第一轮复习自己整理绝对经典2023直线与圆的方程-第一轮

直线与圆的方程题型总结(2023版)题型一：直线的倾斜角及斜率1．倾斜角定义：把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0。2．倾斜角的范围3.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.4．斜率的定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率，即：＝tan(≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；5．斜率公式：经过两点、的直线的斜率为；6．斜率的应用：证明三点共线：例1.直线的倾斜角是()A.B.C.D.例2.直线的倾斜角的范围是__________.例3.直线经过，两点，那么直线的倾斜角的取值范围是()A．B.C.D.例4.直线l与两直线y=1,x－y－7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是(1，－1)，那么直线l的斜率是___________.例5.两条直线，，其中a为实数，当这两条直线的夹角在内变动时，的取值范围是__________.例6.直线y=绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆的位置关系是_______.例7.过经过的直线的倾斜角为，且，那么的取值范围___.例8.点的直线的倾斜角的范围,那么m值的范围是_________.例9.两条直线斜率相等是这两条直线平行的___________条件.例10.曲线与直线有两个公共点时，实数k的取值范围是___.例11.实数满足，那么的最大值、最小值分别为____________.例12.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．如果是围成的区域〔含边界〕上的点，那么的取值范围是.例13.假设三点共线那么的值为________.例14.假设过点的直线与曲线有公共点，那么直线的斜率的取值范围为________.题型二：直线的方程直线方程的形式：名称条件方程说明斜截式斜率轴上的截距不包括垂直于轴的直线点斜式点P(x,y)，斜率=k〔〕不包括垂直于轴的直线两点式不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式轴上的截距a轴上的截距b不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0设直线方程的一些常用技巧：1．知直线纵截距，常设其方程为；2．知直线过点，当斜率存在时，常设其方程为，当斜率不存在时，那么其方程为；3．与直线平行的直线可表示为；4．与直线垂直的直线可表示为.注：求直线方程的根本思想和方法是恰中选择方程的形式，利用待定系数法求解。例15.l过点，且它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5，那么l为_________.例16.过点的直线分别交轴、轴的负半轴于两点，当最小时，直线的方程是________.例17.直线的倾斜角为，满足，并且在轴上的截距为1，那么直线方程为________.例18.直线经过P〔2，3〕，且在两坐标轴上的截距相等，那么该直线方程为.例19.直线过点P〔-2，1〕，倾斜角与直线的倾斜角互补，那么直线的方程是.例20.过点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是.例21.直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，那么三角形面积的最小值为_________.例22.，那么直线不经过〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限例23.直线，不管m怎样变化恒过点_________.例24.，直线过定点_________.例25.函数－1〔〕的图象恒过定点A，假设点A在直线上，其中，那么的最小值为.∶∶∶x+y+=0∶x+y+=0与组成的方程组平行且或无解重合且有无数多解相交有唯一解垂直题型三：直线与直线的位置关系例26.设aR,那么“a=1〞是“直线l1:与直线l2:平行〞的______条件.例27.“〞是“直线与直线互相垂直〞的条件.例28.直线的方程为，那么与平行，且过点〔—1，3〕的直线方程是______.例29.△三边的方程为：，，；〔1〕判断三角形的形状；〔2〕当边上的高为1时，求的值。例30.设分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，那么直线与的位置关系是________.真题：【2023高考陕西，理15】设曲线在点〔0,1〕处的切线与曲线上点处的切线垂直，那么的坐标为．【2023辽宁理】定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有.假设对所有，，那么k的最小值为〔〕B．C．D．【2023新标2理】点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两局部，那么b的取值范围是()A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(2),2)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))【2023江西理】在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，那么=【2023四川文】在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．