2022-2023学年上海高一上学期数学同步练习(沪教新版)2-3平均值不等式应用（第2课时）（解析版）

2.3平均值不等式应用（第2课时）（作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、填空题

1.（2022.上海市奉贤中学高一阶段练习）如图，有一壁画，最高点A处离地面6〃?，最低点8处离地面3.5机

若从离地高2〃?的C处观赏它，则离墙“时，，视角。最大.

【答案】瓜

【分析】直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果.

【详解】解：如图所示，过点C作于。,

设C£>=x,则A£>=4,8£)=1.5,

4_L5

券当且仅当x=g时，即当力而，视角最大，故答案为述.

tan0=tan(ZAC£>-NBCD)=上彳七

1+------

xxX

【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能

力和转换能力.属于基础题型.

二、解答题

2.（2020・上海•高一专题练习）据预测，某旅游区游客人数在500至1300之间，游客人数x人与游客的消

费总额y元之间近似的满足关系式：y=-x2+2.4xl03x-106,若该景区游客的人数为多少时，游客的人均

消费最高，并求游客的人均最高消费额.

【答案】当x=1000时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元.

【分析】根据游客人数x人与游客的消费总额N元之间近似地满足的关系，求出游客的人均消费额，再利用

基本不等式即可求出最高消费额.

【详解】设游客的人均消费额为亍，由y=-f+2.4X1O3X_IO（>,可得:

_-X2+2.4X103X-106（1000000、…八一I1000000…八…

y=------------------=-\x+-------I+2400<-2Jx--------+2400=4001

当且仅当x=1000时，游客的人均消费最高，游客的人均最高消费额为400元.

3.（2022.上海金山.高一期末）某科技公司研究表明：该公司的市场占有率》与每年研发经费x（单位：亿

元）满足关系式：y=-3x其中机为实常数.

2x~+/nx+2

（1）若加=0时，该公司市场占有率不低于60%,则每年研发经费至少需要多少亿元？

（2）若根=-J时，求该公司市场占有率的最大值.

【答案】⑴至少需要0.5亿元；（2）80%.

3尤3

【分析】（1）由己知可得出'整理得出2X2_5X+2V0,解此不等式即可得出结论；

2x2+25

3

（2）化简函数解析式为，21,利用基本不等式可求得该公司市场占有率的最大值.

Z.XH-----

x4

（I）解：当机=0时，y=c¥<x>。），由y=c?二21，可得2x2-5x+2vo，

2x+22x-+25

解得;4x42,即每年的研发经费至少需要0.5亿元.

3x3,34

Iv=----------=---------K—,----=一

⑵解：当〃『泮，•2Y+2」X2X2-1_O.15,

4+2

4x4x4

当且仅当x=l时.，等号成立，

因此，若机=-!时・，该公司市场占有率的最大值为80%.

4.（2021.上海•上外浦东附中高一期末）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，

地铁的发车时间间隔f（单位：分钟）满足：2<z<20,/eN,经测算，地铁载客量p（。与发车时间间隔f满

1200-10(10-)^2</<10

足PQ)=?

1200,10<f<20

（1）请求出P（5）的值，并说明p（5）的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为Q=6P⑺1360-36o（元）,

问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益.

【答案】（1）950；发车间隔为5,载客量为950；（2）t=6,Qnm=120.

【分析】（1）根据分段函数性质直接代入求解即可；

（2）分段计算净收益，并求最值，比较大小.

【详解】（1）^（5）=1200-10x25=950,

P（5）的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量为950；

（2）当2Mf<10时，Q=7200—60（10_336Q_§60——60（/+型）+8403-60x]2+84（）=]20,

tt

当且仅当f=6时，等号成立；

当10Q2。时，0=6x1200-336。_360=幽一3604蹩-360=24,

tt10

当且仅当7=10时，等号成立；

故当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元.

【点睛】（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.

（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一

段上的最值，然后比较得最大值、最小值.

