2021-2022学年福建省福州高一（上）开学数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省福州三中高一（上）开学数学试卷

1.在一个不透明的袋中装有2个红球和3个白球，它们除了颜色外都相同，从中随机

摸出2个球，则摸出的球都是白球的概率是（）

A.-B.-C.-

10105

2.如图，下列四个选项不一定成立的是（）

A.△CODs&AOB

B.△DCASRBAC

C.NACCsxBOD

D.4PCAS&PBD

2

3.关于x的一元二次方程/+2mx+m-m-0的两实数根/、x2>满足右小=2,

则（好+2）（媛+2）的值是（）

A.8B.32C.20或68D.16或40

4.如图，△48。的顶点4在函数丫=：0>0）的图象上，乙480=90。，过4。边的三

等分点M、N分别作x轴的平行线交A8于点P、Q.若四边形MNQ尸的面积为3,

则%的值为（）

A.9B.12C.15D.18

5.如图，在边长为2的正方形A8CD中，对角线AC与BZ）

相交于点O,点尸是8。上的一个动点，过点P作EF〃/1C,

分别交正方形的两条边于点E,F,连接OE,OF,设BP=x,

△OEF的面积为y,则能大致反映y与x之间的函数关系

的图象为（）

C.乙D'FE

D.^LAGE

7.在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图

象中存在完美点的是（）

A.y=—2xB.y=x-6

C.y=：D.y=x2—3x+4

8.如图所示，4B是O。的直径，D、E是半圆上任意两点，连接A£）、DE,AE与BD

相交于点C,若添加一个条件使A4DC与△ABD相似，则可添加下列条件中的（）

A.庆=靛

C.AB//DED.AD2=BD-CD

9.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，其对称

轴为x=l,有下列结论：

①abc<0；

②2c<3b；

③4a+2b+c<0；

@a+b<m{am+b),

其中正确的结论有（）

A.①

B.②

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C.③

D.®

10.已知二次函数y=-尤2+mx+m(?n为常数)，当一2sxs4时，y的最大值是15,

则机的值是()

A.—19B.C.6D.—10

11.用列举法表示集合{小=瞿+品M力0}为：.

12,已知集合A={a6R|(x-I)。？+7ax+/+3x—4=0},{0}QA,则x的值为

13.如图，RMABC中，4ABe=90。，以点C为圆心，CB为半径作。C,。为上

一点，连接A。、CD,AB=AD,AC平分NBAC.

(1)求证：AD是。C的切线；

(2)延长A。、8c相交于点E,若SAE℃=2S-BC，求tan4BAC的值.

14.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+|刀+4与两坐标轴分别相交

于A,B,C三点.

(1)求证:乙ACB=90°；

(2)点。是第一象限内该抛物线上的动点，过点。作x轴的垂线交BC于点E,交x

轴于点F.

①求DE+BF的最大值；

②点G是AC的中点，若以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似，求点。的

坐标.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：将2个红球分别记为a、b,3个白球分别记为4、B、C,

从中随机摸出2个球，所有的基本事件为：ah.aA.aB、aC、bA,bB、bC、AB、AC.

BC,共10种,

其中，事件“随机摸出2个球都是臼球”所包含的基本事件有：AB.AC,BC,共3种，

因此，所求事件的概率为P=。，

故选：A.

将2个红球分别记为“、b,3个白球分别记为A、B、C,列举出所有的基本事件，并确

定事件“随机摸出2个球都是白球”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求

得结果.

本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：根据相交弦的性质和同弧或等弧所对的圆周角的关系，

所以==所以△CODS^ZOB,故A正确；

同理NAOC=NB。。，乙ACB=LADB,所以故C正确；

根据割线定理：NP=NP,^PCA=^PBD,所以△PCAS^PB。，故。正确.

故选：B.

直接利用割线定理和三角形相似的条件的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角形相似的条件，割线定理和三角形的关系，主要考查学生的

运算能力，属于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意可知4=4m2-4(血2一机)=4m>0,所以m>0,

由韦达定理可得x/2=皿？-?n=2,又m>0,

所以m=2,

所以原方程可化为/+4x+2=0,

所以X1+=—4,

22

故(好+2)(%2+2)=Xj%2+2(%i+X2)+4=(x1x2)+2Kxi+x2)—2XiX2]+4=

4+2x(16-4)+4=32,

故选：B.

利用韦达定理结合判别式求出m的值，再结合韦达定理可求得(好+2)(螳+2)的值.

