第八讲机器人动力学牛顿欧拉方程

第八讲机器人动力学牛顿欧拉方程第一页，共五十五页，2022年，8月28日3.6机器人的杆件的速度基本思路：

已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。第二页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度

机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从i杆件的速度递推计算i+1杆件的线速度和角速度。如图所示，设已知i杆件的速度为ωi和vi，i+1杆件绕Zi+1轴旋转的角速度为。

第三页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度

则：在{i+1}坐标系中表示的i+1杆件杆的角速度为：

在{i+1}坐标系中表示的i+1坐标系原点的线速度为：在{i+1}中表示的i+1杆的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原点的距离。第四页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度例1、一两杆关节机器人如图所示，计算以关节速度为函数的手尖处的速度。第五页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度解：1、建立坐标系，如图：

2、求位姿矩阵：第六页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度得：1杆在{1}中表示的速度第七页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度如果在基座坐标系中表示，仅需乘以R03。则：第八页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度例2、试求例1中两杆关节机器人的雅克比矩阵。解：由例1知：则：及第九页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度

雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自由度，列数等于机器人的关节数。同理，我们可以求相对基座坐标系的雅克比矩阵。所以：10第十页，共五十五页，2022年，8月28日、机器人的杆件的速度

雅克比矩阵的逆为：

当手尖沿X方向以速度1m/s运动时，由雅克比逆矩阵可得：

当θ2=0时，上式分母为零，两关节速度将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。第十一页，共五十五页，2022年，8月28日第4章机器人操作动力学4.1、概述4.2、机器人的牛顿-欧拉动力学方程4.3、机器人拉格朗日动力学方程简介第十二页，共五十五页，2022年，8月28日4.1、概述为什么要研究机器人的动力学问题？

1、为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，机器人的运动是作用于关节上的力矩与其他力或力矩作用的结果。

2、力或力矩的作用将影响机器人的动态性能。第十三页，共五十五页，2022年，8月28日4.1、概述机器人动力学研究内容：正问题：已知作用在机器人机构上的力和力矩，求机器人机构各关节的位移、速度、加速度，即：F=ma。反问题：已知机器人机构各关节的位移、速度和加速度，求作用在各关节上的驱动力或驱动力矩，即：am=F。第十四页，共五十五页，2022年，8月28日4.1、概述机器人动力学研究方法：目标：根据机器人机构的结构特点、运动学和动力学原理，提出通用、快捷的建立动力学方程的方法。数学工具：矢量方法、张量方法、旋量方法及矩阵方法等。力学原理：动量矩定理、能量守恒定理、牛顿－欧拉方程、达朗贝尔原理、虚功原理、拉格朗日方程、哈密尔顿原理、凯恩方程等。第十五页，共五十五页，2022年，8月28日4.1、概述几项假设：

1、构成机器人的各杆件都是刚体，即不考虑杆件的变形。

2、忽略各种间隙等因数的影响。

3、暂不考虑驱动系统的动力学。15第十六页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程

机器人动力学的特点：

1、串联机器人由多个杆件经关节轴串联构成，属于多体动力学的研究范畴。

2、各杆件的速度、加速度是关节位置及时间的函数，随机器人杆件构形的不同而改变。

3、机器人动力学的计算复杂，多采用数值递推的方法计算。第十七页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程我们知道：刚体运动

=质心的平动+绕质心的转动其中：质心平动：用牛顿方程描述。绕质心的转动：用欧拉方程定义。它们都涉及到质量及其分布，我们先复习一下转动惯量的计算。第十八页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程

如图所示，设刚体的质量为，以质心为原点的随体坐标系下的惯量矩阵由六个量组成，表示为：一、惯量矩阵（张量）图3.1式中：第十九页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程

惯量矩阵中的元素称为惯量矩(Massmomentsofinertia)，而具有混合指标的元素称为惯量积(Massproductsofinertia)。对于给定的物体，惯量积的值与建立的坐标系的位置及方向有关；如果我们选择的坐标系合适，可使惯量积的值为零。这样的坐标系轴称为主轴（Principleaxes）,相应的惯量称为主惯量。事实上，主惯量是惯量矩阵的三个特征值。第二十页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程平行轴定理（Parallel-axistheorem）:

已知相对于某一原点位于物体质心坐标系{C}的惯量张量，坐标系{A}平行于坐标系{C}，则相对于{A}坐标系的惯量张量为：其中：为质心相对于{A}坐标系的坐标。20第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程二、牛顿—欧拉方程我们假设机器人的每个杆件都为刚体，为了运动杆件，我们必须加速或减速它们，运动杆件所需要的力或力矩是所需加速度和杆件质量分布的函数；牛顿方程和用于转动情况的欧拉方程一起，描述了机器人驱动力矩、负载力（力矩）、惯量和加速度之间的关系。第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程

我们先研究质心的平动，如图4.1所示，假设刚体的质量为，质心在C点，质心处的位置矢量用表示，则质心处的加速度为；设刚体绕质心转动的角速度用表示，绕质心的角加速度为，根据牛顿方程可得作用在刚体质心C处的力为：图4.1第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程