【2023四川】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，那么的最大值是____________，的取值范围是__________,【2023辽宁】点O(0,0)，A(0，b)，B(a，a3)．假设△OAB为直角三角形，那么必有()A．b＝a3B．b＝a3＋eq\f(1,a)C．(b－a3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0D．|b－a3|＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b－a3－\f(1,a)))＝0题型四：点与直线及平行线间的距离问题点到直线的距离及两平行直线间的距离：1.点到直线的距离；2.两平行线间的距离为例31.直线5x+12y+3=0与直线10x+24y+5=0的距离是．例32.P点在直线3x+y-5=0上,且点P到直线x-y-1=0的距离为1,那么P点坐标为．例33.假设点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，那么a的值______．例34.过点P(1,2)作直线l，使直线l与点M(2,3)和点N(4，－5)距离相等，那么直线l的方程为__________．例35.直线及点〔1〕证明直线过某定点，并求该定点的坐标〔2〕当点到直线的距离最大时，求直线的方程题型五：对称〔中心对称和轴对称〕问题——代入法：1.点关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为.2.点关于直线的对称点的坐标的求法：〔1〕设所求的对称点的坐标为，那么的中点一定在直线上.〔2〕直线与直线的斜率互为负倒数，即3.直线关于直线的对称直线方程的求法：在直线上去两点〔其中一点可以是交点，假设相交〕求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；轨迹法(相关点法)；待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点关于定点的对称点为，曲线：关于定点的对称曲线方程为.5.直线系方程：与直线平行的直线系方程为〔〕与直线垂直的直线系方程为过直线和的交点的直线系的方程为：〔不含〕例36.点关于直线的对称点为______.点关于直线的对称点为___．例37.直线关于直线对称的直线的方程为__________．例38.点关于点的对称点坐标是__________．例39.直线关于点对称的直线方程__________．例40.直线关于直线对称的直线方程为__________．例41.一条光线从点射到直线后，再反射到一点，这条光线从A到B的长度为__________．例42.直线与的夹角平分线为，假设的方程为，那么的方程是_______.例43.、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，那么光线所经过的路程是____________.例44.ΔABC顶点A(3，－１)，AB边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，那么BC边所在的直线方程为__________.例45.点，在直线上求一点P，使最小.例46.直线2x―y―4=0上有一点，它与两定点A〔4,－1〕、B〔3,4〕的距离之差最大，那么P的坐标是_.真题：【2023高考山东，理9】一条光线从点射出，经轴反射后与圆QUOTE相切，那么反射光线所在直线的斜率为〔〕〔A〕或〔B〕QUOTE或QUOTE-23〔C〕或〔D〕或【2023湖南文】在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点〔如图〕.假设光线经过的中心，那么等于〔〕A．B．C．D．题型六：圆的标准方程及一般方程1.圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆2.圆的标准方程：圆心为，半径为，假设圆心在坐标原点上，这时，那么圆的方程就是3．圆的一般方程：只有当时，①表示的曲线才是圆，把形如①的方程称为圆的一般方程当时，①表示以〔-，-〕为圆心,为半径的圆；4．圆的参数方程：〔1〕圆心为原点半径为r的圆的参数方程为参数例47.设方程〔1〕当且仅当m在什么范围内，该方程表示一个圆。〔2〕当m在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。〔3〕求圆心的轨迹方程例48.求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．例49.圆和点，点P在圆上，求面积的最小值例50.求经过点，且与直线和都相切的圆的方程．例51.如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是.例52.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为〔〕B.C.D.真题：【2023高考北京，文2】圆心为且过原点的圆的方程是〔〕B．C．D．【2023高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y轴于M，N两点，那么()A．2B．8C．4D．10【2023山东文】圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得弦的长为，那么圆的标准方程为题型七：点与圆、直线与圆的位置关系点与圆的位置关系：给定点及圆.①在圆内②在圆上③在圆外直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面判断：〔1〕几何方法〔比拟圆心到直线的距离与半径的大小〕：设圆心到直线的距离为，那么相交；相离；相切。〔2〕代数方法〔判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况〕：相交；相离；相切；1.