2022-2023学年上海高一上学期数学同步练习(沪教新版)1-1集合的表示方法第2课时（解析版）

1.1集合的表示方法（第2课时）（作业）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2021.上海.高一专题练习）用描述法表示函数y=3x+l图象上的所有点的是（）

A.{x[y=3x+l}B.{y[y=3x+l}

C.{（x,y）|y=3x+l}D.{y=3x+l}

【答案】C

【分析】根据集合是点集，代表元素是（x,y）判断结果.

【详解】因为集合是点集，所以代表元素是（x,y）,所以用描述法表示为{（x,y）|y=3x+l}.

故选C.

【点睛】本题考查了点集的表示方法，属于简单题型.

二、填空题

2.（2021•上海市嘉定区第二中学高一期中）用描述法表示所有偶数组成的集合

【答案】{x|x=2-Z}

【分析】利用描述法的定义求解即可

【详解】解：所有偶数组成的集合为{x|x=2〃,〃eZ},

故答案为：[x\x=2n,n&Z}

3.（2021•上海•高一专题练习）用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）.

【分析】根据阴影部分所在象限，确定孙的范围，再结合图像，判断出乂丫的取值范围，由此求得可以表

示出阴影部分的集合.【详解】由于阴影部分所在象限为第一、三象限，且在x，y轴上都有点，故孙之0;根

据图像可知-14x4|,-；4y<1，所以描述法表示图中的阴影部分（包括边界）为{（%），）|孙20,且

；4y41｝.

故填：｛（x,y）|Ay20,且一14x4|,一g4y41｝.

【点睛】本小题主要考查用集合表示区域，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

4.（2021・上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）方程组1+）'=[的解集用列举法表示为

【答案】｛（2,3）｝

【分析】先求解出方程组的解，然后用列举法表示即可.

fx+y=5fx=2

【详解】因为'J所以」,

[x-y=-l[y=3

所以解集为｛（2,3）｝,

故答案为：｛（2,3）｝.

5.（2021・上海•高一专题练习）已知集合4=｛x,2,r-X｝且xdZ,若卜区3,则满足条件的x所形成的集

合8用列举法表示为B=

【答案】｛-3,-2,1,3）

【分析】由凶43,可得一3人3,且x£Z,再由集合中元素的互异性可求得结果

【详解】因为IX43,所以一3姿3,且xez,小一原#2,则#0,且J#2,且为11,

所以x可以是-3,-2,1,3,故8=｛-3,-2,1,3｝.

故答案为：｛-3,~2,1,3｝

6.（2021••高一期末）10的所有正因数组成的集合用列举法表示为.

【答案】｛1,2,5,10｝

【分析】由因数分解知：正因数的分解形式有10=1x10=2x5,列举法写出正因数集合即可.

【详解】•••对于正因数分解,有10=1x10=2x5,

...其正因数组成的集合为｛1,2,5,10）.

[x—V=1

故答案为：｛1,2,5/0｝7.（2021•上海市向明中学高一阶段练习）用列举法表示方程组-.的解集________

[x+y=2

X-V=1

【分析】解方程组C，然后用列举法表示该方程组的解集即可.

x+y=2

【详解】解:

（x-y=\

，用列举法表示方程组《、的解集为3

2,2

故答案为：但让

【点睛】本题考查列举法的定义及表示，以及二元一次方程组的解法，考查了计算能力，属于基础题.

8.（2021.上海•位育中学高一期中）已知集合人={1,2,3},B={y|y=2x,xwA},则3=,

【答案】{2,4,6}

【分析】根据集合B中y=2x,xeA的条件，求出对应的元素即可

【详解】因为8=卜卜=2%》仁4},当x=l时，y=2.当x=2时，y=4；当x=3时，y=6

故集合B={2,4,6}

答案为：{2,4,6}

【点睛】本题考查根据限定条件求出集合中对应元素，考点较为基础，能读懂题是关键

9.（2021•上海市控江中学高一阶段练习）集合A={x|d=l},用列举法表示A=.

【答案】卜1』}

【分析】先求解出方程的实数根，然后用列举法表示集合.

【详解】因为f=1,所以x=±l,

所以列举法表示集合为A={-U},

故答案为：{-1,1}.

10.（2021•上海.高一单元测试）集合P={x|二eZ且xeZ},用列举法表示集合尸=【答案】

{-3,0,1,2,4,5,6,9}

【解析】由已知可得一JeZ,则-64x-346,解得-34x49且xeZ,结合题意，逐个验证，即可求解.

