2018年数学总复习专题2.3函数奇偶性和周期性练习（含解析）理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE26-学必求其心得，业必贵于专精专题2.3函数奇偶性和周期性真题回放1。【2017高考新课标1理5】函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足的的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D。2.【2017高考北京理5】已知函数，则为（）（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数(C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数,且在R上是增函数【答案】A【解析】，所以函数是奇函数,并且是增函数,是减函数,根据增函数—减函数=增函数，所以函数是增函数，故选A。【考点解读】本题为考查函数的奇偶性和单调性,由函数，可借助函数奇偶性的定义及指数函数的性质来分析处理。3.【2017高考天津理6】已知奇函数在上是增函数.若,则的大小关系为（)(A）（B)(C）（D)【答案】【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题，可由为奇函数及单调递增性质，化为比较自变量,再运用指数和对数函数的性质，来比较大小。对知识综合运用要求较高。4。【2017高考江苏理11】已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为,所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增,又，即，所以，即，解得,故实数的取值范围为.【考点解读】本题为函数奇偶性与单调性结合问题,可由函数解析式，先判断出是奇函数，再通过导数判断出定义域上的单调性，化为比较自变量.对知识综合运用要求较高。5。【2017高考江苏理14】设f(x）是定义在R且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f(x）-lgx=0的解的个数是.【答案】8则在x=1附近仅有一个交点，因此方程的个数为8个.【考点解读】本题综合考查了函数的周期性及零点问题,函数的图象和性质及转化思想.对知识综合运用能力要求较高，有相当难度。（需注意对题中条件集合D的解读)考点分析考点了解A掌握B灵活运用C奇偶性B周期性A高考对函数奇偶性与周期性的考查要求为掌握,以小题的形式进行考查。有一定的综合性,常与函数的求值,零点、图像、解不等式等问题结合。纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查函数的奇偶性、周期性的理解和运用;如函数奇偶性的判断，函数求值等。二是以性质为载体解决函数零点问题，解不等式。解决问题中要注意数形结合思想的运用。融会贯通题型一函数奇偶性的判断典例1.（1）（2016年广州模拟）下列函数中既是奇函数，又在区间(－1,1)上是增函数的为()A．y＝｜x｜B．y＝sinxC．y＝ex＋e－xD．y＝－x3【答案】B【解析】由题中选项可知，y＝｜x|，y＝ex＋e－x为偶函数，排除A,C;而y＝－x3在R上递减,故选B.（2）（2017浙江省嘉兴市模拟)已知函数，，则的图象为（)【答案】C（3)(2016重庆模拟)定义域为(－∞，0）∪（0，＋∞)的函数f（x）不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy）＝eq\f（f（y）,x)＋eq\f（f（x),y)成立，则f（x）(）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数,但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数【答案】A【解析】令x＝y＝1，则f(1）＝eq\f(f(1)，1）＋eq\f（f（1)，1），∴f(1）＝0.令x＝y＝－1，则f（1）＝eq\f(f(－1），－1)＋eq\f（f(－1)，－1)，∴f(－1)＝0.令y＝－1,则f（－x)＝eq\f(f（－1）,x）＋eq\f（f（x）,－1),∴f（－x)＝－f（x)．∴f（x)是奇函数．又∵f(x)不恒为0,∴f(x）不是偶函数．故选A.解题技巧与方法总结判断函数奇偶性的两个方法1．定义法；2．图象法；【变式训练】1.（2015年山东高考）下列判断正确的是(）A。函数是奇函数B.函数是偶函数C.函数是偶函数D。函数既是奇函数又是偶函数【答案】C2。（2017云南省昆明模拟）设函数f(x)的定义域为R，且|f(x)|是偶函数，则下则结论中正确的是(）A。f(x)是偶函数B.f(x)是奇函数C.|f(x-1)|的图像关于直线x=1对称D。