率的概念以及它们之间的关系；已知倾斜角、斜率、方向向量中的一个，求其它两个四、教学用具准备投影仪，ppt演示五、教学流程设计六、教学过程设计、复习引入

第一节中，我们学习了一次方程axbyO（a,b不全为0）是直线的方程，即可以用方程这个代数形式描述直线这个几何曲线•任意两条直线都可以构成角，为了把它代数化，我们用第三条直线去交这两条直线，如果知道它们各自与第三条直线所交成的角，那么它们构成的角就可以算出•我们取x轴作为第三条直线，考虑任意直线与x轴构成的角.二、讲授新课1、概念引入什么是倾斜角？给出一些与x轴相交的直线（如y=x—1,y=—x—1,x=1），学生对照图形，给出倾斜角的定义，教师帮助规范语言，完善概念.若直线l与x轴相交于点M，将x轴绕点M逆时针方向旋转至与直线丨重合时所成的最小正角:叫做直线丨的倾斜角.那么y=3的倾斜角怎么规定呢？当直线l与x轴平行或重合（即丨与y轴垂直）时，规定其倾斜角：.=0.根据定义，直线的倾斜角:-的取值范围是［0,二）.特别地，丨与x轴垂直时，2什么是斜率rJIJI当时，记〉的正切值为k，把k工切叫做直线丨的斜率；当'八-时，直线丨的2斜率k不存在.斜率的也是单2、概念深化斜率的也是单随着倾斜角［在［0,二）内的取值逐渐增大，值如何变化呢？当时，斜率k二tan存在，作出2JlII兀y=tan〉在［0,）（，二）的图像，正切函数22y=tan在区间［0,—）为单调增，在区间（一，二）内调增，但在［0二山匸,巧内，却不具有单调性.22得到以下结论：（1）0-:-:::-2随着倾斜角:-的不断增大，直线斜率不断增大，k.[0,•：：）.n⑵2随着倾斜角:的不断增大，直线的斜率不断增大，k・（-：：,0）.反之，k-0时，：；三（0,）；k=0时，：=0;k:::0时川三（，二）•22直线l的倾斜角：•、斜率k、方向向量d之间有什么关系？已知其中一个可以求其它两个吗？（1）已知倾斜角:tJ[JI当时，k=tan：•；当时，斜率k不存在.22■In方向向量d=（rcos〉，rsin）,r=.0特别地，当〕=时，显然rcos〕代0,则2rcosJrsin一,（,）=（1k也是直线的一个方向向量.rcos一：匚rcos（2）已知斜率k（：•=—）2当k_0时，由x三[0,孑），故倾斜角〉=arctank；当k■0时，由卅三（孑，二），故:--二arctank.n彳由于，直线的一个方向向量d=（1,k）.24（3）已知一个方向向量d=（u,v）叫v当u=0时，直线垂直x轴，k不存在，；当u工0时，d=（1厂）也是一个方向向2u量，而k存在，再由上面的分析知（1,k）也是方向向量，故k=—（这个结论也可以从几何角u度研究得到）；倾斜角的研究要根据k=—的符号讨论（请学生课后自行完成）u思考：法向量，倾斜角，斜率又有何关系？（请学生课后自行完成）3、例题解析例1.已知直线丨上两点A,B，求直线丨的倾斜角一,和斜率k.（1）A（1,3）,B（5,-1）；（2）A（1,2）,B（1,—1）;

