江苏省常州市2023届高三第一学期期末检测数学试卷

江苏省常州市2023届高三第一学期期末检测数学Ⅰ试题一、1．假设集合，那么集合▲．〔第5题〕结束开始输出2．命题“〞是▲命题〔选填“〔第5题〕结束开始输出3．假设复数满足，那么▲．4．假设一组样本数据2023，2023，x，2023，2023的平均数为2023，那么该组样本数据的方差为▲．5．右图是一个算法的流程图，那么输出的的值是▲．6．函数的定义域记作集合．随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子〔骰子的每个面上分别标有点数〕，记骰子向上的点数为，那么事件“〞的概率为▲．7．圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，那么该圆台的高为▲．8．各项均为正数的等比数列中，假设，那么的最小值为▲．9．在平面直角坐标系中，设直线与双曲线的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，那么双曲线C的离心率的取值范围是▲．1-1〔第12题〕10．实数满足那么的取值范围是1-1〔第12题〕11．函数，其中．假设过原点且斜率为的直线与曲线相切，那么的值为▲．12．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴的交点满足，那么▲．13．在中，，为内一点〔含边界〕，假设满足，那么的取值范围为▲．14．中，，所在平面内存在点使得，那么面积的最大值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14分〕中，分别为三个内角的对边，．〔1〕求角；〔2〕假设，求的值．16．〔本小题总分值14分〕〔第16题〕如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，点是棱上异于P，C的一点．〔第16题〕〔1〕求证：；〔2〕过点和的平面截四棱锥得到截面〔点在棱上〕，求证：．

17．〔本小题总分值14分〕小明〔如图中AB所示〕身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O．点光源从M发出，小明在地面上的影子记作．〔1〕小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求扫过的图形面积；〔2〕假设米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段走到，，且米．秒时，小明在地面上的影子长度记为〔单位：米〕，求的表达式与最小值．〔第17题〕〔第17题〕18．〔本小题总分值16分〕xy〔第18题〕如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，点是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于两点〔在第三象限〕，与椭圆的右准线交于点．，且．xy〔第18题〕〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕假设，求椭圆的标准方程．

19．〔本小题总分值16分〕各项均为正数的无穷数列的前项和为，且满足〔其中为常数〕，．数列满足．〔1〕证明数列是等差数列，并求出的通项公式；〔2〕假设无穷等比数列满足：对任意的，数列中总存在两个不同的项，〔〕，使得，求的公比．20．〔本小题总分值16分〕函数，其中为常数．〔1〕假设，求函数的极值；〔2〕假设函数在上单调递增，求实数的取值范围；〔3〕假设，设函数在上的极值点为，求证：．数学Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〔选修4—1〕A．选修〔选修4—1〕在中，N是边AC上一点，且，AB与的外接圆相切，求的值．B．选修4—2：矩阵与变换矩阵不存在逆矩阵，求：〔1〕实数a的值；〔2〕矩阵的特征向量．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C的参数方程为〔为参数〕，直线l的极坐标方程为，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．D．选修4—5：不等式选讲，求证：．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕正四棱锥的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按以下方式定义随机变量的值：假设这两条棱所在的直线相交，那么的值是这两条棱所在直线的夹角大小〔弧度制〕；假设这两条棱所在的直线平行，那么；假设这两条棱所在的直线异面，那么的值是这两条棱所在直线所成角的大小〔弧度制〕．〔1〕求的值；〔2〕求随机变量的分布列及数学期望．23．〔本小题总分值10分〕记〔且〕的展开式中含项的系数为，含项的系数为．〔1〕求；〔2〕假设，对成立，求实数的值；〔3〕对〔2〕中的实数，用数学归纳法证明：对任意且，都成立．数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分1．2．真3．14．25．76．7．38．9．10．11．12．13．14．二、69015．解：〔1〕由正弦定理得，中，，所以，所以，，，所以；〔2〕因为，由正弦定理得，所以，．16．〔1〕证明：，，所以，记交于点，平行四边形对角线互相平分，那么为的中点，又中，，所以，又，，所以，又，所以；〔2〕四边形是平行四边形，所以，又，，所以，又，，所以，又，所以．17．解：〔1〕由题意，，，所以，小明在地面上的身影扫过的图形是圆环，其面积为；〔2〕经过秒，小明走到了处，身影为，由〔1〕知，所以，化简得，，当时，的最小值为，答：，当〔秒〕时，的最小值为〔米〕．18．解：〔1〕由题意，消去y得，解得，所以，，，所以；〔2〕由〔1〕，右准线方程为，直线的方程为，所以，，，所以，，所以，椭圆的标准方程为．19．解：〔1〕方法一：因为①，所以②，由②-①得，，即，又，那么，即．在中令得，，即．综上，对任意，都有，故数列是以2为公差的等差数列．又，那么．方法二：因为，所以，又，那么数列是以为首项，为公差的等差数列，因此，即．当时，，又也符合上式，故，故对任意，都有，即数列是以2为公差的等差数列．〔2〕令，那么数列是递减数列，所以．考察函数，因为，所以在上递增．因此，从而．因为对任意的，总存在数列中的两个不同项，，使得，所以对任意的都有，明显．假设，当时，有，不符合题意，舍去；假设，当时，有，不符合题意，舍去；故．20．解：〔1〕当时，，定义域为．，令，得．＋0－↗极大值↘∴当时，的极大值为，无极小值．〔2〕，由题意对恒成立．∵，∴，∴对恒成立．∴对恒成立．令，，那么，①假设，即，那么对恒成立，∴在上单调递减，那么，∴，∴与矛盾，舍去；②假设，即，令，得，当时，，∴单调递减，当时，，∴单调递增，∴当时，，∴．综上．〔3〕当时，，．令，，那么，令，得．①当时，，∴单调递减，，∴恒成立，∴单调递减，且，②当时，，∴单调递增，其中，又，∴存在唯一，使得，∴，当时，，∴单调递增，当时，，∴单调递减，且，由①和②可知，在单调递增，在上单调递减，∴当时，取极大值．∵，∴，∴，又，∴，∴．数学Ⅱ〔附加题〕参考答案21、【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每题10分，共计20分．A．选修4—1：几何证明选讲解：记外接圆为圆O，AB、AC分别是圆O的切线和割线，所以，又，所以与相似，所以，所以，．B．选修4—2：矩阵与变换〔2〕，即，所以，解得时，，，属于的一个特征向量为；时，，，属于的一个特征向量为．C．选修4—4：坐标系与参数方程解：曲线，直线，圆心到直线的距离为，所以弦长．D．选修4—5：不等式选讲证明：，不妨设，那么，，由排序不等式得，所以．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得