5.（2021•上海市川沙中学高一期末）己知快递公司要从A地往8地送货，A,8两地的距离为100km,按

交通法规，A,8两地之间的公路车速x应限制在60~120km/h（含端点），假设汽车的油耗为（42+某1元

4001

/时，司机的工资为70元/时（设汽车为匀速行驶），若燃油费用与司机工资都由快递公司承担，

（1）试建立行车总费用>元关于车速x的函数关系：

（2）若不考虑其他费用，以多少车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少?最少费用为多少？

【答案】（1）y=?7v+11700xe[60,120]；（2）以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少,

最少费用为280元.

【解析】（1）依题意设车速为工板/〃，即可得到函数解析式；

（2）利用基本不等式求最值，即可得解.

【详解】解：（1）设车速为xhn/力，则时间为⑼〃，依题意可得y=W^（42+M+70]=：+U^,

xxI400）4X

xe[60,120]；

7ri1700

当且仅当丁丁,即I。时取等号,

所以以80km/h车速行驶，快递公司所要支付的总费用最少，最少费用为280元.

【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定

积或和为定值；三相等——等号能否取得“，若忽略了某个条件，就会出现错误.

6.(2021・上海上海•高一期末)某居民小区欲在一块空地上建一面积为12001!?的矩形停车场，停车场的四

周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3m,东西的人行通道宽4m,如图所示(图中单

位：m),问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？

北

：；3

停车场-J【答案】设计矩形停车场南北侧边长为30m,则其东西侧边长为40m,人

44

南

行通道占地面积最小528m2.

【分析】设矩形停车场南北侧边长为初，则其东西侧边长为幽m,人行通道占地面积为

X

S=(x+6)(1+8)-1200,再由基本不等式可得答案.

【详解】设矩形停车场南北侧边长为mi(x>0),则其东西侧边长为—m,

人行通道占地面积为

„(1200。72002

S=(x+6)|------F8J-1200=8xH---------F48m,

由均值不等式，得S=8x+0必+4822.•0％48=2x24+48=9611?,

xVx

720021700

当且仅当8户上巴，即x=30m时，Smin=96m,此时9=40m.

xx

所以，设计矩形停车场南北侧边长为30m,则其东西侧边长为40m,人行通道占地面积最小528m

7.(2020•上海市新场中学高一期中)一批货物随17列货车从甲市以v千米/小时匀速直达乙市.已知两地铁

路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(龙)千米，那么这批物资全部运到乙市，最快需要

多少小时(不计货车的车身长)，并求相应v的值.

【答案】%„,=8小时，丫=100千米/小时

【解析】根据题意设出把货物全部运到乙市的时间为>，表示出〉的解析式，利用基本不等式求出V的最小

值即可.

【详解】解：设这批物资全部运到乙市用的时间为y小时

因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16x(3)2千米时，

时间最快.

X16+400

v400

一十-----

25v

当且仅当《即v=l（X）千米/小时时，时间以„,=8小时.

25v

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等'"'一正''就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方

8.（2020•上海嘉定・高一期中）第三届进口博览会将于11月5日至10日在上海青浦国家会展中心举行，

某参展企业为了制作一份精美的宣传画册，要求纸张的形状为矩形，面积为625cm2,如图所示：其中上边,

下边和左边各留宽为2cm的空白，右边留宽为7cm的空白，中间阴影部分为文字宣传区域；设矩形画册的长

为acm,宽为。cm,文字宣传区域面积为Scm?.

（1）用“，（表示S；

（2）当a,6各为多少时，文字宣传区域面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）S=661—（/9。+如），其中。＞4涉＞9且"=625；（2）当。=彳，6=彳75时面积最大且

2

5皿=661-300=361（cm）.

【解析】（1）由题意可得S=661—（9a+4b）.

（2）根据基本不等式可求文字宣传区域面积最大值以及何时取最大值.

【详解】(1)由题设可得S=(a—4)(6—9)=661—(9。+43(cm2),

其中a>4,%>9且“6=625.

(2)由(1)可得5=出?-9。一劭+36=661-(9々+46),

由基本«4：等式可得9a+4Z?22j9ax4N=2x6x25=300,

当且仅当。=年25，75时等号成立，

故当。=2/5，75时，5皿=661-300=361（cm2）

9.（2020・上海•格致中学高一期中）艺术中心要用木料制作如图所示的框架，框架下部是边长分别为x,y（单

位：米）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米，问:总用料最省时，用料为多

少米?此时x,y分别为多少米?（最后结果精确到0.01）

O,s*””"-

【解析】由题设条件结合基本不等式运算即可得解.

