高中数学 空间向量基础讲义

授课内容

空间向量基础知识梳理知识要梳理知识点：空间向量1.间向量的念在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）空间的一个平移就是一个向量。（2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考虑其定义要素：方向，大小。（3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.线向量（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠//的充要条件是存在实数λ，使＝λ。3.量的数量（1）定义：已知向量，则1

叫做

的数量积，记作，即

。（2）空间向量数量积的性质：①

；②③．

；（3）空间向量数量积运算律：①

；②③4.间向量基定理如果三个向量

（交换律（分配律不共面，那么对空间任一向量

，存在一个唯一的有序实数组

，使。若三向量

不共面，我们把

叫做空间的一个基底，

叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5.间直角坐系：（1若空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长为这个基底叫单位正交基底用表示；）在空间选定一点

和一个单位正交基底，以点

为原点，分别以

的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系

,点叫原点，向量

都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，

平面，

平面；6.间直角坐系中的标系

点的组

使序实数组

叫作向量在空间直角坐标系

中的坐标作

，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标．2

7.间向量的角坐标算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（2）若

，，则，，，，，；，．夹角公式：

．（3）两点间的距离公式：若

，，则或知识点：空间向量立体几中的应用

。1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直问题，一般是利用

进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹、线面夹角、面面夹)有时也很方便．其一般方法是将所求的角求量角其而量可式。3

3．用向量法求距离的公式设n平面的法向量是平面的一条斜线点B到平面的距离为（如图规律方指导向量法求空间角上应用平面的向量的求法设，利用n平面内的两个不共线的向垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图线线角求法：设直线AB、CD对应的方向向分别为a、b，则直AB与CD所成的角为线线角的范围[00,900]）线面角求法：

意：设n平面的法向量，（如图

是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为4

二面角求法：设n别是二面角12

的两个面，的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法量求空间距⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。⑶两平行平面

之间的距离：，其中，

是平面的法向量。5

专题精讲空间向量是高中数学中的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角的重要工具，是高考考查的重要内容之.运用向量方法研究立体几何问题思路简单，模式固定，避免了几何法中作辅助线的问题从而降低了立体几何问题的难度本文将空间向量在立体几何中的应用的重要考点和解题方法作以解析.【考点及求1.理解直线的方向向量与平面法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3.能用向量方法证明证明直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究集合问题中的应用.【考点纳分析】考点1.用空间量证明空间直问题利用空间向量证明空间线线面面面垂直问题是高考考查的重点内容考查形式灵活多样，常与探索性问题、平行问题、空间角问题结合，考查形式可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，题目容易，是高考中的重要得分点例1(2021辽宁19已知三棱锥P－ABC中PA⊥面ABC，AB⊥ACAB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点证明：CM⊥SN；

12

，N为AB上一点，6

审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图，则11P（0,0,1（0,1,0（2,0,0（1,0,（,0,0（1,,0）22111CM(1,),,2221因•，2

所以CM⊥SN.【点评对坐标系易建立的空间线线垂直判定（证明）问题，常用向量法，即通过证明所证直线的方向向量的数量积为0证明两直线垂直例2(2021天津理19)在方体A，E、F是棱,CC的点，1111CF=AB,AB:=1:2:4.证明AF面A11审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法解析图所示立空间直角坐标系为坐标原点AB,依题意(0,2,0),F(1,2,1),A,1知,EA4,ED是AF·EA，AF·=0.，2AFEA,AFED,又EAEDE17

所以AF面AED【点评对坐标系易建立的空间线面垂直问题，通常用向量法，先求出平面的法向量和直线的方向向量，证明平面法向量与直线的方向向量平行或者直接用向量法证明直线与平面内两条相交直线垂直，再用线面垂直判定定理即可例3（2021山东文图所示的几何体中形正方形MA平面PDMAG、F分别MB、的中点，且PD.求证：平平PDC审题要津：本题空间坐标系易建立，可用坐标法解析以A为原点向,AB,AM分别为x

轴、y轴、轴的正方向图建立坐标系设AM=1，则AD=AB=PD=2,则B(0,2,0),C(－2,0,0),P(－2,0,2),M(0,0,1),则E(0,1,1,1,1),F(－2,1,1)，1∴EG=(-1,0,GF=(－1,0,0),平面EFG的法向=xy，2=1，则x==0，m=（0，1,0）,EG•=z=0•==0取y

12

),G(－易证面PDC的法向量为DA•DA=∴m⊥DA,∴平面EFG平PDC【点评对于易建立空间坐标系的面面垂直问题，常向量法，即先建立坐标系，求出两个平面的法8

