2022北京海淀高三（上）期中数学（教师版）

第10页/共10页2022北京海淀高三（上）期中数学2022．11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知全集，集合，则（） （A） （B） （C） （D）（2）在同一个坐标系中，函数与且的图象可能是（）（3）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则（） A．4 B． C． D．（4）若等差数列和等比数列满足，，，则的公比为（） （A）2 （B） （C）4 （D）（5）已知实数满足，则下列不等式中正确的是（） （A） （B） （C） （D）（6）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（） （A） （B） （C） （D）（7）已知函数．甲同学将的图象向上平移1个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（） （A） （B） （C） （D）（8）已知函数，则""是"为奇函数"的（） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）若是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（） （A） （B） （C）1 （D）2（10）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为（）（参考数据：） （A）9 （B）10 （C）11 （D）12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．（11）若复数，则____．（12）函数的定义域是____．（13）已知向量，．若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为____．（14）若函数和的图象的对称中心完全重合，则____；____．（15）已知函数（1）当时，的极值点个数为____；（2）若恰有两个极值点，则的取值范围是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．（16）（本小题13分）已知等差数列的前项和为，且，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）等比数列的首项为1，公比为，在下列三个条件中选择一个，使得的每一项都是中的项．若，求．（用含的式子表示）条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分．（17）（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小正周期；（Ⅲ）求在区间上的最大值和最小值．（18）（本小题14分）已知函值．（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若在区间上的取值范围是，求的取值范围．（19）（本小题14分）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距的观测站和，观测人员分别在处观测该动物种群，如图，某一时刻，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得，，经过一段时间后，该动物种群出现在点处，观测人员从两个观测站分别测得．（注：点在同一平面内）（Ⅰ）求的面积； （Ⅱ）求点之问的距离．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）当时，证明：函数在区间上有且仅有一个零点；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

（21）（本小题15分）对于一个行列的数表，用表示数表中第行第列的数，．对于给定的正整数，若数表满足以下两个条件，则称数表具有性质：①，；②．（Ⅰ）以下给出数表1和数表2．（ⅰ）数表1是否具有性质？说明理由；（ⅱ）是否存在正整数，使得数表2具有性质？若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由；（Ⅱ）是否存在数表具有性质？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由；（Ⅲ）给定偶数，对每一个，将集合具有性质中的最小元素记为．求的最大值．

参考答案一、选择题题目12345678910答案BACBADBCAD二、填空题（11） （12） （13）答案不唯一，小于1的实数均可（14）2；或1 （15）2；（0，2）三、解答题（16）（本小题13分）解：（I）设等差数列的公差为，因为，，所以解得所以.（Ⅱ）选择条件③.因为，，所以因为，即.得因为为奇数，为偶数，所以.可得.（17）（本小题14分）解：（I）（I）所以的最小正周期为（Ⅲ）因为，所以当，即时，取得最大值，所以在区间上的最大值为；当，即时，取得最小值，所以在区间上的最小值为.（18）（本小题14分）解：（I）的定义域为.，令，，.02+0—0+极大值极小值由表可得，的单调递增区间为；单调递减区间为.（IⅡ）由函数解析式及（I）可知.①当时，，不符合题意；②当时，在区间上的取值范围是，符合题意；③当时，由在区间上单调递增可知，不符合题意。综合上述，（19）（本小题14分）解：（I）在中，，，所以.由正弦定理：，得，所以，，所以的面积为（II）由，得.在中由余弦定理，得所以即点之间的距离为.（20）（本小题15分）解：（I）当时，，则.，则.曲线在处的切线方程为.（II）当时，记，则.当时，，所以所以在上单调递增因为，所以函数在区间上有且仅有一个零点。（II）设则.设.则.因为当时，，所以当时，时，，所以在区间上单调递增.（1）当时，，，且在区间上单调递增，所以存在唯一，使得.当时，，所以在区间上单调递减.可得，所以与题意不符（2）当时，..由可知：在区间上单调递增，所以当时，.所以在区间上单调递增。所以区间上恒成立.符合题意。（3）当时，.由（2）可知，此时在区间上恒成立.综上所述，实数的取值范围是.（21）（本小题15分）解：（I）（i）数表1不具有性质.理由：.（ii）存在.时，数表2具有性质.（Ⅱ）不存在数表具有性质.假设存在使得数表具有性质，则.即在这两行中，有6列的数不同，设其中有列是第行的数为1，第行的数为0，则有列是第行的数为0，第行的数为1.所以，从第行到第行，一共增加了个1，1的个数的奇偶性不变.……7分所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同。与数表第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾.所以，不存在具有性质的数表（Ⅲ）的最大值的为.定义行列的数表：其第行第列为则，且表示，表示两数相同，表示两数不同.因为数表的第1行确定，所以给定数表后，数表唯一确定、①先证.我们按照如下方式，构造数表：对于第行和第行，，令，且在这两行其余的列中，任选相同的列都为1，其他列都为0.于是可得到具有性质的数表如下：第1列第2列第3列第4列第列第列第1行1111…11…第3行0011…11…第5行0000…11…第行0000…00即对于每个，当时，都存在数表具有性质.所以.②再证时，.记.因为是奇数