【详解】由题意，孙+!犬=8,即丫=»-：（0＜工＜4夜）,

时等号成立，

所以总用料最省时，用料约为13.66米，此时x约为2.34,y约为2.83.

10.（2020•上海市晋元高级中学高一期中）如图，徐州某居民小区要建一座八边形的展馆区，它的主体造

型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字形地域，计划在正方形MNPQ

上建一座花坛，造价为4200元/nE在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/n?；

再在四个空角（图中四个三角形）铺草坪，造价为80元/m2.

H

（1）设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）,求出S关于x的函数

关系式；.

（2）当AO长取何值时，总造价S最小，并求这个最小值.

【答案】（1）S=3800+4000%2+400?00（0<x<10>/2）；（2）当A。的长为屈米时，总造价有最小值11800

X

元.

【解析】（1）设DQ=y，AD=X,根据正方形、长方形的面积公式得出丫=型上再由相应单价乘

4x

以面积得出5关于x的函数关系式；

（2）由基本不等式求出最小值即可.

【详解】解：（1）设。。=九AD=x则，所以V+4^=200所以，20°二二

4x

所以$=4200/+210*4孙+80x4x,y2=3800+4000x2+40°^00（0<x<10x^）

2x

（2）因为5=3800+4000123800+27^1^=I18000（0<X<10>/5）

当且仅当4000/=驾"，即苫=加时，SmM=U800（元）

x

答：当AD的长为亚米时，总造价有最小值11800元.

11.（2020.上海•高一单元测试）区间［以间的长度定义为尸一,函数/（幻=（1+/卜2-6，其中。>0,区

间/={x"（x）40}.⑴求/的长度；

（2）求/的长度的最大值.

【答案】（1）/J：（2）y.

【解析】（1）解出析x）V0,即可利用区间长度定义求出;

（2）利用基本不等式可求出.

【详解】解：（1）令/（x）=x［（l+a2）x-4］=0,解得：4=0,%2=—>0.

1+a'

则{x|/(x)W0}={x0WxWa

14-672

则/的长度为总-0=

\+a2

(2)v67>O,

的长度l+〃2当且仅当。=1时等号成立.

.♦.当a=l时，/的长度的最大值为，

12.(2018・上海•高一期中)我校第二教学楼在建造过程中，需建一座长方体形的净水处理池，该长方体的

底面积为200平方米，池的深度为5米，如图，该处理池由左右两部分组成，中间是一条间隔的墙壁，池

的外围周壁建造单价为400元/平方米，中间的墙壁(不需考虑该墙壁的左右两面)建造单价为100元/平方

米，池底建造单价为60元/平方米，池壁厚度忽略不计，问净水池的长AB为多少时，可使总造价最低？最

低价为多少？

Di------------------------------\C

【答案】=15时，总造价最低为132000元.

A-----------------------------'B

【分析】设A3的长为x米，进而得到宽8C为独米，根据题意得到总造价的表达式，然后根据基本不等

X

式求出造价的最小值即可.

【详解】设A8的长为x米，则宽BC为期米，

X

200

由题意得总造价为y=400(2x+2x——)x5+100x——x5+60x200

XX

=(2x+—)+12000>2J2xx—+12000=132000，

xVx

450

当且仅当2x=——,即x=15时等号成立.

x

所以当净水池的长筋=15米时，可使总造价最低，最低价为132000元.

【点睛】基本不等式为求最值提供了工具，在利用基本不等式求最值时，一定要注意使用基本不等式的条

件，即“一正二定三相等“，且三个条件缺一不可，当题目中不满足使用不等式的条件时，则需经过变形得到

所需要的形式及条件.

【能力提升】

一、单选题

I.(2020•上海.高一课时练习)某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为“，第三年的增长率为6,这

两年的平均增长率为x,则()

a+bza+b_a+b_a+b

AA.x=----B.xW----C.x>----D.----

2222

【答案】B

【解析】先利用条件找到方程41+a)(l+b)=A(l+x)2，然后利用基本不等式求解可得答案.