本题主要考查韦达定理的应用，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：因为NQ"MP“OB,所以△力NQs△力MPs△4OB,

又M、N是04的三等分点，

••.•AN_―1,AN—1,.S&ANQ1,

AM2AO3S44MP4

又四边形MNQP的面积为3,所以与2-=；,解得〃4皿=1,

又1/=嗡）2=看所以工4。8=9,所以k=2SA4°B=18.

S“OBA。9

故选：D.

根据平面几何知识得AANQSAAMPS^AOB,由相似三角形的性质：面积比等于相似

比的平方可求出S-NQ=1，进而可求出aAOB的面积，则Z的值可求出得选项.

本题考查函数图像与解三角形的综合应用，是基础题.

5.【答案】B

【解析】解：当点？在。8上时，

•••四边形488是正方形，边长为2,

AB=BC=2,AC1BD,Z.ACB=乙CAB=45",

AC=2V2,BO=DO=AO=CO=V2,

•••EF//AC,

/.BAC=乙BEF=45°,乙BFE=4BCA=45°,乙40B=乙EPB=90°,

•••乙BEF=乙BFE,

■1•BE—BF,

•••乙BPE=90°,

BP=EP=FP=x,

:.OP=>/2—x,

•1•y=-^x\EF\xIOPI=Ix2x(V2—x)=—x2+V2x,(0<x<2),

当点P在。OHl寸，同理可得：y=-x2+3V2x-4,(V2<%<272).

故选：B.

分点尸在。8上和点尸在。。上两种情况讨论，由面积公式可求y与x的函数关系，即

可求解.

本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题.

6.【答案】ABC

【解析】解：由题意可得四边形FD'C'E丝四边形尸。CE,

所以ZFEG=NFEC,可得4FEC的补角即为所求，

再由长方形ABC£＞中可得：AD//BC,

显然4BEF,/.EFD=ND'FE是NFEC的补角，

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故选：ABC.

由题意可得全等四边形，可得对应角相等，再在矩形中可得补角.

本题考查图形的翻折可得对应角相等的性质的应用，属于基础题.

7.【答案】ACD

【解析】解：横纵坐标相等的函数即丫=乂，与y=x有交点即存在完美点，

对于A，｛；二：2£解得［二］即存在完美点(0,0)，A正确；

对于8,仁二无解，即不存在完美点，B错误；

对于C,1；=£，解得匕:卷《二即存在完美点(低回(-V3,-V3),C

正确；

对于Cl；2_3x+4'解得即存在完美点(2,2),。正确.

故选：ACD.

横纵坐标相等的函数即丁=x,与y=》有交点即存在完美点，依次计算即可.

本题考查了函数图象的对称性，是基础题.

8.【答案】BD

【解析】解：在△4DC和△ABD中，当4D=0E时，4DAB=，E,

v乙E=乙B,:.Z,DAC=£B,•••Z.ADC=Z.ADB9

/.△ADCs^ABD,

在ZMCC和AABD中，当=时，则有丝=丝，

DBAD

•・•Z.ADC=Z-ADB,•••△/DCSA/BD,

故选：BD.

根据相似三角形的判定方法可知，只要添加B,。可判定△ADC与△4BD相似.

本题考查相似三角形的判定，考查圆周角定理，属基础题.

9.【答案】AB

【解析】解：对于①，由图象可知，a<0,b>0,c>0,abc<0,故①正确，

对于②，由图象可知，当x=3时函数值y=9a+3b+c<0,且对称轴x=-/=1,

即a=一%

2

代入得，9x(—§+3b+c<0,得2c<3b,故②正确，

对于③，由二次函数的对称性可知，当x=2时，函数值大于0,即y=4a+2b+c>0,

故③错误，

对于④，当冗=1时，y的值最大，此时y=a+b+c,

而当x=m时，y=am24-bm+c,

a+b+c>am2+bm+c,

a+b>am2+bm,即a+bNm(am+b),故④错误，

故选：AB.

根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴交点坐标可判断a,b,c的正负，进而判断

①，由x=3时函数值y=9a+3b+c<0结合对称轴为x=-1可判断②，由x=2时，

函数值大于0可判断③，由x=1时，>的值最大可判断④.

本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，以及二次函数的性质，属于中档题.

