2022-2023年艺术生新高考数学讲义 第35讲 圆锥曲线基础过关小题

第35讲圆锥曲线基础过关小题

【知识点总结】

一．椭圆的定义

平面内与两个定点F1,F2的距离之和等千常数2a(2a>IF/2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做

椭圆的焦点，俩焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c,定义用染合语言表示为：

{P11PF,I+IPF2I=2a<2a>IF/2乍2c>0)}

注明：当2a=2c时，点的轨迹是线段；

当2a<2c时，点的轨迹不存在

二．椭圆的方程、图形与性质

椭圆的方程、图形与性质

焦点的位

焦点在x轴上焦点在y轴上

置

BI

图形

B,

x2.II.x2-

标准方程下了＝l(a>b>O)于了＝l(a>b>O)

aa

统一方程mx2+nl=l佃＞0,n>O,m-:/c-n)

参数方程{x=acosO,0为参数(OE[0,2忒）{x=acosO,0为参数(OE[O,2吵

y=bsin0y=bs:inO

第一定义1到两定点Fl、F2的距离之和等千常数2a,即IMF1I+IMF2~2a(2a>IF/2I)

范围I—a:,;x:,;a且—b:;;y立b-bsXsb且－asysa

A1(-a,o)、A2(a,0)A1(o,-a)、A2(O,a)

顶点

B1(o,-b)、82(0,b)B1(-b,O)、B2(b,0)

轴长长轴长＝2a短轴长＝2b1长轴长＝2a短轴长＝2b

对称性关千x轴、y轴对称，关千原点中心对称

焦点IF1(-c,o)、F2(c,0)凡(0,-c)、乌{0,c)

焦距厚I=2c妒＝a2-b2)

离心率e=:＝｀尸＝勹(0<e<1)

点和椭圆

』fa'＋卫fb'1l<o点U。,y。)在椭圆上内-,,a.'+.-iI}•=<1~点(x。,y。)在椭圆上内

的关系{『|1『

通径过焦点且垂直千长轴的弦叫通径：通径长＝2一b2（最短的过焦点的弦）

a

设直线与椭圆的两个交点为从xI,"yI)'B妏2'y✓2)''k"AB=k,

则弦长IABl=✓I了了伈—x2|＝五了了他—X2)2—4x1x2

弦长公式

＝厂沪(yI-y)2-4y！丿3＝汇了垒

laI

（其中a是消y后关千x的一元二次方程的x2的系数，A是判别式）

三、双曲线的定义

平面内与两个定点Fl,F2的距离的差的绝对值等于常数（大千零且小千IF1F2|）的点的轨迹叫做双曲线

（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为

{M111MFl1-1MF211=2ac0<2a<f/2r}

注（1)若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．

(2)当2a=IF心1时，点的轨迹是以Fl和F2为端点的两条射线；当2a=0时，点的轨迹是线段FIF2的垂

直平分线

(3)2a>IF/2时，点的轨迹不存在

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

＠条件”1擘＞2a“是否成立；＠要先定型（焦点在哪个轴上），再定械（确定a气b2的值），注意az+b2=c2

的应用

四、双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

标准方X2/;lx2

—-—=1妇＞O,b>0)—-—=1妇＞O,b>0)

程a2b2a2b2

a

y_x

_-b

图形x

a

y=--X

b

焦点坐

F,(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)

标

对称性关于X,y轴成轴对称，关千原点成中心对称

顶点坐

A1(-a,O),A2妇，0)A1(0,a),A2(0,-a)

标

范围I叶~a叶江

实轴、

实轴长为2a,虚轴长为2b

虚轴

离心率e=:＝门妇＞1)

Ix2

渐近线令—x2--~I=0"⇒y＝士'－bX,令＿＿＿－＝0⇒y＝士立X,

a2片aa2片b

方程

焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为b

点和双>1，点(x。,y。)在双曲线内>l，点(x。,y。)在双曲线内

曲线ff（含焦点部分）三＿立｛（含焦点部分）

的位置了了｛＝l，点(x。,y。)在双曲线上a2片＝1，点(x。,y。)在双曲线上

关系<1，点(x。,y。)在双曲线外<l，点(x。,y。)在双曲线外

共渐近

线的双X2fyx2

———＝入饥＃0)———=A饥＃0)

曲线方a2b2a22b2

程

设直线与双曲线两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),KAB=k.