【详解】解：由题意得,A(l+a)(l+6)=A(l+x)2,贝lj(l+4)(1+6)=(1+4，

1+。+1+Z?

因为(1+。)(1+34

2

2+〃+。，a+b

所以1+xK

所以xWt手，当且仅当a时取等号，

故选：B

【点睛】此题考查了基本不等式在求解最值中的应用，属于基础题.

二、填空题

2.(2020•上海.高一专题练习)直角三角形周长为2,则该三角形面积的最大值为

【答案】3-2尤【解析】设直角三角形两条直角边为。，方，则有a+b+c=2,再利用基本不等式有

ab<^2-5/2j=6-4>72,可求解.

【详解】设直角三角形两条直角边为凡匕，斜边为J所以a+Hc=2,且/+从=02,

所以2=a+b+J/+〃22痴+5&=(2+及"当且仅当a=b时，取等号.

所以S=；ah4g(6-40)=3-2&,当且仅当a=b时，取等号.

所以三角形面积的最大值为3-25/2.

故答案为：3-20.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件:

(1)'‘一正二定三相等M一正”就是各项必须为正数：

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成

积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所

求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

三、解答题

3.(2010•上海•高一期中)甲、乙两地相距$千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过。千米/小时,

已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变成本和固定成本组成:可变部分与速度。千米〃卜时)的平方

成正比，比例系数为人。＞0)；固定部分为〃(元).

(1)把全程运输成本y(元)表示为速度V(千米/小时)的函数，并指出函数定义域;

(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?

【答案】⑴尸+涂),ve(0,c].⑵答案见解析.

【分析】⑴依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间年，由已知可求得答案;

(2)由基本不等式,讨论可求得全程运输成本的最小值.

(1)解：依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为上，

V

全程运输成本为旷=。,+"-。=5七+加]

VV)

故所求函数及其定义域为y=S(?+%J|，ve(0，c].(2)解：依题意知5,a,。，丫都为正数，故有

+22s而，当且仅当:=加.即丫=聆时上式中等号成立，

若则当v=J时，全程运输成本y最小，

若JI＞c，则由于丫=5(/+4?1'"€(°"1，当丫€(()，百]时为减函1数，则y=s(：+加)在vw(0，c]上为减函

数，

---当V=c时，全程运输成本y最小.

综上知，为使全程运输成本y最小，当巫Wc时行驶速度应为丫=巫；当场〉c时行驶速度应为v=c.

bbb

4.(2021.上海市第二中学高一期中)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均

9001，

速度口(千米/小时)之间有函数关系：y=2:33＞。)・

v2+5V+1000

(1)为保证在该时段内车流量至少为12千辆/小时，则汽车平均速度应控制在什么范围？

(2)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量y最大？

【答案】⑴[20,50](单位：千米/小时)；

(2)v=10x/10(千米/小时).

【分析】（1）解不等式yzi2可得；

（2）利用基本不等式求最值.

gnnv

（1）由题意，,八”加2,解得20MU450.

V+5v+1000

汽车平均速度应控制在[20,50]（单位“千米/小时）范围内.

（2）

900v900,900900,八2

-v*2+5v+1000y+10。。+5-2J1000+520，而+5，当且仅当丫=----，即v=（千米/小时）时,

V

等号成立，

所以）=10加（千米/小时）时车流量y最大.

5.（2021•上海市延安中学高一期中）若实数X、y、r满足卜一心|k4，则称X比y远离九

（1）若/7比2远离3,求实数X的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数。、6,判断命题“（。+33比

4a2〃+4加远离8"奴”的真假，并说明理由.

【答案】⑴（f-4）11（-疯⑹U（6+«）

（2）真，理由见解析

【分析】（1）由新定义得y-4卜1,解绝对值不等式，即可求出x的取值范围；

（2）由新定义和含绝对值不等式的性质即可证明.