00向量，通过证明这两个平面的法向量垂直，即得面面垂直考点2.用空间量处理空间行关系空间线线、线面、面面平行关系问题是高考考查的另一个重点内容，考查的形式灵活多样，常与探索性问题、垂直问题、空间角问题结合，可以是小题，也可以是解答题的一个小题，题目的难度一般不大，是高考中的得分点之一例（2021湖南理18在正方体ABCD是DD的中点在D上是否存在一点F，11111使BF∥平面BE?证明你的结论。11审题要津：本题坐标系易建立，可用向量法求解解析：以A为坐原，如图建坐标系，设正方形的长2则B(2,0,0),E(0,2,1),(0,0,2),B(2,0,2)，1∴BE=(BA=（－2，2设面BEA的法向量为m=（x，，z1•m•=x=0，x=1，则z－1，

3=，=（1，，－1）,2假设在CD上存在一点F，使F平面ABE设F(x，2，2)（0≤x≤2100则

3=（，2m•BF，2解得x=1，∴当FD中点时F∥平面ABE.0【点评对于易建立坐标系的线面平行问题的向量解法，有两种思路（1）用共面向量定理，证明直线的方向向量能用平面内两条相交直线的方向向量表示出来，即这三个向量共线，根据共面向量概念和直线在平面外，可得线面平行求出平面法向量，然后证明法向量与直线的方向向量垂直即可.对于探索性问题，通常先假设成立，设出相关点的坐标，利用相关知识，列出关于坐标的方程，若方程有解，则存在，否则不存.注意）设点的坐标时，利用点在某线段上，设出点分线9

0022200222段所成的比，用比表示坐标可以减少未知量，简化计算(2)注意点的坐标的范围.例5在三棱柱ABCC中侧棱垂直于底面在底面=9001∥面DD为B的中点，求证：BD∥ACD.111

,D是BC上一点且A1审题要津：本题的坐标系容易建立，可用向量法解析以B点为原点如图建立坐标系设bBB=c则a,0,0C(0，2)，1(0,0,c)，()，D(0b)，设D(0，，0)（0≤y110∴AD=(，，0)=(－2b)BAa，0)，=（001设面D法向量m=(x，y，z)，•ADy=0•==0，111111取y=a，则x==110

ayab

，ayab则m（ya，0c

又∵A∥面D1ayab•=0

ab=0，解得y=bmb，ac设面ABD的法向量=(,,z),n•=ax=0n•BD==0，112222122cc取z=1，则=，y=，n，1)，aan=

c

，∴，∴面ABD面D.1110

311311【点评对面面平行问题的向量方解法有两种思路利用向量证明一个面内两条相交直线分别与另一个平面平行，根据面面判定定理即得求出两个平面的法向量，证明这两个法向量平行，则这两个面就平行.考点用空间量处理异面线夹角线面角、二角等空角问题异面直线夹角、线面角、二面角等空间角问题是高考考查的热点和重点，常与探索性问题、平行问题、垂直等问题结合，重点考查综合利用空间向量、空间平行与垂直的有关定理、空间角的相关概念解决空间角问题的能力，是立体几何中的难点，难度为中档难度例6、(2021天津理19)在长方体BCD中，E、分别是棱,上的点，11111CFCE,AB:AD:AA2）求异面直1余弦值）求二面角ED的正弦值。1

与A所成角的1审题要津：本题坐标系易建立，可以向量法解析：如图所示，建立空间点A为坐标原点，设得D(0,2,0),,,E1,21(1)证明：易得EF0,,1,D(0,2,,于cosEFD3与AD所成角的余弦值为15

EFD1,EFD51

所以异面直线(2)解：设平面EFD的法向=(xy,z)，n•=

12

yn•EDy，不妨令x=1,可=(1,2,－1),设平面A的法向=mn，）•ED=n=0•DA=p=0，取p=1,n=2m=1，则（1,2,1）11

于cosn,m=

n•m5=，从,，n3所以二面A-ED-F正弦值为1

53【点评对异面直线夹角问题先求出两条异面直线的方向向量分别为、在求、n夹角，设两异面直线的夹角利

|cosm,n|出异面直线的夹角，注意）异面直线夹角与向量夹角的关系；(2)对二面小问题，先求出平的法向m，再求出m、的夹角取一点A

内取一点B设二面小

••同号

=m,n••AB异号

=

意二面角大小与法向量夹角的关系例7（2021国卷理）方体ABCD-D中，BB与平面D所成角的余弦值为11A

B

36CD333审题要津：本题是正方体中的线面关系问题，可用空间向量法求解解析：如图建立坐标系，设正方体棱长为1，BB与面ACD的夹角则D(0,0,0),C(0,1,0)，11B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,1),(1,1,1),∴=（－1=(－1,0,1),BB=(0,0,1),11设面ACD的法向x0=•n=y且0=AD•n==1

=1=1，n=