1.3.1函数的单调性与导数教案

1.3.1函数的调与导数案谷城一中

杨超教学目1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重：索函数的单调性与导数的关系，求单调区间教学难：用导数判断函数的单调性教学过一．回与思考1、函数单调性的定义是什么？2、判断函数的单调性有哪些方法？比如判y=x2的单调性，如何进行（分别用定义法、图像法完成）3、函数yx

x怎么判断单调性呢？还有其他方法吗？二．新探究函数单调性导数之间的系【情景入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?【思考如（1表示跳水运动中高随时t变化函(t)t

2

t的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速随时t变化的函vt)t)t6.5图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导随着时间的变化运动员离水面的高度的变化有什么趋势？是逐渐增大还是逐步减小？【探究过观察图像，我们可以发现：（1运动员从起点到最高点离水面的高h随时t的增加而增加t)是增函数．相应地vt)'(t)．（2）从最高点到入水，运动员离水面的h随时t增加而减少，ht)是函数．相应vt)'t)，【思考导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与

导数有什么关系呢？【探究察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数x的定义域为R，并且在定义域上是增函数，其导数

大于零；（2）函数yx

的定义域为R，(单调递减，(单调递增；而y

)x时导数小于零0时导数大于零x0时，其导数为零。（3）函数yx

3

的定义域为R，在定义域上为增函数；而y

3

)

2

，若x，则其导数大于零，时，其导数为零；（4函数的定义域((0,(上单调递减,单调递减而

)，因0，显然x

【总结上四个函数的单调性及其导数符号的关系说明，在区(a内，如果函数yf()这个区间内单调递增，那么递减，那么f'.

数yf)在这个区间内单调【思考数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性是怎样的关系？知识归函数的调性与导数关系:某个区(,)内，如果f(x，那函数fx)在个区间单调递增如果f

()那么函数f(x)在这个区间单调递减特别的如果f三．典分析

()，那函数f(x)在个区间是常函数．例1知导函数f'(x)下列信息：当1时，f

()当x，x时，

()；当x，时，f'(x)试画出函数yf()图像的大致形状．解：当时，f

()，知f(x在此区间内单调递增；

当x，x时，(x；知f(x在此区间内单调减；当x，时，f

()，这两点比较特殊，我们它称为“临界点综上，函数yf()图像的大致形状如上所示．例．断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）fx)x3（2）f()2x（3）()x(0,

（4）f(x)x

3

x

2

x解）因为fx)x

3

x，所以，f')x2因此，fx)x

3

x在R

上单调递增，如图1.3-5（1）所示．（2）因为(x)x，所以，f'x)x当f')，时，函数f(x)x单调递增；当f')，x时，函数f(x)2x单调递减；函数(x)x

2

x的图像如图1.3-52）所示．（3）因为()x(0,

所以，f

(因此，函数f(x)x(0,如图1.3-5（3）所示．

)单调递减，（4）因为f(x)

3

x

2

，所以．当f

()，即

时，函数f(x)

2

x

；当f')，

时，函数f(x)

；函数f()x

3

x

2

的图像如图所示．练习：

(2)yx的调区间x已知函数

f()alnax

3(aR)求f()的单间。

求解函f(x单调区间的步：（）确定函数f()定义域；（）求导数

f

()；（）解不等式f'()，到函数单调增区间（）解不等式f

()，得函数的调递减区间．例3．如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高与时t的函数关系图像．解思考例3明通过函图像不可以看函数的增减还以看其变化快慢结合图像你能从导数角度解变化快慢的况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