则弦长IAB|＝汇了卜I-X2＝尸：化－y21贮O)'

弦长公

式

x1—X2|＝J(x1飞）2—仇X2＝抎，其中“a“是消'y”后关千“X"的一

1叶

元二次方程的"f”系数

2b2

通径1通径（过焦点且垂直千FF1-2的弦）是同支中的最短弦，其长为一

a

五、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l仔茫])的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦

点，定直线1叫做抛物线的准线．

注若在定义中有FE.!,则动点的轨迹为1的垂线，垂足为点F.

六、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：I=2px,J=-2px,x2=2py,x2=-2py(p＞0)，其中一次项与对称轴一

致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）

表10-3

标准

y2=2px(p>0)I=-2px(p>0)x2=2py(p>0)入,2=-2py(p>0)

方程

yV

图形。x。

X

对称

x轴y轴

轴

顶点原点(0,0)

P

焦点0i、丿

譬，0)(-P._,0)2_(0,－鸟

坐标22

p-2p-2P-2

准线x__y__y__

方程1x=-§

三、抛物线中常用的结论

1点p(x。,y。)与抛物线I=2px(p>0)的关系

(I)p在抛物线内（含焦点)-疗<2px。

(2)p在抛物线上-式=2px矿

(3)p在抛物线外<=:>J{>2px矿

2.焦半径

抛物线上的点P丸，Yo)与焦点F的距离称为焦半径，若I=2px(p＞0)，则焦半径IPFl=x。十f,

|PF|=2.

max2

3.p(p＞0)的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大

4.焦点弦

若AB为抛物线I=2px(p＞0)的焦点弦，A仇，y1)，B仇，y2)，则有以下结论：

p2

(I)XX1··2,=—4.

(2)Y1Yz=-p2.

(3)焦点弦长公式1:IABI=x1+x2+p,x1+x2~2.,fa了：＝p,当XI=X2时，焦点弦取最小值2p'

即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.

2p

焦点弦长公式2:jABI=(a为直线AB与对称轴的夹角）．

s沪a

p2

(4)~AOB的面积公式：SMOB=位为直线AB与对称轴的夹角）．

2s叩a

【典型例题】

例1.(2022全国高三专题练习）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为+,它的长轴长等千圆C:x2+y2-

这－15=0的半径，则椭圆的标准方程是（)

22

A.—+—=IB.~+L=I

4343

y2f

C.三十L=lD.--+-=l

4242

例2.(2022全国高三专题练习）已知曲线C:mx2+ny2=I,下列结论不正确的是（)

A.若m>n>O,则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>O,则C是圆，其半径为石

C.若mn<O,则C是双曲线，其渐近线方程为y＝气Pfx

D.若m=O,n>O,则C是两条直线

例3.(2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期末（文））等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与

抛物线y2=8占x的准线交于A、B两点，IABl=4✓3，则C的实轴长为（)

A.2拉B.4拉C.4D.8

22

（多选题）例4.(2022全国高三专题练习）已知双曲线C::—~=l(a>O,b>0),右顶点为A,以A为

矿b2

圆心，b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点，若乙MAN=60°,则有（)

$3五

A.渐近线方程为y＝士—－XB.e=

32

2$

C.e=-—D.渐近线方程为y＝土五x

3

（多选题）例5.(2022·全国高三专题练习）以下说法正确的是（)