|f(x)+1|的图像关于（0,1）对称【答案】C【解析】由题意得，例如f(x)=x,则|f(x)|是偶函数，此时f(x)是奇函数，所以A不正确；例如f(x)=x2，则|f(x)|是偶函数，此时f(x)是偶函数，所以B不正确;例如f(x)=x,则|f(x)+1|=|x+1|是偶函数,图象关于y轴对称，所以D不正确；由函数的图象变换可知,函数y=f(x)向右平移1个单位，可得函数y=f(x-1)的图象，又函数|f(x)|是偶函数，图象关于x=0对称，所以函数|f(x-1)|的图象关于3.判断下列函数的奇偶性：（1）;（2)【答案】（1)为奇函数;(2)为奇函数知识链接：知识点1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x）的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f（x),那么函数f(x）是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（－x)＝－f(x），那么函数f(x)是奇函数关于原点对称必会结论：函数奇偶性常用的结论①如果一个奇函数f（x)在原点处有定义,即f(x）有意义,那么一定有f(0)＝0；②如果函数f（x)是偶函数,那么f(x)＝f(|x|）；③在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶,偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；④奇函数在两个对称区间上具有相同的单调性．偶函数在两个对称区间上具有相反的单调性．题型二函数周期性及应用典例2。(1)（2017银川模拟）设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1］上的图象，则f(2017）＋f（2018）＝(）A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】由于f（x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f（2017）＋f(2018）＝f（671×3＋1）＋f(673×3－1)＝f(1）＋f(－1)，而由图象可知f(1）＝1，f(－1）＝2，所以f（2017)＋f(2018）＝1＋2＝3.（2）（2017哈尔滨模拟）已知是上的奇函数，对都有成立，若，则等于(）A．2B．﹣2C．﹣1D．2017【答案】A【解析】由,取,得：，即，所以，则，所以是以4为周期的周期函数,所以．（3）(2016大连质检)设函数f（x）（x∈R)满足f（－x)＝f(x)，f（x）＝f(2－x）,且当x∈[0,1］时，f（x）＝x3。又函数g（x）＝|xcos（πx）｜，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在[－eq\f（1，2),eq\f（3，2）］上的零点个数为()A．5B．6C．7D．8【答案】B（4)（2017银川模拟)设f(x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f（x）．当x∈［0，2]时,f(x）＝2x－x2.（1)求证：f(x)是周期函数;（2）当x∈［2，4]时，求f(x）的解析式；(3）计算f(0）＋f（1)＋f（2)＋…＋f（2017）．【答案】见解析解题技巧与方法总结函数周期性的判定与应用1．判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)（T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T.2．应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【变式训练】1。(2017成都市第七中三诊）．设是定义在上周期为2的奇函数，当时，，则（)A.B.C。D.【答案】C【解析】由题意可知：.选C。2．（2017河北省巨鹿月考)已知对于任意的,都有，且，则（）A。B。C.D。【答案】C【解析】由可得，则即：,取x为x+3，则，则周期为6,所以==13。(2017衡水质检）已知周期函数的定义域为，周期为2，且当时，。若直线与曲线恰有2个交点，则实数的所有可能取值构成的集合为(）A．或B．或C．或D．【答案】C4.（2017山东省鄄城县月考）设非常数函数是定义在上的奇函数，对任意实数，有成立.(1）证明：是周期函数，并指出其一个周期；（2)若，求的值；（3）若，且是偶函数，求实数的值。【答案】（1）见解析（2）(3)知识链接：知识点2函数的周期性1．周期函数；T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件:(1)T≠0；(2）f（x＋T)＝f(x）对定义域内的任意x都成立．2．最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期．