【详解】由题意,集合八标联"且“"},可得展GZ'则3V6,

解得-3<x<9且xcZ,

当》=一3时，一，=-leZ,满足题意；

当x=-2时，=不满足题意；

当x=T时，=不满足题意：

—1—32

当x=0时，1=-2eZ,满足题意；

当x=l时，二=-3wZ,满足题意；

1-3

当x=2时，—~-=-6eZ,满足题意；

2-3

当x=3时，工，此时分母为零，不满足题意：

3-3

当x=4时，工=6eZ,满足题意；

4-3

当x=5时，1=3eZ,满足题意；

当x=6时，工=2eZ,满足题意；

6—3

当》=7时，言=|eZ,不满足题意；

当x=8时，=不满足题意；

8—35

当x=9时，合=leZ,满足题意；

综上可得，集合P={-3,0,l,2,4,5,6,9}.

故答案为：{一3,0,1,2,4,5,6,9）.

11.（2021.上海.高一专题练习）区间口,2）表示的集合为.

【答案】{x|14x<2}.

【分析】根据区间的定义可得答案.

【详解】根据区间的定义，［1,2）表示的集合为可表示为{x|14x<2}.故答案为:{x|l<x<2}.

12.（2021・上海•高一专题练习）集合{x|x<-2}表示的区间是.

【答案】（F-2）.

【分析】根据区间的定义可得答案.

【详解】根据区间的定义集合{xIX<-2}表示的区间是（―,-2）.

故答案为：

13.（2021•上海「高一专题练习）集合{幻-2<x42且xxO}用区间表示为.

【答案】（-2,O）U（O,2].

【分析】由区间的定义可得答案.

【详解】集合*I-2<x42且x#0}用区间表示为（—2,0）U（0,2].

故答案为：（-2,O）U（O,2].

14.（2021・上海•格致中学高一阶段练习）已知集合4={1,2,3,4,5,6},B={（x,y）以64,

x-yeA},则B中所含元素的个数为.

【答案】15

【分析】列举法表示出集合3,进而可以求出结果.

【详解】因为A={1,2,3,4,5,6},B=AyeA,x-ye

所以8={（6,5）,（6,4）,（6,3）,（6,2）,（6,1）,（5,4）,（5,3）,（5,2）,

（5,1）,（4,3）,（4,2）,（4,1）,（3,2）,（3,1）,（24）},

因此8中所含元素的个数为15,

故答案为：15.

15.（2020.上海.高一单元测试）若集合A={-1,1},3={（>2},则集合{z|z=x+y,xeA,星却中的元素个

数为.

【答案】3

【解析】根据集合的元素关系确定集合即可.

【详解】解：A={-I,I},«={0,2],

VxeA,yeB,，x=l或x=-l,y=0或y=2,

则z=x+y—-1,1,3,

即为{-1，1，3}.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础.

三、解答题

16.（2021.上海.高一专题练习）用描述法表示下列集合:

（1）!0,2,4,6,8）；

（2）｛3,9,27,81,...｝；

（4）被5除余2的所有整数的全体构成的集合；

（5）如图中阴影部分的点（含边界）的集合.

rf-」

—,—卜-2二【答案】（1）｛xeN|0<x<10,且x是偶数｝;（2）｛x[x=3nf〃£N'｝；（3）=,p

T〃

（4）｛x|x=5〃+2,”GZ｝；（5）｛（x,y）|-且X）川｝.

【分析】（1）集合表示不大于8的非负偶数，（2）集合为3的〃次嘉，〃从1开始的整数，（3）集合的

分子为奇数，可表示为2"-1,分母为偶数，可以表示为2"，（4）根据被除数=商、除数+余数，（5）图

中阴影部分的点（含边界）的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，

【详解】（1）观察看出集合为不大于8的非负偶数，所以用描述法表示为｛xdN|0Sr<10,且x是偶数｝;

（2）集合为3的〃次塞，〃从1开始的整数，则用描述法表示为｛xk=3〃，〃CN*）；

（3）该集合的分子为奇数，可表示为2〃-I,分母为偶数，可以表示为2”，且〃为自然数，所以集合用描

述法表示为卜lx"J；

（4）根据被除数=商、除数+余数，则尸5〃+2,所以集合用描述法表示为｛小=5〃+2,«ez）;

（5）图中阴影部分的点（含边界）的集合是一个无限集，把横坐标与纵坐标的范围用不等式表示出来即可，

同时注意象限，则用描述法可表示为｛（X,y）l-l<x<|，-y<y<lKxy>0｝.