2_2

A.椭圆土+L=l的长轴长为4,短轴长为2✓3

43

2

B.离心率为－的椭圆较离心率为－的椭圆来得扁

32

22

c.椭圆上+L=l的焦点在X轴上且焦距为2

34

22

D.椭圆土+L=l的离心率为上

43

（多选题）例6.(2022全国高三专题练习）若椭圆C:—+——-＝1的一个焦点坐标为0),1},则下列结

mm—l(

论中正确的是（

✓3

A.m=2B.C的长轴长为✓3C.C的短轴长为✓2D.C的离心率为＿＿

3

（多选题）例7.(2022全国高三专题练习）已知F1,庄分别是双曲线C:y2-x2=l的上、下焦点，点P

是其一条渐近线上一点，且以线段F1压为直径的圆经过点P,则（)

A.双曲线C的渐近线方程为y＝虹

B.以F心为直径的圆的方程为x2+y2=I

C.点P的横坐标为土l

D.丛PF心的面积为拉

（多选题）例8.(2022·全国高三专题练习）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆i+上-＝1

94

有相同的焦距，且一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的方程可能为（)

222

X22yy2X

A.—-y2=1B.X-—=lC.—-x2=lD.y-—=1

4444

例9.(2022·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期末（文））过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线千A,B两

点，若两点的横坐标之和为5,则IABI=_.

例10.(2022全国高三专题练习）已知椭圆—a2+.~=b2l(a>b>0)的左、右焦点分别为斤、F2'若椭圆上的

点P满足PF2上x轴，IPF.I=2IPF2I'则该椭圆的离心率为.

【技能提升训练】

一、单选题

I.(2022全国高三专题练习（文））已知P为椭圆上千—=1上一点，若P到一个焦点的距离为I,则P到

94

另一个焦点的距离为（)

A.3yB.5C.8D.12

2.(2022全国高三专题练习）已知椭圆C:_;+?,a2.b2=l(a>b>0)的左右焦点分别是只，F2'椭圆上任意一

点到E，尽的距离之和为4,过焦点启且垂直于X轴的直线交椭圆C千A,B两点，若线段AB的长为3,

则椭圆C的方程为（)

xxy2x2y

A.x2十~=1B.一＋y2=1C.-+—=1D.—+—=l

334332

2

3.(2022全国高三专题练习）已知oABC的顶点B,C在椭圆上＋y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且

3

椭圆的另外一个焦点在BC边上，则oABC的周长是()

A.2$B.6C.4D.4✓3

X

4.(2022全国高三专题练习（文））已知椭圆—a2+~=.b2l(a>b>O),F1,庄分别为椭圆的左、右焦点，若

椭圆上存在一点P,使得IPF;I-IPF;i=2b,则该椭圆离心率的取值范围为（)

l-2l-2

A(。』』B'')五J

,C.(0,—]D.[—,1)

22

5.(2022全国高三专题练习）设P是椭圆~+f=i上的点．若R,F2是椭圆的两个焦点，则IPF;l+IPFz|等

2516

千

A.4B.5C.8D.10

6.(2022浙江高三专题练习）若动点M(x,y)始终满足关系式Jx丘(y+2)2+Jx2+(y—2)2=8，则动点M

的轨迹方程为()

22222222

X,yX.YXyXy

A.—+—=1B.-+—=lc.D.—-—=1

16121216--—1216=11612

7.(2022全国高三专题练习）设圆(x+I)2+y2=25的圆心为C,点Ato）是圆内一定点，点Q为圆周上任一

点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交千点M,则点M的轨迹方程为()

4x24y24x24y2

A.—-—=lB.—+—=1

21252125

4x24/4x24y2

c.—-—=1D.—+---=1

25212521

x2y2l

8.(2022·全国高三专题练习）已知椭圆C:——-+=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F;'F2'离心率为－，

a2b22

过片的直线与椭圆C交于A,B两点．若aF;AB的周长为8,则椭圆方程为（)

2222

x-.yX

A.—+—=lB.—+L=l

431612

2

XXy

C-+y2=lD..:.:....+.:::.._=1

242

22I

9.(2022全国高三专题练习）设凡，启是椭圆上+L_=l的两个焦点，P是椭圆上一点，且cos乙F;PF2=—.