⑴由题设产-1-3|>|2-3|,即,-4|>1,

Ax2-4<-1或x2-4>1,即fV3或/>5；

由<>5,解得工<-不或不>逐，由/V3解得一行

・••比的取值范围为（疯⑹U心收）.

（2）命题为真，理由如下：

对任意两个不相等的正数。，b,a+h>2\[ab知（a+Z?）'>（2>/^）3*5=^ab\[ab,

4a2b+4ab2=4ab（a+b）>^ab\[ab.

El+^7）3-Scibyfab|-|4a2b+4ab2-Saby/ab^=（tz+/?）（6z-/?）2>0,

所以卜。+力）*—8a/?\/^|>|4a"+4aZ?2-Sab\[ab^,

故（a+比4a2b+4ab2远离Sahyfab.

6.（2021•上海市桃浦中学高一阶段练习）（1）比较（1+乎）+2与4-1-4）的大小.

（2）证明：|ac-2^（a2-b2）（c2-d2）.

【答案】（I）（1+也1+2>4/1一立［；（2）证明见解析.

【分析】（1）利用作差法可比较；

（2）利用基本不等式可证明.

【详解】⑴「耳+「邛一耳M+马+卜省二

a〃aa

，2五2,2,2>/221c6、、12c

21H-----1--7—1H--T+1-----1——2=21+——2=—>0,

aaaaaJVaJa

r,血丫，j血丫

1H+2>4-1；

I)l。J

(2)■.\ac-bdy=a2c2-2ahcd+b2d2

>a2c2-（a2d2+b2c2）+h2d2=（a2-b2）（c2-d2）,当且仅当4=be等号成立，

J（ac-bd）2>'（a?_〃）卜2_/）,^V\ac-bd\>J（a2-⑹卜?一屋）.

7.（2021•上海市金山中学高一阶段练习）为应对疫情需要，某医院需要临时搭建一处占地面积为300m2的

矩形隔离病区，拟划分6个工作区域，布局示意图如下.根据防疫要求，所有内部通道（示意图中细线部分）

的宽度为2m,整个隔离病区内部四周还要预留宽度为3〃?的半污染缓冲区（示意图中粗线部分），设隔离

病区南北长xm.

北

（1）在满足防疫要求的前提下，将工作区域的面积表示为南北长x的函数,"X）,并

南

写出x的取值范围;

（2）应该如何设计该隔离病区的边长，才能使工作区域的总占地面积最大？（结果精确到0.1m）

【答案】⑴/（*）=380-卜彳+拶），（6<x<告）：⑵隔离病区的边长为19.4〃?时，工作区域的总占地面

积最大值.

【分析】（1）根据长方形面积计算公式，求出各边边长，然后用总面积减去内部通过到面积和半污染缓冲区

面积即可；

（2）根据第一问表达式，结合基本不等式求最值即可.

【详解】（1）南北长x，则东西长期，

X

f（x）=300-[3xx2+（迦—6）x3x2]-[（x-6）x2+1迎-8）x2x2]=380-（8x+^^],.

（2）由⑴可得：6<%<§,8工+您280后当且仅当8x=型”,x=5厉时取得等号.此时工作区域面积达

2xx

到最大，

故隔离病区的边长为19.4m时，工作区域的总占地面积最大值.

8.（2017•上海市行知实验中学高一期中）如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN,

要求B在上，。在4V上，且对角线过C点，已知AB=3米，AO=2米.

（1）设4V=x米，要使矩形AMPN的面积大于32平方米，求x的

取值范围？

（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积.

【答案】⑴XW（2,|1U（8,+8）；（2）当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24

平方米.

【分析】（1）由题意，因为GNC~AANM,则对应线段成比例可知4W,

表示出矩形AMPN的面积令其大于32得到关于x的一元二次不等式，求出解集即可；

（2）由（1）的表达式构造基本不等式满足的条件，求出S的最大值即可；

【详解】解：（1）由题设知A/V=x米，（x>2）,则N£）=x-2

..ND_AN

•~DC~~M4'

.x-2_x

3AM

，AM=——

x—2

3T

，矩形AMPN的面积S=-^―gr>32

x-2

A3x2-32^+64>0

Q

：.(3x-8)(x-8)>0,解得2Vx或x>8

故xe(2,|)u(8,+co).