17.（2021・上海•高一专题练习）用描述法表示下列集合：（1）比1大又比10小的实数组成的集合；

（2）不等式3x+422x的所有解；

（3）到两坐标轴距离相等的点的集合.

【答案】(1){xe/?|l<x<10};(2){x|x>-4};(3){(x,y)|y=±x}.

【分析】用描述方法逐项表示可得答案.

【详解】（1）根据描述用不等式表示出即可，可以表示成｛xwR[l<x<10｝.

(2)先表示成{x|3x+4N2x},解不等式即{xlxZT}.

(3)到两坐标轴距离相等的点在坐标轴的角平分线上，即^=工，或^=-4，可以表示成{(x,y)|y=±x}.

18.(2021•上海•高一专题练习)用列举法表示下列集合：

(1)方程＜=2x的所有实数解组成的集合：

(2)直线y=2t+l与y轴的交点所组成的集合；

(3)由所有正整数构成的集合.

【答案】(1){0,2}:(2){(0,1)}；(3){1,2,3,

【分析】(1)解方程f=2x,用列举法表示集合即可；

(2)将x=0代入y=2x+l,即可得出交点，根据点集的定义得出结果；

(3)用列举法依次写出即可.

【详解】(1)方程/=2r的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2).

(2)将x=0代入y=2x+l,得y=l,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.

(3)正整数有1,2,3,所求集合为{1,2,3,

fy=fcr+l

19.(2021•上海局一专题练习)设ZeR,求方程组《。的解集.

[y=2kx+3

【答案】当时，解集为当&=0时，解集为0.

【分析】两式作差得到日=-2,再对k*0与々=0分两种情况讨论，即可得解;

y=fcr+1

【详解】解：因为

y=2kx+3

2

两式相减，得到丘=-2,当左#0时，、=-工，代入方程组中的第一式，得到y=-i,此时，原方程组的解

集为P-1

当氏=0时，方程依=-2,无解，从而原方程组无解，其解集为。.

20.(2021・上海•高一专题练习)已知A={x|ox2+2x+l=0,ae/?}.

(1)若leA,用列举法表示A；

(2)当A中有且只有一个元素时，求。的值组成的集合B.

【答案】⑴A=(2)B={0,l}

【分析】（1）由leA,求出“，从而确定集合A中的元素；

（2）。=0时，方程是一元一次方程，只有一解；时，只有△=（）,方程有两个相等实根，集合只有一

个元素。

【详解】解：A={x\ajC+2x+\=Q,a&R\.

（1）当IwA时，则1是方程℃2+2》+1=0的实数根，

Aa+2+l=0,解得a=-3；

，方程为-3/+2x+l=0,

解得*=1或》=-；；

，A={T}；

（2）当a=0时，方程ax?+2》+1=0为2x+l=0,

解得x=-g,A={_g};

当4X0时,若集合A只有一个元素，

由一元二次方程⑪2+2X+I=0有相等实根，.•.判别式△=4-4“=0,

解得4=1;

综上，当。=0或。=1时，集合A只有一个元素.

所以。的值组成的集合B={0.1}.

【点睛】本题考查集合的概念，考查元素与集合的关系，属于基础题。

21.（2021•上海.高一专题练习）方程以=匕是关于x的方程.当“、匕满足什么条件时，该方程的解集是有限

集？当a、6满足什么条件时，该方程的解集是无限集？

【答案】当今0时，或。=0且厚0时，解集是有限集；当a=6=0时，解集是无限集.【分析】解方程

对。、b直接分类讨论即可.

【详解】当W0时，方程的解为2,有一个解，有限集；

a

当。=0且厚0时，方程无解，解集为空集，有限集；

当=0时，方程有无数个解，则解集为无限集.

【能力提升】

一、单选题

1.（2021.上海市行知中学高一阶段练习）直角坐标平面中除去两点41/）、8（2,-2）可用集合表示为（）

A.{（x,y）|xwl,ywl,x*2,yH-2}

B.{(x,刈或}

["1l"-2

C.{(x,J)I[(x-1)2+(y-1)2][(x-2)'+(y+2)2]0}

D.{(x,y)|r(x-l)2+(y-l)2]+[(x-2)2+(y+2)2]*0}

【答案】C

【解析】直角坐标平面中除去两点41』)、以2,-2),其余的点全部在集合中，逐一排除法.