A(0,5),B(-1,5).［说明］本题考察学生对倾斜角、斜率定义和关系的掌握般，当x1^x2时，过两点A(X1,yj,B(X2,y2)的直线的斜率k二般，当x1^x2时，过两点直线斜率不存在•解：(1)直线的一个方向向量为d=AB=(4,一解：(1)直线的一个方向向量为d=AB=(4,一4)，故k4431，=arctan(-1)=4(2)直线的一个方向向量为d=TB=(0「3)，故k不存在,(3)直线的一个方向向量为d=AB=(-1,0),故k=—=0，：■=0；-1丨的倾斜角：•和斜率k是什么?思考：已知直线丨丨的倾斜角：•和斜率k是什么?例2.(1)已知直线斜率k--2，求倾斜角:及一个方向向量；已知直线丨的一个方向向量为d=(「3,-3)，求直线丨的倾斜角和斜率•［说明］本题考察直线倾斜角、斜率、方向向量之间的关系解：(1)k--2:::0,故〉为钝角arctan(-2)-二-arctan2；直线的一个方向向量4d二(1,k)=(1,-2);(2)k=-j3=v0,a=兀+arctank=^+arctan(—73)=2兀V33注意：通过k求〉时，要先判断k的符号，若k・0,：•二aretain为锐角；若k：：0,：=二arctank为钝角；若k=0,：=0.例3.已知M(2m•3,m),N(m-2,1),当m取何值时，直线MN的倾斜角为锐角、直角、钝角？［说明］本题主要涉及倾斜角和斜率的关系.解：若直线MN的倾斜角为锐角，则k二里士匹1!匹匕.0，故m：：：-5论-x2(2m+3)-(m-2)m+5m一1或m畀；若直线MN的倾斜角为直角，则k=不存在，故m=-5；若直线MN的倾m+5m—1斜角为钝角，贝Uk=：：：0，故一5：：：m：：：1.m+5

思考：m=1时，直线MN的倾斜角为何值?例4.求直线y=sinx1的倾斜角的范围［说明］本题主要涉及倾斜角和斜率关系的应用•解：设倾斜角为1,由题意知斜率k=sin：fw［_1,1］；1当k：二［_1,0)时，：为钝角，--二arctank，由arctank：二「一,0),43得--二arctank［，二)；4当(0,1］时，一：为锐角，得］二arctank・(0,］；4当k=0时，一：=0；3综上所述，倾斜角的取值范围是［0,…］U［-二，二).44［说明］上题的「不是倾斜角•解题时需注意当k的符号不同时须分开讨论，因为k.0，倾斜角为锐角；k：：：0,倾斜角为钝角.-2思考：若已知倾斜角：…［…，二］，斜率k的取值范围是什么？43例5•已知M(-1,-5),N(3,-2)，若直线丨的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，求直线l的斜率•TOC\o"1-5"\h\z［说明］本题主要涉及倾斜角、斜率定义及其应用•解：设直线I的倾斜角为「，则MN的倾斜角为2「•由2—［0,二)得x三［0,—).由已知2tan2=kMN-=-,2tan；=一3,即3ta.i-n：8-tan•解3得0—(—1)41-taria4由隈三［0,)得tan:0，故tan：•二—，直线I的斜率为一.233［说明］倾斜角的范围2很-［0,二)是一个隐含的条件，由它得到的-三［0,)是一个舍解的条2件.例6•已知P(3,-1),M(5,1),N(2,-..3-1)，直线I过P点且与线段MN相交，求:直线丨的斜率k的取值范围；直线丨的倾斜角〉的范围.［说明］本题主要涉及倾斜角和斜率定义和关系的灵活应用解:(1)kpM=1,kpN3=f：；3,故k(-：：，-'.3山［1,：：)；5-32-3(2)当k(一咛卡3］时，倾斜角二｛—,—■］；当k•［1,•二)时，二三3422—2也符合题意，综上，：…［…，二］.3［说明］先画出图形，在学习解析几何时要多注意数形结合三、巩固练习3已知直线的倾斜角为a，且cosa=，则直线的斜率为5经过点A(-2,0),B(5,3)两点的直线的斜率是，倾斜角是.下列命题中正确的是若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等；若两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也一定相等；若两直线的倾斜角不相等，则它们中倾斜角大的，斜率也大；若两直线的斜率不相等，则它们中斜率大的，倾斜角也大过A(1—a,1+a),B(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，贝U实数a的取值范围是.直线x+ycosa-8=0(a=R)的倾斜角的取值范围是.过P(-1,-'.,3)的直线l与y轴的正半轴没有公共点，求直线丨的倾斜角的范围.直线丨x-2y*2=0的倾斜角大小为:,l与y轴交于点P，将丨绕P逆时针旋转:-角得直线l,求「的方程.［说明］相关的例题和练习请教师根据学生的实际选用四、课堂小结1.倾斜角与斜率的概念；2•斜率和倾斜角的相互联系，倾斜角、斜率与直线方向向量、法向量的相互联系五、课后作业书面作业：习题11.2A组1-10,B组1-3七、教学设计说明1•分类讨论的思想在这节里，斜率k和倾斜角〉