10.【答案】AC

2

【解析】解：二次函数y=-x2+mx+m=-(x-y)2+^-+m,

对称轴为》=/，

①当£<-2,即m<-4时，函数丫=-%2+加工+也在［-2,4］上单调递减，

二当x=-2时，y取得最大值，即—(-2)2-2m+m=15,

解得m=-19,

②当一2三144,即一44mW8时，

止匕时当％=/时，y取得最大值，即一《)2+m-/+m=15,

解得?n=6或一10,

又-4<m<8,

・•・m=6,

③当1>4,即?n>8时，函数y=—%2+mx4-m在［—2,4］上单调递增，

二当％=4时，y取得最大值，即一42+4瓶+?71=15,

解得TH=y,

又,.,zn>8,.,・无解，

综上所述，加的值是-19或6,

故选：AC.

先求出二次函数的对称轴，再对对称轴的位置分情况讨论，利用y的最大值是15即可

求出m的值.

本题主要考查二次函数的图象和性质，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.

11.【答案】{0,—2,2}

【解析】解：当Q>0>Z?>0时：x=-+=2,

ab

当QV0、b<0Il寸，%=—4-—2,

ab

当Qb<0时，％=—1+1=0,

综上可知，集合可表示为：{0,-2,2},

故答案为：{0,-2,2}.

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通过对a、6的正负分类讨论即可求出集合.

本题主要考查了集合的表示方法，熟练掌握分类讨论思想方法和集合间的关系是解题的

关键，属于基础题.

12.【答案】1或一4

【解析】解：由{0}=4可得064

把a=0代入(x—l)a2+7ax+x2+3x-4=0,

所以/+3x-4=0>解得x=1或x=—4,

故答案为：1或-4.

由{0}14知064把a=0代入(x-l)a2+7ax++3%-4=0,可求得答案.

本题主要考查了集合的关系及应用，属于基础题.

13.【答案】证明：(1)因为4B=4D,CB=CD,AC=AC,所以，△ABC三△ADC,

所以，^ADC=/.ABC=90",即40J.C。，

又因为。为。C上一点，所以，A£>是OC的切线：

解：(2)由(1)可知，CD1AE,SAAOC=S“BC，

因为SAEDC=2S&ABC=2S“ADC，则5DE•CD=2x：AD•CD,：.DE=2AD=2AB,:.

AE=AD+DE=3AB,

因为4A8E=90。，则BE=7AE2-4—2=2VL48,

•••乙EDC=EBA=90。，则ta山EB=*=黄=赢=圣

所以，CD=—DE=—AB,

42

BC=CD=—AB,

2

在RtAABC中，/.ABC=90",故tan4BAC=更=在.

AB2

【解析】(1)证明△ABCADC,可得出AD1CD,即可证得结论成立；

(2)由(1)可得S,Dc=SA.BC，根据已知条件得出DE=2AB,AE=34B,由tan/AEB=

%=桨=它可得出BC=CD=%AB,由此可计算得出tan/BAC的值.

DEBE42

本题考查与圆有关的比例线段，考查学生的运算能力，属于中档题.

14.【答案】解：(l)y=—+|x+4中，令x=0得y=4,令y=0得/=—2,x2=8,

二4(一2,0),B(8,0),C(0,4),

OA=2,OB=8,OC=4,AB=10,

•••AC2=OA2+OC2=20,BC2=OB2+OC2=80,

•••AC2+BC2=100,

而4炉=102=100,

•••AC24-BC2=AB2,

・•・乙ACB=90°；

(2)①设直线8C解析式为y=kx+b,将B(8,0),C(0,4)代入可得：;,人十°

解得卜="4,

kb=4

・•・直线3c解析式为y=-；%+4,

设第一象限。(m,-：7n2+|m+4)(m>0),则E(?n,—[zn+4),

：•DE=(一二十+三根+4)一(—+4)=--m2+2m,BF=8-m,

、42yv274

1

:.DE+BF=(--m2+2m)+(8—m)

1

=--mz9+m+8

4

=-；(W-2)2+9,

.•.当m=2时，CE+BF的最大值是9；

②由(1)知〃CB=90°,

•••Z.CAB+^CBA=90°,

vDF1%轴于F,

/.zFEB+zCB^=90°,

・•・Z,CAB=乙FEB=乙DEC,

(一)当A与E对应时，

以点C,D,E为顶点的三角形与AAOG相似，只需黑=保或黑=箓

而G为AC中点，4(—2,0),C(0,4),

・・・G(-1,2),OA=2,AG=V5,

由①知：DE=-^rn2+2m,E(m,—^m+4),

CE=J(0—m)2+[4—(—+4)]2=

当黑=蜘寸，—-+2771=*,解得m=4■或？n=°(此时D与C重合，舍去)

A0(4,6),

当猿=票