切线方程、切点弦方程例53.圆，求过点与圆相切的切线．例54.过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，那么直线的方程为.例55.过圆外一点引圆的两条切线，那么经过两切点的直线方程为〔〕A.B.C.D.真题：【2023山东理】过点〔3，1〕作圆的两条切线，切点分别为A，B，那么直线AB的方程为〔A〕2x+y-3=0〔B〕2x-y-3=0〔C〕4x-y-3=0〔D〕4x+y-3=0【2023福建理】设分别为和椭圆上的点，那么两点间的最大距离是B.C.D.【2023高考广东，理5】平行于直线且与圆相切的直线的方程是〔〕A．或B.或C.或D.或【2023江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【2023湖南文】假设圆与圆外切，那么〔〕【2023陕西文】点M(a,b)在圆外,那么直线ax+by=1与圆O的位置关系是〔〕 (A)相切 (B)相交 (C)相离 (D)不确定【2023江西文】过直线x+y-=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，假设两条切线的夹角是60°，那么点P的坐标是__________2.弦长、弧长问题例56.直线被圆截得的弦的长为.例57.直线截圆得的劣弧所对的圆心角为..例58.假设直线与圆切于点，那么的值.例59.圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点(1)假设点的坐标为〔1，0〕，求切线、的方程(2)求四边形的面积的最小值(3)假设，求直线的方程例60.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．真题：【2023江西理】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，假设以为直径的圆与直线相切，那么圆面积的最小值为〔〕A.B.C.D.【2023天津理】设，，假设直线与圆相切，那么的取值范围是〔〕〔A〕〔Ｂ〕〔Ｃ〕〔Ｄ〕【2023·杭州模拟】直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，假设|MN|≥2eq\r(3)，那么k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C．[－eq\r(3)，eq\r(3)]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))3.直线与圆的位置关系例61.直线和圆，那么此直线与圆的位置关系是.例62.圆和直线，〔1〕假设圆上有且只有4个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；〔2〕假设圆上有且只有3个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；〔3〕假设圆上有且只有2个点到直线l的的距离等于1，求半径的取值范围；例63.圆上到直线的距离为1的点有几个？例64.假设曲线与曲线有四个不同的交点,那么实数的取值范围是()A.B.C.D.例65.假设直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.例66.圆与直线相交于、两点，为原点，且，求实数的值．例67.在平面直角坐标系中，曲线与坐标轴的交点都在圆上〔Ⅰ〕求圆的方程；〔Ⅱ〕假设圆与直线交与两点，且，求的值.例68.圆,过点的直线,那么与的位置关系为.例69.圆与直线的位置关系为.例70.圆的方程为.是该圆过点〔3，5〕的11条弦的长，假设数列是等差数列,那么数列的公差的最大值为.真题：【2023·兰州模拟】假设圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，那么实数r的取值范围为()A．(eq\r(2)＋1，＋∞)B．(eq\r(2)－1,eq\r(2)＋1)C．(0,eq\r(2)－1)D．(0,eq\r(2)＋1)【2023高考重庆，理8】直线l：x+ay-1=0〔aR〕是圆C：的对称轴.过点A〔-4，a〕作圆C的一条切线，切点为B，那么|AB|=〔〕A．2B.C.6D.【2023高考广东，理20】过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．〔1〕求圆的圆心坐标；〔2〕求线段的中点的轨迹的方程；〔3〕是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点：假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由．【2023北京文】圆和两点，，假设圆上存在点，使得，那么的最大值为〔〕A.B.C.D.【2023浙江文】圆截直线所得弦的长度为4，那么实数的值为A.B.C.D.【2023年四川卷〔理14〕】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，那么的最大值是。【2023年全国新课标Ⅱ〔理16〕】设点M〔,1〕，假设在圆O:上存在点N，使得∠OMN=45°，那么的取值范围是________.题型八：圆与圆的位置关系用两圆的圆心距与半径之间的关系判断：两圆的圆心分别为，半径分别为，那么：〔1〕当时，两圆外离；〔2〕当时，两圆外切；〔3〕当时，两圆相交；〔4〕当时，两圆内切；〔5〕当时，两圆内含。例71.两圆和的公共弦长为.例72.平面区域，恰好被面积最小的圆及其内部所覆盖．(Ⅰ)试求圆的方程．(Ⅱ)假设斜率为1的直线与圆C交于不同两点满足,求直线的方程．例73.假设圆始终平分圆的周长,那么实数应满足的关系是()A．B．C．D．例74.两圆与相交于、两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．例75.两圆和