材料力学扭转

Livingwithoutanaimislikesailingwithoutacompass.生活没有目标就像航海没有指南针。(法国作家大仲马.A.)Opportunityknocksbutonlyonce.机会只敲一次门(或译：机不可失，大学4年一生是有一次）Liveasifyouweretodietomorrow.Learnasifyouweretoliveforever.生活，就像你明天即将死去；学习，就像你将永远活着。你读的不是书而是你将来的幸福。第三章扭转1、螺丝刀杆工作时受扭。扭转的实例§3.1扭转的概念和实例Me主动力偶阻抗力偶汽车方向盘§4-1、概述FFM目录构件特征：等圆截面直杆。MM受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。变形特征：纵向线倾斜一个角度，称为剪切角(切应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动.以扭转变形为主的杆件称为轴.使杆产生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩称为扭力偶矩（外力偶矩）。FFMd一、功率、转速与外力力偶矩之间的关系已知轴的传递功率P：kW（千瓦）§3.2、外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图力F的功率：力偶的功率：轴的转速n：r/min（转/分钟）MMT取右段为研究对象：内力偶矩T——扭矩

取左段为研究对象：二、扭转杆件的内力——扭矩与扭矩图MM

T扭矩的正向规定：按右手螺旋法则判断。

右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若矢量方向与截面的外法线方向相同，则扭矩规定为正值，反之为负值。T+TMM采用“截面法”求横截面上的内力：nnTMnnx由ΣMx=0得：T=M一：扭矩与扭矩图T称为扭矩。MMnnTMnnx扭矩T的符号规定：按右手螺旋法则，四指代表扭矩T的旋转方向,若大拇指指向截面的外法线方向(即背离截面)时，该扭矩T为正；反之为负。TMnnMTMTMTMT正负例3.1:如图传动轴中，主动轮A输入功率PA

=36kW，从动轮B,C,D的输出功率分别为PB=PC

=11kW,PD

=14kW，轴的转速为n=300rpm，试画出轴的扭矩图。解：112233BMBADCMCMAMDBMBADCMCMAMDMB

ΣMx=0:T1+MB=0x

T350MA=1146N·m

MB=350N·m

MC=350N·m

MD=446N·m画扭矩图：11T1

T1=-

MB=-350N·m22x

TMCMB350700BMBADCMCMAMDT2MA=1146N·m

MB=350N·m

MC=350N·m

MD=446N·m画扭矩图：

ΣMx=0:T2+MB+MC

=0

T2=-MB-MC

=-700N·mx

T350700D446+危险截面就是CA段各截面!BMBADCMCMAMDT3MA=1146N·m

MB=350N·m

MC=350N·m

MD=446N·m画扭矩图：33MDΣMx=0:-

T3+MD=0T3=MD=446N·m书上习题3.1：mm(a)Txm2m书上习题3.1：Txm(b)2mTm3m书上习题3.1：(c)T(kNm)x3030kNm20kNm15kNm10kNm10515习题3.1（b）1.实验前（1）画纵向线,圆周线;（2）施加一对外力偶.薄壁：壁厚r—圆筒的平均半径§3.3薄壁圆筒的扭转、切应力互等定理一、薄壁圆筒的扭转应力（1）画纵向线,圆周线;（2）施加一对外力偶.dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度；（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.dxx

Me

Me2.实验后（1）圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；（2）各纵向线均倾斜了同一微小角度；（3）所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形.τ推论：1.横截面上无正应力，只有切应力；2.切应力方向垂直半径.圆周各点处切应力的方向于圆周相切,近似的认为沿壁厚方向各点处切应力的大小相等.MeMeaτTττrdT

切应力方向要与扭矩T的方向一致.τ此式为薄壁圆筒扭转时横截面上切应力的计算公式.rdTxdyδdxyz二、纯剪切与切应力互等定理

ττ由平衡方程:左面与右面的切应力组成一个力偶，其矩为(δ

dy)dx。可知单元体左面与右面的切应力相等。MMτττ′τ′dxdyδxydyδzdxττ还要满足平衡方程

单元体的上、下两平面上必有大小相等，指向相反的一对切应力组成的力偶，其矩为切应力互等定理：

单元体两个相互垂直平面上的切应力同时存在,且大小相等,都指向（或都背离）两面的交线.左面与右面的切应力组成一个力偶，其矩为(δ

dy)dx。判断图示的各单元体上的切应力是否正确。30kN纯剪切：

单元体平面上只有切应力而无正应力,这种应力状态称为纯剪切。0γττsα

薄壁圆筒的扭转试验发现：三、剪切胡克定律γττττG：材料的切变模量单位与E

：拉(压)弹性模量相同：GPaE

、μ、G：对于各向同性材料有下式关系：2(1+μ)G=E(3.4)为什么横截面上的切应力要与半径垂直？

1）轴向线仍为直线,且长度不变；

2）横截面仍为平面且与轴线垂直；1、变形几何方面

3）径向线保持为直线,只是绕轴线旋转.

