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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,则的最大值为A.2 B. C. D.2.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为5的概率为A. B. C. D.3.设等差数列的前项和为,若,,则()A.21 B.22 C.11 D.124.已知集合M={y|y=2x,x>0},N={x|y=lg(2x-xA.(1,+∞) B.(1,2) C.[2,+∞) D.[1,+∞)5.设命题p:>1,n2>2n,则p为()A. B.C. D.6.一艘海轮从A处出发,以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是()A.6海里 B.6海里 C.8海里 D.8海里7.若向量,则()A.30 B.31 C.32 D.338.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.9.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李10.执行如图所示的程序框图,若输出的值为8,则框图中①处可以填().A. B. C. D.11.对于定义在上的函数,若下列说法中有且仅有一个是错误的,则错误的一个是()A.在上是减函数 B.在上是增函数C.不是函数的最小值 D.对于,都有12.已知向量,,则与共线的单位向量为()A. B.C.或 D.或二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则________.14.已知,则__________.15.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭;令上方六尺:问亭方几何?”大致意思是:有一个四棱锥下底边长为二丈,高三丈;现从上面截取一段,使之成为正四棱台状方亭,且四棱台的上底边长为六尺,则该正四棱台的高为________尺,体积是_______立方尺(注:1丈=10尺).16.满足线性的约束条件的目标函数的最大值为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,(其中,).(1)求函数的最小值.(2)若,求证:.18.(12分)已知函数.(1)当时,解关于的不等式;(2)若对任意,都存在,使得不等式成立,求实数的取值范围.19.(12分)运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时,每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(),运输的路程为S(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为(元)、(元)、(元).(1)请分别写出、、的表达式;(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.20.(12分)在以为顶点的五面体中,底面为菱形,,,,二面角为直二面角.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)求二面角的余弦值.21.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.(1)证明:AP∥平面EBD;(2)证明:BE⊥PC.22.(10分)已知函数(1)求单调区间和极值;(2)若存在实数,使得,求证:
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最大值.【详解】解:设直线l的方程为y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由题意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦长|AB|=4.故选:C.【点睛】本题主要考查了椭圆的应用,直线与椭圆的关系.常需要把直线与椭圆方程联立,利用韦达定理,判别式找到解决问题的突破口.2、A【解析】
阳数:,阴数:,然后分析阴数和阳数差的绝对值为5的情况数,最后计算相应概率.【详解】因为阳数:,阴数:,所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有:个,满足差的绝对值为5的有:共个,则.故选:A.【点睛】本题考查实际背景下古典概型的计算,难度一般.古典概型的概率计算公式:.3、A【解析】
由题意知成等差数列,结合等差中项,列出方程,即可求出的值.【详解】解:由为等差数列,可知也成等差数列,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了等差中项.对于等差数列,一般用首项和公差将已知量表示出来,继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大,如果能结合等差数列性质,可使得计算量大大减少.4、B【解析】M=y|y=N==x|∴M∩N=(1,2).故选B.5、C【解析】根据命题的否定,可以写出:,所以选C.6、A【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角,再结合AB可求,应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知:∠BAC=70°﹣40°=30°.∠ACD=110°,∴∠ACB=110°﹣65°=45°,∴∠ABC=180°﹣30°﹣45°=105°.又AB=24×0.5=12.在△ABC中,由正弦定理得,即,∴.故选:A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用,关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系,利用正余弦定理求解.属于中档题.7、C【解析】
先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.8、D【解析】
由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.9、D【解析】
根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.10、C【解析】