【详解】直角坐标平面中除去两点4覃)、8(2,-2),其余的点全部在集合中，

A选项中除去的是四条线x=l，>=Lx=2,y=-2；

8选项中除去的是A(l,l)或除去5(2,-2)或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意;

C选项{(x,y)|[(x-l)2+(y-l)2][(x-2)2+(y+2)2]工0},则(x-+(y-1)』且(x-2>+(y+2)%0,即除去

两点A(l,l)、8(2,-2),符合题意；

£)选项{(苍刈[。-1)2+(丫-1)2]+[。-2)2+(丫+2)2]工0},则任意点(羽》)都不能

[(X—I)2+(>'-!)■]+[(x-2)-+(y+2)-]=0，即不能同时排除A,B两点.

故选：C

【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题.

2.(2020•上海・高一专题练习)已知集合

P={x|x=2&,ZGZ},Q={X|x=24+1,&wZ},M={x|x=4Z:+1,上wZ},且Q,贝！j()

A.a+blPB.a+b?QC.a+b?MD.a+6不属于中的任意

一个

【答案】B

【分析】设出“为的值，相加再判断得解.

【详解】■.•aeP,:.a=2kl,kleZ.

beQ,:.b=2k2+\,k2eZ.a+b=2(勺+&)+l=2Z+1eQ(勺,42,々eZ).

故选：B

3.(2020•上海・曹杨二中高一期末)已知集合4={($1)114s420,IMf420,seNjeN},若A且对任意

的(a向(x,y)e8均有(a-x)S-y)40,则B中元素个数的最大值为()

A.10B.19C.30D.39

【答案】D

【解析】根据（a-x）S-y）MO,转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多,

点的分布情况，即可得解.

【详解】由题：集合A={（s,r）114s420,lW20,seN,reN},若8=A且对任意的（a,»eB,（x,y）eB均

有（a-x）（b-y）V0,作如下等价转化：

考虑（a力），（x,y）是平面内的满足题目条件的任意两点，

“（。7）（。-丫）40，，等价于"4一兀=0或生250”，

a-x

即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，

要使集合中这样的点最多，就是直线y=l,x=l两条直线上的整数点，共39个，

（当然也可考虑直线y=20,x=20两条直线上的整数点，共39个）

故选：D

【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系

进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察

规律.

二、填空题

4.（2018•上海第二工业大学附属龚路中学高一阶段练习）设4={》金wNlxwz],用列举法表示

A=.【答案】{T—1,0,1}

【分析】曾一为正整数且x也为整数，可知2-x能够被6整除，逐个正因数计算即可.

2-x

【详解】由题意得，SeN*,xwZ,故S为6的正因数，所以£=1,2,3,6,故2-x=6,3,2,l,故

2-x2-x2-x

x=<7,0,1,列举法得出答案{<—1,0,1}.

故答案为{T-1,0,1}.

【点睛】本题上要考查对因数的理解以及集合中的常用集合表示,N表示自然数,N*表示正自然数，即正整

数.Z表示整数.

5.（2021.上海.华东师范大学第三附属中学高一期中）设集合/“={1,2,…，小，〃eN*,集合

P,.=[?加e/,,次e,则中元素的个数为.

【答案】46

【分析】分左=1,2,3,4,5,6,7,列举出集合巴对应的元素，除去重复的计算即得解

【详解】山题意，集合2=/={123,4,5,6,7}

当&=1时，〃?=1,2,3,4,5,6,7,故4对应1,2,3,4,5,6,7,有7个数;

故与对应专专爰爰有7个数;

当k=2时,相=1,2,3,4,5,6,7,

故舄对应专击丧毒叠，强[，有7个数;

当々=3时，m=1,2,3,4,5,6,7,

]234567

当％=4时，/?7=1,2,3,4,5,6,7,4对应忑，在，忑，石，石，石，石,其中有3个数1,2,3与女=1时重

复;

1234567,…

当k=5时,w=l,2,3,4,5,6,7,板"灿M忑，忑，忑，忑，忑，忑，忑,有71数;

故6对应靠H脸磊脸如有7个数;

当k=6时,相=1,2,3,4,5,6,7,

——1234567,…

当2=7时，机=1,2,3,4,5,6,7,故舄对应万‘"'访'"'万'万'万'有7।数;

故A中元素的个数为7x7-3=46

故答案为：46

6.(202。上海•曹杨二中高一期末)对于任意非空集合A、B,定义A+8={“+勿若

S=T={-2,0,l},则S+T=(用列举法表示)

【答案】{＜一2,-1,0,1,2}

【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.