12243

则MF;F2的面积为（)

A.6B.6五C.8D.8.J2

22

10.

(2022浙江高三专题练习）已知E、E是椭圆C:~+~=a2.b2l(a>b>O)的两个焦点，P为椭圆C上的

一点，且丙气上丙:若6P~F2的面积为9,则b＝()

A.2B.3C.4D.5

11.(2022全国高三专题练习）已知只，片是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若以F;Fi为直径的圆

过点P,且4PF汛＝2LPF;F2,则C的离心率为（)

✓3J3-I

A.I-—B.✓3-1C.D.2-✓3

22

12.(2022全国高三专题练习）如果方程x勹矿＝2表示焦点在Y轴上的椭圆，那么实数K的取值范围是

()

I

、

c(~

A.{I，如）B.(1,2).-2,D.(0,1)

13.(2022全国高三专题练习）下列四个椭圆中，形状最扁的是（)

x2.y21nx2.y21rsxi.Yiy-'r,.,-r-xx2.-'yy2

A.—+—=1B.——+=lC.—+—=lD.—+—=l

209201020112012

22

X

)4.(2022重庆模拟预测）已知椭圆C.—+L=l的一个焦点坐标为(2,0)，则m=(

5m)

A.IB.2c.5D.9

15.(2022全国高三专题练习）若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程

为（）

22

XX

A.—+y=lB.~+y2=1

54

x2入＿22

C.—+y2=1或—+~=lD.以上答案都不正确

545

22

16.(2022·全国高三专题练习）已知椭圆E:：+义-=l(a>b>O)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆

矿b2

千A,B两点，若AB的中点坐标为(1,-1)，则椭圆E的方程为（)

22222222

X.yX.y

A.工十L=lB.上＋2'._=lC.-+-=lD.—+—=l

453636272718189

22

X

17.(2022全国高三专题练习）过点（一3,2)且与-－+上·=1有相同焦点的椭圆方程是（)

94

2222

x-'yX.Y

A.—+—=lB.—+—=l

15101015

22

X.y

c.—+—=1D.~+L=l

925IOS

34

18.(2022浙江高三专题练习）已知椭圆过点P(-:-,-4)和点Q(－一，3),则此椭圆的标准方程是()

55

2y2入，2

A.x2十L=IB.x2+—=1或—+y2=l

252525

2

X2

C.—+y=ID.以上都不对

25

22

19.(2022浙江高三专题练习）已知点M(3，五；是椭圆上+fi-=1(a>b>O)上的一点，椭圆的长轴长

()矿b2

3

是焦距的－倍，则该椭圆的方程为()

2

22222

A.—X+,—y=1B·—X+y-1-

25202745

X2y2X2y2

c.—+—=1D.—+—=l

18103620

2

X2.y2'I-.,_.I\\l,X~+..t:(I✓3

20.(2022全国高三专题练习）已知椭圆C:丁f=l(a>b>O)经过，占、（了），且C的离心率为½,

则C的方程是（)

x2-y2X?y'

A.-+—=lB.—+—=1

4386

X2y2X2y2

C.—+-=lD.—+—=l

4284

21.(2022上海高三专题练习）若椭圆的焦点在X轴上，焦距为2森，且经过点（✓3,✓2)'则该椭圆的标准

方程为

2x_立

2222勹？

Xx-.yy.x-D+

l-

._

A.L+—=lB.—+--=1c.—+--=193

9336123612

22.(2022全国高三专题练习）一个椭圆中心在原点，焦点肛启在X轴上，P(2,.J句是椭圆上一点，且IPF,|、

IF;F2|、|PF2I成等差数列，则椭圆方程为（)