根据程序框图写出几次循环的结果,直到输出结果是8时.【详解】第一次循环:第二次循环:第三次循环:第四次循环:第五次循环:第六次循环:第七次循环:第八次循环:所以框图中①处填时,满足输出的值为8.故选:C【点睛】此题考查算法程序框图,根据循环条件依次写出每次循环结果即可解决,属于简单题目.11、B【解析】
根据函数对称性和单调性的关系,进行判断即可.【详解】由得关于对称,若关于对称,则函数在上不可能是单调的,故错误的可能是或者是,若错误,则在,上是减函数,在在上是增函数,则为函数的最小值,与矛盾,此时也错误,不满足条件.故错误的是,故选:.【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用,结合对称性和单调性的关系是解决本题的关键.12、D【解析】
根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案.【详解】因为,,则,所以,设与共线的单位向量为,则,解得或所以与共线的单位向量为或.故选:D.【点睛】本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、13【解析】
由导函数的应用得:设,,所以,,又,所以,即,由二项式定理:令得:,再由,求出,从而得到的值;【详解】解:设,,所以,,又,所以,即,取得:,又,所以,故,故答案为:13【点睛】本题考查了导函数的应用、二项式定理,属于中档题14、【解析】
首先利用,将其两边同时平方,利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到,从而求得,利用诱导公式求得,得到结果.【详解】因为,所以,即,所以,故答案是.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题,涉及到的知识点有同角三角函数关系式,倍角公式,诱导公式,属于简单题目.15、213892【解析】
根据题意画出图形,利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高,再计算它的体积.【详解】如图所示:正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱台ABCD-A'B'C'D',且上底边长为A'B'=6尺,所以,解得,所以该正四棱台的体积是,故答案为:21;3892.【点睛】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题,也考查了棱台的体积计算问题,属于中档题.16、1【解析】
作出不等式组表示的平面区域,将直线进行平移,利用的几何意义,可求出目标函数的最大值。【详解】由,得,作出可行域,如图所示:平移直线,由图像知,当直线经过点时,截距最小,此时取得最大值。由,解得,代入直线,得。【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题的解法——平移法。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1).(2)答案见解析【解析】
(1)利用绝对值不等式的性质即可求得最小值;(2)利用分析法,只需证明,两边平方后结合即可得证.【详解】(1),当且仅当时取等号,∴的最小值;(2)证明:依题意,,要证,即证,即证,即证,即证,又可知,成立,故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值,考查用分析法证明不等式,在不等式不易证明时,可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件,完成证明,这就是分析法.18、(1);(2).【解析】
(1)分类讨论去绝对值号,然后解不等式即可.(2)因为对任意,都存在,使得不等式成立,等价于,根据绝对值不等式易求,根据二次函数易求,然后解不等式即可.【详解】解:(1)当时,,则当时,由得,,解得;当时,恒成立;当时,由得,,解得.所以的解集为(2)对任意,都存在,得成立,等价于.因为,所以,且|,①当时,①式等号成立,即.又因为,②当时,②式等号成立,即.所以,即即的取值范围为:.【点睛】知识:考查含两个绝对值号的不等式的解法;恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题;能力:分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力;中档题.19、(1),,.(2)当时,此时选择火车运输费最省;当时,此时选择飞机运输费用最省;当时,此时选择火车或飞机运输费用最省.【解析】
(1)将运费和损耗费相加得出总费用的表达式.(2)作差比较、的大小关系得出结论.【详解】(1),,.(2),故,恒成立,故只需比较与的大小关系即可,令,故当,即时,,即,此时选择火车运输费最省,当,即时,,即,此时选择飞机运输费用最省.当,即时,,,此时选择火车或飞机运输费用最省.【点睛】本题考查了常见函数的模型,考查了分类讨论的思想,属于基础题.20、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)连接交于点,取中点,连结,证明平面得到答案.(Ⅱ)分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,平面的法向量为,平面的法向量为,计算夹角得到答案.【详解】(Ⅰ)连接交于点,取中点,连结因为为菱形,所以.因为,所以.因为二面角为直二面角,所以平面平面,且平面平面,所以平面所以因为所以是平行四边形,所以.所以,所以,所以平面,又平面,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知两两垂直,分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设设平面的法向量为,由,取.平面的法向量为.所以二面角余弦值为.【点睛】本题考查了线线垂直,二面角,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.21、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)连结AC交BD于点O,连结OE,利用三角形中位线可得AP∥OE,从而可证AP∥平面EBD;(2)先证明B
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