平面假设变形前为平面的横截面,变形后仍保持为平面.§3.4圆轴扭转时横截面上的应力γ0123φ0123xxdxBABAodRBBoddx

同一圆周上各点切应力

均相同,且其值与成正比,

与半径垂直.

2、物理方面由剪切胡克定律OdrtmaxtrtmaxTtmaxtmaxODdTrtrROT3、静力学方面

ρ代入物理关系中得到Ip—横截面对圆心的极惯性矩dAρWt

称为抗扭截面系数。最大切应力max计算：OdrtmaxtrtmaxTtmaxtmaxODdTrtr将公式化为最傻瓜（最简单）的形式。（1）实心圆截面dO

极惯性矩和抗扭截面系数的计算ρdρIP：单位为mm4

或m4.Wt：单位为mm3或m3.ODd（2）空心圆截面其中ρdρ（3）薄壁圆截面R0dT上式与p75的（a）式一致。oToToToTMeMeABABCCR/2Ttmax思考题：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？8受扭圆轴失效的两种形式：塑性材料：首先发生屈服，在试样表面的横向和纵向出现滑移线，最后沿横截面被剪断。一、扭转失效圆轴扭转破坏与强度条件低碳钢试件：沿横截面断开。脆性材料：变形很小，在与轴线约成45º的面上断裂。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。对于塑性材料．[t]＝(0.5一0.6)[σ]对于脆性材料，[t]＝(0.8—1.0)[σt]二、圆轴扭转时的强度条件对于等截面圆轴：强度计算的三类问题：①校核强度：②设计截面尺寸：③确定承载能力：例3.2汽车传动轴由无缝钢管制成，

其外径D=90mm，内径d=85mm，受外力偶矩Me=1.5kNm的作用。如材料[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。MeMeDd例3.2

汽车传动轴由无缝钢管制成，

其外径D=90mm，内径d=85mm，受外力偶矩Me=1.5kNm的作用。如材料[τ]=60MPa，试校核该轴的强度。MeMeDd解：由剪切强度条件：满足强度要求。其中：Wt

=16πD3(1-α4)α=d/Dτmax=TmaxWt≤[τ]例3.3

将上例传动轴改为实心轴.

要求与原来的空心轴的强度相同，试确定轴的直径，并比较实心轴与空心轴的重量。解：设实心轴的直径为D1

为什么空心轴比实心轴省材料？OdrtmaxtrtmaxTtmaxtmaxODdTrtr习题3.2习题3.8“胡老师，我是09路桥三班的**，写这封信给您是想问下您的qq并想加您为好友。大学过了两年，印象深刻的好老师，您绝对是其中一个。您教的材料力学，我的总体感觉是我自己学得还比较好，学得也非常轻松。马上我们就大三了，我也快要准备考研了，在今后的学习里，困惑的地方，还望胡老师多多指点！最后，附上本人猥琐的照片一张，呵呵。”（其实他的照片一点都不猥琐，很帅哦）ldxd§3.5圆轴扭转变形与刚度条件x

对于等截面杆且扭矩为常值时：Mlx

对于等截面杆且扭矩为常值时：上式即为扭矩时的刚度条件。上式即为扭矩时的刚度条件。思考题：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的

倍？圆轴的扭转角是原来的

倍？816刚度条件：刚度计算的三类问题：（1）刚度校核：（2）截面设计：（3）确定承载能力：例

已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[’]=0.5()/m。jAC=?并校核轴的刚度。解（1）扭转变形分析例

已知：MA=180N.m，MB=320N.m，MC=140N.m，Ip=3105mm4，l=2m，G=80GPa，[’]=0.5()/m。jAC=?并校核轴的刚度。（2）刚度校核习题3.23两端固定的圆截面杆AB，在C截面处受外力偶M作用，试求两固定端的支反力偶矩。解:静力平衡方程

:

–

MA–

MB+M=0(a)物理方程(力-变形关系)：

几何方程:

AB=AC+CB=0(b)

abAMCBMAMB解（a）（c）得：

MAMB

T

_+习题3.10习题3.8实心圆轴与空心圆轴通过牙嵌离合器连接。已知轴的转速n=100r/min，传递功率P=7.5kW，许用切应力[τ]=40MPa，d2/D2=0.5。试确定实心轴的直径d1，空心轴的内、外径。

解：d1d2D2由实心轴的切应力强度条件：

由空心轴的切应力强度条件：

§3.7非园截面杆扭转的概念CL5TU20

1）轴向线仍为直线,且