2022北京高一（上）期末数学汇编：函数的概念与性质

第15页/共15页2022北京高一（上）期末数学汇编函数的概念与性质一、单选题1．（2022·北京顺义·高一期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．2．（2022·北京·清华附中高一期末）已知是函数的反函数，则的值为（

）A．0 B．1 C．10 D．1003．（2022·北京西城·高一期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．4．（2022·北京丰台·高一期末）已知函数，那么（

）A．-2 B．-1 C． D．2二、填空题5．（2022·北京市第五中学高一期末）已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________．6．（2022·北京市第五中学高一期末）已知函数且关于的方程有四个不等实根，写出一个满足条件的值________．7．（2022·北京朝阳·高一期末）已知定义在上的函数满足：①；②在区间上单调递减；③的图象关于直线对称，则的解析式可以是________．8．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数（且）.给出下列四个结论：①存在实数a，使得有最小值；②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；③存在实数a，使得的值域为R；④若，则存在，使得.其中所有正确结论的序号是___________.9．（2022·北京丰台·高一期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲､乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横､纵坐标分别为第i名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点的横､纵坐标分别为第i名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i=1，2.给出下列四个结论：①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；②该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少；③该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少；④该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少.其中所有正确结论的序号是___________.10．（2022·北京平谷·高一期末）已知奇函数f（x），当，，那么___________.11．（2022·北京石景山·高一期末）函数的定义域是___________.12．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）函数定义域是____________．三、双空题13．（2022·北京大兴·高一期末）能说明命题“如果函数与的对应关系和值域都相同，那么函数和是同一函数”为假命题的一组函数可以是________________，________________．14．（2022·北京·清华附中高一期末）已知，则函数的最大值为___________，最小值为___________.四、解答题15．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）已知函数.(1)判断奇偶性；(2)当时，判断的单调性并证明；(3)在（2）的条件下，若实数满足，求的取值范围.16．（2022·北京朝阳·高一期末）已知函数，（）．(1)当时，求不等式的解集；(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．17．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数.(1)若的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；(2)若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.18．（2022·北京石景山·高一期末）已知函数．(1)用定义证明函数在区间上单调递增；(2)对任意都有成立，求实数的取值范围．19．（2022·北京东城·高一期末）已知定义在R上的函数满足：①对任意实数x，y，都有；②对任意．(1)求；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)若，直接写出的所有零点（不需要证明）．20．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数（且），再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.(1)判断函数的奇偶性，说明理由；(2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明；(3)若不大于，直接写出实数m的取值范围.条件①：，；条件②：，.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.21．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数(1)求，的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；(4)由简图得出函数的奇偶性，并证明.22．（2022·北京昌平·高一期末）已知函数.(1)求的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并证明你的结论；(3)若对于恒成立，求实数的最小值.

参考答案1．A【分析】由被开方数非负求解即可【详解】由题意得，解得，所以函数的定义域为，故选：A2．A【分析】根据给定条件求出的解析式，再代入求函数值作答.【详解】因是函数的反函数，则，，所以的值为0.故选：A3．B【分析】解不等式组即可得定义域.【详解】由得：所以函数的定义域是.故选：B4．A【分析】直接代入计算即可.【详解】故选：A.5．【分析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.故答案为：.6．（在之间都可以）.【分析】画出函数的图象，结合图象可得答案.【详解】如图，当时，，当且仅当时等号成立，当时，，要使方程有四个不等实根，只需使即可，故答案为：（在之间都可以）.7．（答案不唯一）【分析】取，结合二次函数的基本性质逐项验证可得结论.【详解】取，则，满足①，在区间上单调递减，满足②，的图象关于直线对称，满足③.故答案为：（答案不唯一）.8．①②④【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④.【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.故答案为：①②④9．①②④【分析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可【详解】对于①，由题意可知，的横､纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确，对于②，由题意可知，的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知的纵坐标小于的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，所以②正确，对于③，④，由图可知，的横、纵坐标之和大于的横、纵坐标之和，所以该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，所以③错误，④正确，故答案为：①②④10．【分析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.【详解】由f（x）为奇函数，可知，则又当，，则故故答案为：11．【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；【详解】解：因为，所以，解得，即函数的定义域为故答案为：12．【详解】试题分析：根据偶次方根式下被开方数非负，有因此函数定义域是，注意结果要写出解集性质.考点：函数定义域13．