2x2y

222222

x-.yX.YxyD+=l

A.—+--=lB·—+—=lC.—+—=1-16_4

8616684

、丿

23.(2022全国高三专题练习）与椭圆—+i-＝1共焦点且过点P(2,l)的双曲线的标准方程是（

129

2

Xxy2y

A.上-y2=lB.一－y2=1C.--—=ID.X-—=l

42332

飞X、丿

24.(2022全国高三专题练习（文））椭圆.::__+~=l与－－＋~=l(O<k<9)关系为（

2599-k25-k

A.有相等的长轴长B.有相等的离心率

c.有相同的焦点D.有相等的焦距

22

25.(2022全国高三专题练习）过椭圆土a2.+S--b2=I(a>b>0)的左焦点E作X轴的垂线交椭圆千点P'Fi为

右焦点，若乙F;PF;=45°,则椭圆的离心率为（)

五五：

..AB.迈－1C.1-D.✓2

22

22

26.(2022全国高三专题练习）如图，已知椭圆上+~=l(a>b>0),F,、庄分别为椭圆的左、右焦点，A

a2b2

为椭圆的上顶点，直线A几交椭圆千另一点B,若乙F1AB=90°,则此椭圆的离心率为（)

µ

A

-

-V

l

$&D一

A.-B.C.2

42—2

22

27.(2022全国高三专题练习）已知F1,压分别是椭圆兰＋-?z=l(a>b>O)的左、右焦点，若椭圆上存在点P,

ab2

使乙F1PF2=90°，则椭圆的离心率e的取值范围为()

(,(,五-

Ac0U

25B.［享，1)

-

--

-

.2D.[~,1)

22

Xy嘉

28.(2022·全国高三专题练习）已知椭圆C.—+—=l(a>b>0)的离心率为—，直线ax-by=O与圆

a-b23

I

M:x2+y仁mx+—=0相切，则实数m的值是（)

4

A.土lB.士2

C.土4D.士8

29.(2022全国高三专题练习（文））已知E，启是椭圆一＋.:;.=l(a>b>O)的左右焦点，椭圆上一点M满

矿b2

足：MFi=2MF2,LFiMF2=60",则该椭圆离心率是（)

l-35-2$_3

Al-BcD

2

X22

30.(2022全国高三专题练习）已知椭圆C:—a2.+?i-=b2l(a>b>O)的左、右焦点分别是F;'F2,直线y=kx与

椭圆C交千A,B两点，I心l=3IBF;|，且乙F;AF2=60°,则椭圆C的离心率是（)

A.工B.立c.23

l6416D.i

22

31.(2022全国高三专题练习（理））双曲线上＿土司上一点P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦

6416

点的距离为()

A.20B.16c.12D.8

32.(2022全国高三专题练习）已知F;'启是双曲线C的两个焦点，P为双曲线上的一点，且

IPF;I=2jPF2I=IP"iF2|；则C的离心率为（)

A.1B.2C.3D.4

33.(2022·全国高三专题练习）已知双曲线;-?z-=l(a>O,b>O)的左右焦点为只，启，过片的直线交双曲线

(lb2

4

右支千A,B,若面f面~=0'且COSLF;AF•2＝一5，则双曲线的离心率为（)

3§而

A.-./2B.-C·-D.

2—2

34.(2022全国高三专题练习（文））已知双曲线C:X三~=1的一个焦点为(—2,0)，则双曲线C的一条

b2

渐近线方程为（)

A.x+✓3y=0B.✓3x+y=0

C.x+2y=0D.2x+y=0

2x2

35.(2022全国高三专题练习）已知双曲线的方程为L-—=l'则下列关于双曲线说法正确的是（)

49

A.虚轴长为4B.焦距为2$

而

c.离心率为——D.渐近线方程为2x士3y=O

3

22

X

36.(2022·全国高三专题练习）已知双曲线—-i=l(a,b>O)的一条渐近线方程为y=✓3x'它的焦距为2,

矿b2

则双曲线的方程为（)

立2

4y24y2cx2_ly

A—-4x2=IB.4x2-—=l3_D.—-x2=1

3