根据三维空间欧拉方程，作用在刚体上的力矩为：图4.1

以上两式合称为牛顿—欧拉方程。式中，M为作用力对刚体质心的矩，为绕质心的角速度和角加速度。第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程三、加速度计算1、线加速度

如图所示，设坐标系i与i-1杆固联，其原点加速度为ai-1,角速度为ωi-1;Oi+1随杆件i相对i坐标系旋转，相对转速为

。P为i杆上任意一点。15第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程Pi点的相对速度和加速度为：

Pi点的绝对加速度为：erk代入并化简得：即：上述参数都是在基础坐标系中表示的。26第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程i+1坐标系原点的加速度为：设i杆件质心为ci,则其加速度为：2、角加速度

i杆的角加速度为：第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程四、作用力和力矩

计算出每个杆件质心的加速度后，我们可以应用牛顿-欧拉方程来计算作用在每个杆件质心的惯性力和惯性力矩。根据牛顿-欧拉方程，有：28第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日4.2机械人的牛顿—欧拉方程图2构件受力图

如图2所示，将第i个构件Li作为隔离体进行分析，作用在其上的力和力矩有：

作用在i杆件上的外力和外力矩，i-1杆件作用在i杆件上的力和力矩，以及i+1杆件作用在i杆件上的力和力矩。29第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日3.3.1机械臂的牛顿—欧拉方程其中：

Fi+1,i—构件Li+1作用在构件Li上的力。Mi+1,i—构件Li+1作用在构件Li上的力矩。Fi-1,i—构件Li-1作用在构件Li上的力。Mi-1,i—构件Li-1作用在构件Li上的力矩。Fi—作用在第i个构件Li上的外力简化到质心C处的合力，即外力的主矢。Mi—作用在第i个构件Li上的外力矩简化到质心C处的合力矩，即外力的主矩。第三十页，共五十五页，2022年，8月28日3.3.1机械臂的牛顿—欧拉方程

上述力和力矩包括了运动副中的约束反力、驱动力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i个构件上的所有力化简到质心的总的合力为：它们都在基础坐标系中表示。第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日3.3.1机械臂的牛顿—欧拉方程相对于质心的总的合力矩Mi为：

最后，为了便于递推计算，重新安排力和力矩计算公式为：第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日3.3.1机械臂的牛顿—欧拉方程

i杆件需要的关节力矩为相邻杆件作用于它的力矩的Z分量，即：牛顿-欧拉方程的递推算法：由两部分组成：首先，从1号杆到n号杆，向前递推计算各杆的速度和加速度。然后，再从n号杆到1号杆，向后递推计算作用力和力矩，以及关节驱动力矩。算法过程总结如下：第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日3.3.1机械臂的牛顿—欧拉方程向前递推：i:0→6向后递推：i:6→1惯性力惯性力矩条件：基础杆件和各关节的角速度和角加速度已知第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日3.3.1机械臂的牛顿—欧拉方程

引力对杆件作用的影响可以通过设置来实现，这里，G为引力常数。上面给出了关节型机器人的动力学计算方法，对于移动关节可以推导相应的方程。对一些相对简单的问题，用上述方法，也可能得到闭式解析结果。上述递推算法是一种通用算法，可以用于任意自由度数的关节型机器人。第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例图3平面两自由度机器人机构例1如图3所示的平面两自由度机器人机构。连杆L1质心为C1，质量为m1，驱动力矩为m1=[00m11]T，角速度为ω1=[00ω1]T,加速度为ε1=[00ε1]T;连杆L2质心为C2，质量为m2，驱动力矩为m2=[00m22]T，角速度为ω2=[00ω2]T,加速度为ε2=[00ε2]T，第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例

选取关节O和关节A处的转角θ1和θ2为系统的广义坐标，可以写出连杆L1的牛顿—欧拉方程为:连杆L2的牛顿—欧拉方程为:式中:重力驱动力矩第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例由以上几式消去杆件间作用力，可解得:考虑质心位置：求导得：第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例另外：第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例有：即：对m22可同样写出矩阵方程。代入加速度分量，得：第四十页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例化简可得：

上式即为各杆件关节的驱动力计算公式，它是一个以角加速度为变量、变系数的非线性动力学方程。第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例以上两式进一步写成：式中：

系数是位置的函数第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例

例2：如图所示为两杆平面机器人，为了简单起见，我们假设每个杆件的质量集中于杆件的尾部，其大小为m1和m2。解：每个杆件的质量中心矢量为：

由于点质量假设，每个杆件相对质心的惯性张量为零，即：第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例末端执行器上无作用力，所以：基座静止，因此：考虑到引力，我们使用：第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例应用递推公式有：向前：1杆件：第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例2杆件：第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例向后递推：2杆件：1杆件：第四十八页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿—欧拉方程实例取力矩的Z分量，得到关节力矩：第四十九页，共五十五页，2022年，8月