3．周期不唯一；若T是函数y＝f（x）的一个周期,则nT（n∈Z，且n≠0）也是f(x)的周期,即f（x＋nT）＝f(x)．函数周期性常用结论；对f（x)定义域内任一自变量的值x：①若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a(a>0)；②若f（x＋a）＝eq\f(1,f(x）)，则T＝2a（a>0）；③若f(x＋a）＝－eq\f(1，f（x)）,则T＝2a(a>0)．对称性的三个常用结论①若函数y＝f（x＋a)是偶函数，即f（a－x)＝f（a＋x)，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；②若对于R上的任意x都有f（2a－x）＝f（x)或f（－x)＝f（2a＋x）,则y＝f（x)的图象关于直线x＝③若函数y＝f（x＋b）是奇函数,即f(－x＋b）＋f（x＋b）＝0，则函数y＝f(x)关于点（b,0)中心对称．题型三函数奇偶性的应用命题点1已知函数的奇偶性求函数的值典例3。（1）（2017昆山调研）已知是奇函数,且，若，则．【答案】【解析】∵为奇函数，∴，∴，∴，∴，∴．(2）(2016金华十校模拟)已知函数f（x－1)为奇函数，函数f(x＋3)为偶函数，f(0)＝1，则f(8）＝________。【答案】【解析】由y＝f（x－1）为奇函数得f（－x－1)＝－f(x－1)，由y＝f（x＋3)为偶函数得f（－x＋3）＝f(x＋3），则f(8)＝f(5＋3）＝f（－5＋3）＝f（－2)＝f(－1－1）＝－f（1－1）＝－f(0)＝－1.(3）（2017湖北省襄阳模拟）已知满足对，，且时，（为常数），则的值为（)A。4B。-4C。6D。-6【答案】B命题点2与函数奇、偶性相关的不等式问题（4）(2017兰州高台县联考）已知是上的偶函数，且在是减函数，若，则不等式的解集是(）A。B。C.D.【答案】C【解析】因为y=f（x)为偶函数,所以等价为,所以不等式等价为；x>0且f（x）〈0或x〈0且f（x)>0。因为函数y=f（x）为偶函数,且在（−∞，0］上是减函数，又f(3）=0，所以f（x）在[0,+∞）是增函数，则对应的图象如图：所以解得x<−3或0〈x〈3，即不等式的解集为(−∞，−3）∪（0,3）.（5）（2017重庆一中月考）已知函数，则不等式的解集是()A。B.C。D。【答案】B命题点3已知函数的奇偶性求参数（6）(2015全国卷Ⅰ）若函数f（x）＝xln(x＋eq\r（a＋x2))为偶函数，则a＝________.【答案】1【解析】∵f(x）为偶函数，∴f(－x）－f（x)＝0恒成立，∴－xln(－x＋eq\r（a＋x2））－xln(x＋eq\r(a＋x2）)＝0恒成立,∴xlna＝0恒成立，∴lna＝0，即a＝1.（7）（2017山东省鄄城县月考）已知是奇函数，则的值为（)A.B。C.D。不能确定【答案】A(8）(2017广州质检)定义在上的奇函数为减函数，若，满足,则当时，的取值范围为()A。B.C.D.【答案】D【解析】由于函数为奇函数且为减函数,故由得，即,，画出可行域如下图所示，由图可知。【变式训练】（1)（2017河北省衡水中学三模)已知是上的奇函数，则的值为()A。B。C。D.【答案】A【解析】因为是上的奇函数，所以，得,..故选A。（2）（2017辽宁省庄河市月考)已知函数，若当时,恒成立,则实数的取值范围是（）A。(0,1）B.C.D。【答案】D(3)(2017石家庄市冲刺)已知定义在上的奇函数，当时，,则使得成立的的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，在单调递增,又因为定义在上的奇函数，所以单调递增，由,所以，得.填。（4）（2017江苏省沭阳县调研）已知函数是上的偶函数，满足，且当时，，令函数，若在区间上有个零点，分别记为，则_______．【答案】【解析】因为函数是上的偶函数,所以，由，令，可得，因此，即是函数的对称轴，周期，又函数是偶函数，关于轴对称,因此也是其对称轴,函数。因为当时，单调递增，在区间上单调递增，所以当时，只有一个零点设为，同理在区间上只有一个零点设为则。同理，故答案为。（5)（2017乌鲁木齐市三诊)已知定义在上的奇函数满足，为数列的前项和，且，则__________．【答案】3知识链接：1.单调区间是定义域的子区间，求单调区间定义域优先．2.对∀x1，x2∈D（x1≠x2)，eq\f（f(x1)－f（x2),x1－x2）>0⇔f(x)在D上是增函数,eq\f（f(x1)－f(x2）,x1－x2)<0⇔f（x)在D上是减函数．3.函数的单调区间要分开写,两个（或两个以上）同一类单调区间之间用“,”隔开,不能用“∪”连结．4。在区间D上,两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．5.函数f（g（x))的单调性与函数y＝f(u）和u＝g(x)单调性的关系是“同增异减”．6。