(2)解法一:由(1)得x-2>0,矩形AMPN的面积S=口=3(x-2)2+12(x-2)+12

x—2x—2

12.—

=3(x—2)H----+12>2>/364-12=24»

x-2

12

当且仅当3。—2)=-即x=4时，等号成立.解法二：换元法，令7=x—2,则X=/+2j>。，

x-2

矩形AMPN的面积S==31+21=3(/+*+4)

x-2tt

4r~4

=3(/+：+4)23(2,/q+4)=24,

4

当且仅当/=—，即f=2,x=4时，等号成立.

t

答：(1)xe^2,—^U(8,+°°)；

(2)当AN的长度是4米时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为24平方米.

9.(2021•上海市崇明中学高一期中)北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会,

某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年

销售8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该

商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和

营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入!(Y-600)万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，

投入I•万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量。至少应达到多少万件时，才可能使改革后

的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.

【答案】(1)40；(2)。至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此

时该商品的每件定价为30元.

【分析】(1)设每件定价为x元,可得提高价格后的销售量，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式,

解不等式可得每件最高定价；

（2）依题意，x>25时，不等式⑪225x8+50+q（x~—600）+彳工有解，等价于x>25时，Q2---1--x+—有

解，利用基本不等式，可以求得a

【详解】⑴设每件定价为f元，依题意得（8-号^x0.2）±25x8,整理得户-65f+100040,解得：25/40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

（2）依题意知：当x>25时，不等式以225X8+50+：（X2_600）+"X有解，等价于

x>25时,a2^^+L+J有解.

x65

由于当+gx*2、陛工=10,当且仅当"。=1x,即x=3O时等号成立，所以aN102当该商品改革后的销售

x6Vx6x6

量。至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为

30元.

10.（2020•上海•高一单元测试）建造一个容积为16立方米、深为4米的长方形无盖水池，如果池底和池

壁的造价每平方米分别为60元和40元.请你设计一个方案，使水池的造价最低，最低造价是多少元？

【答案】当池底长为2米，宽为2米时，水池的造价最低，最低造价是1520元

【分析】设出池底长、宽，表示出水池的造价，利用基本不等式求最值，即可得到结论.

【详解】解：设池底长为工米，宽为丁米，水池的造价为3

由题意知：孙=4,

:池底和池壁的造价每平方米分别为60元和40元，

二乙=4x60+（2x+2y）x4x40=240+320（%+），）2240+320x2历=1520,

当且仅当x=y=2时，乙取得最小值为1520元，

即当池底长为2米，宽为2米时，水池的造价最低，最低造价是1520元.

【点睛】方法点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正，即各项均为

正；二定，即积或和为定值；三相等，即等号能否取得"，若忽略了某个条件，就会出现错误.

11.（2020•上海・华东师范大学松江实验高级中学高一阶段练习）近年来，我国多地区遭遇了雾霾天气，引

起口罩热销.某品牌口罩原来每只成本为6元.售价为8元，月销售5万只.

（1）据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总

利润（月总利润=月销售总收入一月总成本），该口罩每只售价最多为多少元？

（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价M09）元，并投入母（x-9）万元作

为营销策略改革费用.据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少厂f万只.则当每只售

价X为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润.

【答案】(1)18.5元；(2)当X=1O时，最大利润为14万元.

【解析】(1)设口罩每只售价最多为x元，根据条件建立不等式，解不等式即可得到结论.

(2)求出利润函数，利用基本不等式即可求出最值.

【详解】解：设口罩每只售价最多为x元，则月销售量为(5-三gx0.2)万只，

Y—R

则由已知(5—xO.2)(x—6)..(8—6)x5,

即竽”°，即2X2-53X+296,0,解得8瓢y,即每只售价最多为18.5元.

(2)下月的月总利润

rux-80.2—八26/、26/八、2.4-0.4x1234-150-0.4(x-8)-0.8184

J=[5——x-——].(x-6)---Uz-9)](A-6)--(x-9)=------——---=----------------x+—

0.5(x-8)55x-855x-855

4x-874

=4r------+---]+n—,

5(x-8)55'

4r-8

当且仅当三一,即x=10时取等号.