【详解】由题：对于任意非空集合A、B,定义A+B={a+"

若S=T={—2,0,1},各取一个元素“eA,be3形成有序数对(a,。)，

所有可能情况为(-2,-2),(-2,0),(-2,1),(0,-2),(0,0),(0,1),(1,-2),(1,0),(1,1),所有情况两个数之和构成的集

合为：{T—2,—1,0,1,2}

故答案为:

【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.

7.（2019•上海市杨浦高级中学高一阶段练习）用列举法表示集合{yly=Y,-lvx<2,y£z}=

【答案】{0,1,2,3}

【分析】由集合的描述法可知集合所含元素.

【详解】因为y=Y,T<x<2,

所以04y<4,

又心，

所以y=0,l,2,3

故答案为{0,1,23}

【点睛】本题主要考查了集合的描述法，属于中档题.

8.（2018・上海市敬业中学高一期末）对于任意实数x,㈤表示不小于的最小整数，如〈1.2〉=2,〈/2）=0,

定义在R上的函数/（力=3+{2>若集合A={y[y=〃x）,-14x40},则集合A中所有元素的和为

【答案】-4

【分析】讨论x=-l,-l<x<-p-；<x40三种情况，分别计算〃x）=〈x〉+〈2x〉得到4={-3,-1,0}得到

答案.

【详解】当x=—l时：/（x）=（-1）+（-2）=-3

当一1cx4-g时：3=0,-2<2x<-1,=-1,"X）=（x〉+（2x〉=-l当-；<x40时：（x）=0,

-1<2x40,（2x）=0,/（x）=〈x〉+〈2x）=0

故4={-3,-1,0},集合A中所有元素的和为T

故答案为T

【点睛】本题考查了集合的元素和，分类讨论是一个常用的技巧，可以简化题目，易于计算.

三、解答题

9.（2021•上海•高一专题练习）设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若xeS,则10-xeS.

（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；

（2）是否存在恰有6个元素的集合S?若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；

（3）满足条件的集合S总共有多少个？

【答案】（1）答案见详解；（2）存在，且共有4个，答案见详解；（3）31个.

【解析】（1）当集合S中只有一个元素，则x=10-x,得出集合S即可；有两个元素时，只需两个元素之

和为10即可；当有三个元素时，只需其中两个元素之和为10,另外一个元素为5：

（2）只需选3对和为10的正整数即可;

（3）集合S中元素的个数可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9个，先计算出当集合S的元素个数为偶数

时.S的个数，同理可得S中元素个数为奇数的个数，然后则可得出符合条件的S的总个数.

【详解】解：（1）若集合S中只有一个元素，则只需满足x=10-x,故x=5,则5={5}；

若集合S中有两个元素，则5={1,9}符合条件；

若集合S中有三个元素，则5={1,5,9}符合条件.

（2）存在，一共有四个：

5={1,2,3,7,8,9}或5={1,2,4,6,8,9}或5={1,3,4,6,7,9}或5={2,3,4,6,7,8}.

（3）由题意可知，集合S中元素的个数可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9个，

当集合S中元素的个数为偶数时：

S含有2个元素时，只需在L9,2,8,3,7,4,6这四对中任选一对，则s共有4个；

S含有4个元素时，只需1,9,2,8,3,7,4,6这四对中任选两对，贝林共有6个；

S含有6个元素时，只需1,9,2,8,3,7,4,6这四对中任选三对，则S共有4个：

S含有8个元素时，贝US共有1个，

所以当集合S中元素的个数为偶数时，满足条件的集合S共有15个，同理可知，当S中元素个数分别为3,5,7,9

时，符合条件的集合S也为15个；

由（1）可知，当S中只有一个元素时，S只有一个，

综上所述，符合条件的S共有31个.

【点睛】本题考查集合的新定义问题，考查学生获取新知识、应用新知识的能力，理解题意是关键.

10.（2021.上海市延安中学高一阶段练习）设集合人=3|工=/+/,“、6eN}.

（1）将集合A中的元素进行从小到大的排列，求最小的六个元素组成的子集8；

（2）对任意的占,占《4,判定用+々和引F是否是集合A中的元素？并证明你的结论.

【答案】（1）B={01,2,4,5,8}；（2）存在国或存在玉+%/4,占・々一定是集合A中的元素，证

明见解析.

【分析】（1）从0依次令。、。为自然数，计算可得集合8；

（2）举例l,2eA,但l+l=2eA,1+2=3eA.设芭=/+从，七=c?+1,a、b、c、JeN,计算

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xt-x2=(ac+bd)+(bc-ad),可得结论.

【详解】解：(1)当a=b=O时，x=0；

当a=l,b=0,或a=0,6=1时，x=l；

当a=6=l时，x=2；

当