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文档简介
第35讲圆锥曲线基础过关小题
【知识点总结】
一.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等千常数2a(2a>IF/2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做
椭圆的焦点,俩焦点的距离叫做椭圆的焦距,记作2c,定义用染合语言表示为:
{P11PF,I+IPF2I=2a<2a>IF/2乍2c>0)}
注明:当2a=2c时,点的轨迹是线段;
当2a<2c时,点的轨迹不存在
二.椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质
焦点的位
焦点在x轴上焦点在y轴上
置
BI
图形
B,
x2.II.x2-
标准方程下了=l(a>b>O)于了=l(a>b>O)
aa
统一方程mx2+nl=l佃>0,n>O,m-:/c-n)
参数方程{x=acosO,0为参数(OE[0,2忒){x=acosO,0为参数(OE[O,2吵
y=bsin0y=bs:inO
第一定义1到两定点Fl、F2的距离之和等千常数2a,即IMF1I+IMF2~2a(2a>IF/2I)
范围I—a:,;x:,;a且—b:;;y立b-bsXsb且-asysa
A1(-a,o)、A2(a,0)A1(o,-a)、A2(O,a)
顶点
B1(o,-b)、82(0,b)B1(-b,O)、B2(b,0)
轴长长轴长=2a短轴长=2b1长轴长=2a短轴长=2b
对称性关千x轴、y轴对称,关千原点中心对称
焦点IF1(-c,o)、F2(c,0)凡(0,-c)、乌{0,c)
焦距厚I=2c妒=a2-b2)
离心率e=:=`尸=勹(0<e<1)
点和椭圆
』fa'+卫fb'1l<o点U。,y。)在椭圆上内-,,a.'+.-iI}•=<1~点(x。,y。)在椭圆上内
的关系{『|1『
通径过焦点且垂直千长轴的弦叫通径:通径长=2一b2(最短的过焦点的弦)
a
设直线与椭圆的两个交点为从xI,"yI)'B妏2'y✓2)''k"AB=k,
则弦长IABl=✓I了了伈—x2|=五了了他—X2)2—4x1x2
弦长公式
=厂沪(yI-y)2-4y!丿3=汇了垒
laI
(其中a是消y后关千x的一元二次方程的x2的系数,A是判别式)
三、双曲线的定义
平面内与两个定点Fl,F2的距离的差的绝对值等于常数(大千零且小千IF1F2|)的点的轨迹叫做双曲线
(这两个定点叫双曲线的焦点).用集合表示为
{M111MFl1-1MF211=2ac0<2a<f/2r}
注(1)若定义式中去掉绝对值,则曲线仅为双曲线中的一支.
(2)当2a=IF心1时,点的轨迹是以Fl和F2为端点的两条射线;当2a=0时,点的轨迹是线段FIF2的垂
直平分线
(3)2a>IF/2时,点的轨迹不存在
在应用定义和标准方程解题时注意以下两点:
@条件”1擘>2a“是否成立;@要先定型(焦点在哪个轴上),再定械(确定a气b2的值),注意az+b2=c2
的应用
四、双曲线的方程、图形及性质
双曲线的方程、图形及性质
标准方X2/;lx2
—-—=1妇>O,b>0)—-—=1妇>O,b>0)
程a2b2a2b2
a
y_x
_-b
图形x
a
y=--X
b
焦点坐
F,(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)
标
对称性关于X,y轴成轴对称,关千原点成中心对称
顶点坐
A1(-a,O),A2妇,0)A1(0,a),A2(0,-a)
标
范围I叶~a叶江
实轴、
实轴长为2a,虚轴长为2b
虚轴
离心率e=:=门妇>1)
Ix2
渐近线令—x2--~I=0"⇒y=士'-bX,令___-=0⇒y=士立X,
a2片aa2片b
方程
焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为b
点和双>1,点(x。,y。)在双曲线内>l,点(x。,y。)在双曲线内
曲线ff(含焦点部分)三_立{(含焦点部分)
的位置了了{=l,点(x。,y。)在双曲线上a2片=1,点(x。,y。)在双曲线上
关系<1,点(x。,y。)在双曲线外<l,点(x。,y。)在双曲线外
共渐近
线的双X2fyx2
———=入饥#0)———=A饥#0)
曲线方a2b2a22b2
程
设直线与双曲线两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),KAB=k.
则弦长IAB|=汇了卜I-X2=尸:化-y21贮O)'
弦长公
式
x1—X2|=J(x1飞)2—仇X2=抎,其中“a“是消'y”后关千“X"的一
1叶
元二次方程的"f”系数
2b2
通径1通径(过焦点且垂直千FF1-2的弦)是同支中的最短弦,其长为一
a
五、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l仔茫])的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫抛物线的焦
点,定直线1叫做抛物线的准线.
注若在定义中有FE.!,则动点的轨迹为1的垂线,垂足为点F.