5(x-8)5

答：当x=10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元.

【点睛】本题主要考查与函数有关的应用问题，根据条件建立方程或不等式是解决本题关键，考查学生的

阅读和应用能力，综合性较强.

12.(2020・上海.格致中学高一期末)已知某种气垫船的最大航速是48海里小时，船每小时使用的燃料费用

和船速的平方成正比.若船速为30海里小时，则船每小时的燃料费用为600元，其余费用(不论船速为多少)都

是每小时-864元.甲乙两地相距100海里，船从甲地匀速航行到乙地.

(1)试把船从甲地到乙地所需的总费用九表示为船速x(海里小时)的函数，并指出函数的定义域;

(2)当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少?最少费用为多少元?

20086400小

【答案】(1)y=——x+-----,(0<x448)

3x

(2)当船速为每小时36海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元

【分析】⑴由题意先设船速为x,则每小时燃料费£=加,求得参数。，再写出自变量取值范围即可.

(2)由(1)中的表达式可知利用基本不等式求最小值.

【详解】(1)设船速为X，则每小时燃料费E=ax2，根据题意有600=30%，故a=：7E=7.

则从甲地到乙地所需时间为他小时.

X

砧M共卬2210010020086400

故总费用y=x——+864x——=—x+-----.

3xx3x

又最大航速是48海里小时故0vxW48

。、百八、200864000%20()86400。函~~86400iu

(2)由(1)y=---x+-----,(0<x<48):故丁=----x+----->2J---xx-----=200,576=4800,

3x3xV3x

当且仅当竺n=登则即x=36时取得最小值.

3x

故当船速为每小时36海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少为4800元

【点睛】本题主要考查函数的实际运用，注意分析自变量与因变量的关系，同时注意取值范围.本题也考查了基

本不等式的用法，属于中等题型.

13.(2020•上海•高一单元测试)如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840cm2,画面上下边要留8c机

空白，左右要留5a“空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？

【答案】高为88厘米，宽为55厘米，所需纸张面积最小为6760平方厘米

【分析】设画面高为xcm,宽为ycm,求出所需纸张面积S的表达式，利用基本不等式求解即可.

【详解】解：设画面高为宽为ycm,依意有盯=4840,x>0,y>0

则所需纸张面积$=(x+16)(尹10)=孙+16尹10犬+160,,

即5=5000+16y+12r,

Vx>0,y>0,孙=4840

二16y+l()x>2J160孙=2716()x484()=176(),S26760.

当且仅当16y=10x,即x=88,y=55时等号成立.

即当画面高为88C«J,宽为55cm时，所需纸张面积最小为6760a序

【点睛】本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查计算能力.

14.(2021・上海•高一期中)某商场预计全年分批购入电视机3600台，其中每台价值2000元，每批购入的

台数相同，且每批均需付运费400元，储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入的电视机的总价值（不

含运费）成正比，比例系数为3若每批购入400台，则全年需要支付运费和保管费共43600元.

（1）求人的值；

（2）请问如何安排每批进货的数量，使支付运费与保管费的和最少？并求出相应最少费用.

【答案】（I）&=0.05：（2）每批进货120台，支付运费与保管费的和最少，最少费用为24000元.【分析】

（1）根据每批购入400台的需要支付运费和保管费共43600元可求k的值；

（2）先求解关于进货量的所支付的费用之和，结合解析式的特点求解最值即可.

【详解】（1）山题意，当每批购入400台时，全年的运费为400x黑=3600,

每批购入的电视机的总价值为4（X）x2（XX）=8（XXXX）（元），所以保管费为加8（XXXX）（元）

因为全年需要支付运费和保管费共4360（）元，所以3600+^800000=43600,解得/=0.05.

（2）设每批进货x台，则运费为400x狗朋=也幽，保管费为0.05x2000x=100x,

XX

所以支付运费与保管费的和为I她+100x,

X

因为“40°°°+100x22X100x=24000,当且仅当出幽=l（X）x,即x=120时取到等号，所以每

X\X