八年级数学北师大版上册勾股定理的应用

第一章 勾股定理1．3 勾股定理的应用典型例题精析

例1 如图1-3-1①，有一个圆柱，它的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱的下底面上A点处有一个蚂蚁想吃到离上底面1cm处的B点的食物，需爬行的最短距离为

．解：把题中的圆柱沿着A点所在的母线剪开，其展开图为一个长方形，如图1-3-1②．由图根据勾股定理得AB2=52+122=132，∴AB=13cm．故需爬行的最短距离为13cm．变式练习1．如图1-3-2，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B，圆柱的高为8cm，圆柱的底面半径为cm，那么最短的路线长是( ) A．6cm B．8cm C．10cm D．10πcmC变式练习2．编织一个底面周长为50cm、高为120cm的圆柱形花柱架，需用沿圆柱表面绕织一周的竹条若干根，如图1-3-3中的A1C1B1，A2C2B2……则每一根这样的竹条的长度最少是

cm．1303．如图1-3-4，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为

cm．150变式练习例2 如图1-3-5，长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B到点C的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？解：将长方体展开，分别得到如图①、图②、图③所示三种情况，连接AB．在图①中，AB2=AD2＋BD2=202＋(10＋5)2=625；在图②中，AB2=AE2＋BE2=102＋(20＋5)2=725；在图③中，AB2=AC2＋BC2=(20＋10)2＋52=925．∵925>725>625,∴最短距离AB=25cm．∴蚂蚁需要爬行的最短距离是25cm．4．如图1-3-6，长方体的长、宽、高分别是12、8、30，在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从E处爬到C处去吃蜜糖，有无数种走法，则最短路程是( ) A．15 B．25 C．35 D．45B5．如图1-3-7，长方体的底面长和宽分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要

cm．106．如图1-3-8是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55dm、10dm和6dm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短距离是

dm．73基础过关精练1．如图1-3-9，小张为测量校园内池塘A、B两点间的距离，他在池塘边定一点C，使∠ABC=90°，并测得AC长为26m，BC长为24m，则A、B两点间的距离为( ) A．5m B．8m C．10m D．12mC2．小明同学先向北行进了4km，再向东行进了8km，最后又向北行进了2km，此时小明离出发点的距离是( ) A．6km B．8km C．10km D．12kmC3．如图1-3-10，一圆柱的底面周长为14cm，高AB为24cm，BC为直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是( ) A．31cm B．24cm C．25cm D．50cmC4．如图1-3-11，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要

元钱．6125．如图1-3-12，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现在一虫子从A点出发，沿长方体表面到达C点处，则虫子爬行的最短路程为

cm．56．如图1-3-13，有一个圆柱形的油桶，它的高是80cm，底面直径是50cm．在圆柱下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A点在同侧的B点处的食物，但由于A，B两点间有障碍，不能直接到达，蚂蚁只能沿桶壁爬行，经过CD上一点，再爬向B点，则蚂蚁需要爬行的最短路程是

(π取整数3)．170cm7．如图1-3-14，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的横截面是半径为3m的半圆，该部分的边缘AB=CD=45m，点E在CD上，CE=5m，一滑行爱好者从A点到E点，则他滑行的最短距离是多少？(边缘部分的厚度忽略不计，π取整数3)解：其侧面展开图如图，AD=πR=3π，AB=CD=45m,DE=CD-CE=45-5=40(m)．在Rt△ADE中，AE2=(3π)2+402=(3×3)2+402=412，∴AE=41m．答：他滑行的最短距离是41m．8．“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是一根竹子，原来高一丈(十尺)，虫伤之后，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处与原竹子底部距离三尺，问原处还有多高的竹子(如图1-3-15)？能力提升演练9．如图1-3-16，一个梯子AB长2．5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1．5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0．9米，则梯子顶端A下落了( ) A．0．9米

B．1．3米

C．1．5米

D．2米B能力提升演练10．如图1-3-17，在一个长为20米，宽为18米的矩形草地上放着一根长方体的木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，爬过木块到达C处需要走的最短路程是

米．3011．如图1-3-18，A、B两村在河岸CD的同侧，AB2=13，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，现要在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工本费每千米需3000元，请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．解：作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点O，则O点即为水厂的位置，如图．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，作AF⊥BD于点F．∴BF=BD-FD=3-1=2(km)．在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，∴AF2=13-22=9,即AF=3km，∴A′E=AF=3km．在Rt△A′BE中，BE=BD+DE=4,A′B2=A′E2+BE2,即A′B2=32+42=52,∴A′B=5km．∴W=3000×5=15000(元)．拓展探究训练12．如图1-3-19，有一圆柱形透明玻璃容器，高15cm，底面周长为24cm，在容器内壁距上边沿4cm的A处，停着一只小飞虫，一只蜘蛛从容器底部外向上爬了3cm到达B处时(B处与A处恰好相对)，发现了小飞虫，问蜘蛛怎样爬去吃小飞虫最近？它至少需要爬行的距离是多少？(容器厚度忽略不计)解：将圆柱沿着A，B所在直线垂直切开，并将半圆柱侧面展开成一个长方形，如图所示，作BO⊥AO于点O，则AO，BO分别平行于长方形的两边，作A点关于D点