对勾函数y＝x＋eq\f（a,x）（a>0)的增区间为eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\r(a）））和eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1（\r（a）,＋∞)），减区间为［－eq\r（a)，0)和eq\b\lc\(\rc\］(\a\vs4\al\co1(0,\r（a）））。课本典例解析与变式例1。【必修1复习参考题P83B组第3题】对于函数，是否存在实数，使函数为奇函数?【答案】存在，【解析】解法一;若存在实数，由定义域为．当为奇函数时，有，即．故,，．故存在，使函数为奇函数．解法二；若存在实数，由定义域为．当为奇函数时,有，即．故存在，【解题反思】本题为存在性问题，可先假设存在。然后运用奇函数的定义和性质，建立方程求出的值。变式1.(2016浙江金华模拟）若函数为奇函数,则实数的值为（）A. B。C。 D．1变式2。（2017兰州模拟)已知定义域为的函数是奇函数，的值为．【答案】【解析】，,，．变式3.(2017北京模拟)若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为（）（A）（)（B）（）(C)（D）【答案】C变式4.（2017上海市徐汇区二模）已知函数是偶函数。（1）求实数的值；(2）若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)因为函数是偶函数，所以有，即求出的值；(2）分离参数,因为，所以不等式等价于,使得不等式恒成立,只要即可求出的范围.试题解析;(1）因为函数是定义域为的偶函数，所以有，即，即，故.（2），且在上恒成立，故原不等式等价于在上恒成立，又,所以,所以，从而，因此，.【课本回眸反思】1。在复习解题训练中因注重对数学基本概念和性质的理解；2．解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的,并提高复习效率.练习检测1．（2017广州模拟）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是(）A．y＝x＋sin2xB．y＝x2－cosxC．y＝2x＋eq\f(1，2x）D．y＝x2＋sinx【答案】D【解析】令f（x）＝x2＋sinx，则f（1）＝1＋sin1，f(－1）＝1－sin1即f（－1）≠f（1),f（－1)≠－f（1）,所以y＝x2＋sinx，既不是奇函数,也不是偶函数，而A、B、C依次为奇函数，偶函数，偶函数，故选D.考点；基本初等函数函数性质的判断2.(2017四川雅安三诊）若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（）A.B。对，都成立C。,使得D.对，都成立【答案】D【解析】奇函数的定义：对，有,即故选D考点；奇函数的定义及充要条件的判断3.（2017银川模拟）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B．C．D．【答案】D考点；函数奇偶性与单调性及方程思想4.（2016湖北襄阳模拟)x为实数，[x］表示不超过x的最大整数,例;[—1.2]=-2,[0。9］=0，［1.8］=1则函数f(x）＝x－[x］在R上为（)A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数【答案】D【解析】作出函数f（x）的图象，由图象可知选D.考点;函数奇偶性定义及数形结合思想。5.（2017安徽池州市模拟）．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①对任意的，当时,都有；②；③是偶函数;若，，，则的大小关系正确的是()A。B。C.D。【答案】B考点；函数奇偶性定义及周期性和单调性的综合运用。6．（2017四川省绵阳模拟)已知函数，若，则实数的取值范围是（）A。B。C。D.【答案】D【解析】由偶函数定义可得为偶函数，即，原不等式等价于，根据偶函数定义可得,当时，为增函数，故，故,故选D.考点；函数奇偶性与单调性的运用。7。（2017江西省赣中南五校联考)定义在R上的函数y=f(x)为减函数，且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若f(x2-2x)+f(2b-b2A。[-2,0]B.[-2,2]C。[0,2]D.[0,4]【答案】B考点;函数奇偶性与单调性及线性规划的综合运用。8．（2017吉林省实验中学模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且当时,;当时,，则方程（其中是自然对数的底数，且）在[-9,9］上的解的个数为()A。9B.8C.7D.6【答案】A【解析】因为函数是定义在上的奇函数,且当时，，所以，即函数是以3为周期的函数，当时，,，则在上单调递增，在上单调