（答案不唯一）；【分析】根据所学函数，取特例即可.【详解】根据所学过过的函数，可取，，函数的对应法则相同，值域都为，但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假.故答案为：；14．

【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，即有当时，，而当时，，当时，，则，所以函数的最大值为，最小值为.故答案为：；15．(1)奇函数(2)增函数，证明见解析(3)【分析】（1）求出函数的定义域，再判断的关系，即可得出结论；（2）任取且，利用作差法比较的大小即可得出结论；（3）根据函数的单调性列出不等式，即可得解，注意函数的定义域.(1)解：函数的定义域为，因为，所以函数是奇函数；(2)解：函数是上的单调增函数，证：任取且，则，因为，所以，，，所以，即，所以函数是上的单调增函数；(3)解：由（2）知函数是上的单调增函数，所以，解得，所以的取值范围为.16．(1)或(2)(3)【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.（1）当时，由得，即，解得或．所以不等式的解集为或．（2）由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范围是．（3）当时，．又．①当，即时，对任意，．所以，此时不等式组无解，②当，即时，对任意，．所以2<m≤3,4-m2③当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解，④当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.17．(1)；(2).【分析】(1)根据给定条件可得恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得.(2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答.(1)因函数的图象恒在直线上方，即，，于是得，解得，所以实数的取值范围是：.(2)依题意，，，令，，令函数，，，，而，即，，则有，即，于是得在上单调递增，因此，，，即，从而有，则，所以实数的取值范围是.18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由定义证明即可；（2）求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围．(1)任取，且，因为，所以，所以，即.所以在上为单调递增．(2)任意都有成立，即.由（1）知在上为增函数，所以时，.所以实数的取值范围是.19．(1)(2)为偶函数，证明见解析(3)【分析】（1）令，化简可求出，（2）令，则，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，（3）利用赋值求解即可(1)令，则，，得或，因为对任意，所以(2)为偶函数证明：令，则，得，所以为偶函数(3)令，则，因为，所以，当时，，当时，，当时，，当时，，……，所以即当时，，所以函数的零点为20．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）定义域均为，代入化简可得出与的关系，从而判断奇偶性；（2）利用定义任取，且，作差判断的正负，可得出单调性；（3）根据奇偶性和单调性可得到与2的不等关系，求解可得的范围.(1)解：选择条件①：.函数是偶函数，理由如下：的定义域为，对任意，则.因为，所以函数是偶函数.选择条件②：.函数是奇函数，理由如下：的定义域为，对任意，则.因为，所以函数是奇函数.(2)选择条件①：.在上是增函数.任取，且，则.因为，所以.所以，即所以在上是增函数.选择条件②：.在上是减函数.任取，且.因为，所以.所以，即所以在上是减函数.(3)选择条件①：.实数的取值范围是.选择条件②：.实数的取值范围是.21．(1)，；(2)作图见解析；(3)；(4)为奇函数，证明见解析.【分析】（1）根据对应区间，将自变量代入解析式求值即可.（2）应用五点法确定点坐标列表，再描点画出函数图象.（3）由（2）图象直接写出值域.（4）由（2）图象判断奇偶性，再应用奇偶性定义证明即可.(1)由解析式知：，.(2)由解析式可得：0120010∴的图象如下：(3)由（2）知：的值域为.(4)由图知：为奇函数，证明如下：当，时，；当，时，；又的定义域为，则为奇