六、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式:I=2px,J=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0),其中一次项与对称轴一
致,一次项系数的符号决定开口方向(如表10-3所示)
表10-3
标准
y2=2px(p>0)I=-2px(p>0)x2=2py(p>0)入,2=-2py(p>0)
方程
yV
图形。x。
X
对称
x轴y轴
轴
顶点原点(0,0)
P
焦点0i、丿
譬,0)(-P._,0)2_(0,-鸟
坐标22
p-2p-2P-2
准线x__y__y__
方程1x=-§
三、抛物线中常用的结论
1点p(x。,y。)与抛物线I=2px(p>0)的关系
(I)p在抛物线内(含焦点)-疗<2px。
(2)p在抛物线上-式=2px矿
(3)p在抛物线外<=:>J{>2px矿
2.焦半径
抛物线上的点P丸,Yo)与焦点F的距离称为焦半径,若I=2px(p>0),则焦半径IPFl=x。十f,
|PF|=2.
max2
3.p(p>0)的几何意义
p为焦点F到准线l的距离,即焦准距,p越大,抛物线开口越大
4.焦点弦
若AB为抛物线I=2px(p>0)的焦点弦,A仇,y1),B仇,y2),则有以下结论:
p2
(I)XX1··2,=—4.
(2)Y1Yz=-p2.
(3)焦点弦长公式1:IABI=x1+x2+p,x1+x2~2.,fa了:=p,当XI=X2时,焦点弦取最小值2p'
即所有焦点弦中通径最短,其长度为2p.
2p
焦点弦长公式2:jABI=(a为直线AB与对称轴的夹角).
s沪a
p2
(4)~AOB的面积公式:SMOB=位为直线AB与对称轴的夹角).
2s叩a
【典型例题】
例1.(2022全国高三专题练习)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为+,它的长轴长等千圆C:x2+y2-
这-15=0的半径,则椭圆的标准方程是()
22
A.—+—=IB.~+L=I
4343
y2f
C.三十L=lD.--+-=l
4242
例2.(2022全国高三专题练习)已知曲线C:mx2+ny2=I,下列结论不正确的是()
A.若m>n>O,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若m=n>O,则C是圆,其半径为石
C.若mn<O,则C是双曲线,其渐近线方程为y=气Pfx
D.若m=O,n>O,则C是两条直线
例3.(2022黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期末(文))等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与
抛物线y2=8占x的准线交于A、B两点,IABl=4✓3,则C的实轴长为()
A.2拉B.4拉C.4D.8
22
(多选题)例4.(2022全国高三专题练习)已知双曲线C::—~=l(a>O,b>0),右顶点为A,以A为
矿b2
圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点,若乙MAN=60°,则有()
$3五
A.渐近线方程为y=士—-XB.e=
32
2$
C.e=-—D.渐近线方程为y=土五x
3
(多选题)例5.(2022·全国高三专题练习)以下说法正确的是()
2_2
A.椭圆土+L=l的长轴长为4,短轴长为2✓3
43
2
B.离心率为-的椭圆较离心率为-的椭圆来得扁
32
22
c.椭圆上+L=l的焦点在X轴上且焦距为2
34
22
D.椭圆土+L=l的离心率为上
43
(多选题)例6.(2022全国高三专题练习)若椭圆C:—+——-=1的一个焦点坐标为0),1},则下列结
mm—l(
论中正确的是(
✓3
A.m=2B.C的长轴长为✓3C.C的短轴长为✓2D.C的离心率为__
3
(多选题)例7.(2022全国高三专题练习)已知F1,庄分别是双曲线C:y2-x2=l的上、下焦点,点P
是其一条渐近线上一点,且以线段F1压为直径的圆经过点P,则()
A.双曲线C的渐近线方程为y=虹
B.以F心为直径的圆的方程为x2+y2=I
C.点P的横坐标为土l
D.丛PF心的面积为拉
(多选题)例8.(2022·全国高三专题练习)已知中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆i+上-=1
94
有相同的焦距,且一条渐近线方程为x-2y=0,则双曲线C的方程可能为()
222
X22yy2X
A.—-y2=1B.X-—=lC.—-x2=lD.y-—=1
4444
例9.(2022·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三期末(文))过抛物线y2=4x焦点F的直线l交抛物线千A,B两
点,若两点的横坐标之和为5,则IABI=_.
例10.(2022全国高三专题练习)已知椭圆—a2+.~=b2l(a>b>0)的左、右焦点分别为斤、F2'若椭圆上的
点P满足PF2上x轴,IPF.I=2IPF2I'则该椭圆的离心率为.
【技能提升训练】
一、单选题
I.(2022全国高三专题练习(文))已知P为椭圆上千—=1上一点,若P到一个焦点的距离为I,则P到
94
另一个焦点的距离为()
A.3yB.5C.8D.12
2.(2022全国高三专题练习)已知椭圆C:_;+?,a2.b2=l(a>b>0)的左右焦点分别是只,F2'椭圆上任意一
点到E,尽的距离之和为4,过焦点启且垂直于X轴的直线交椭圆C千A,B两点,若线段AB的长为3,
则椭圆C的方程为()
xxy2x2y
A.x2十~=1B.一+y2=1C.-+—=1D.—+—=l
334332
2
3.(2022全国高三专题练习)已知oABC的顶点B,C在椭圆上+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且
3
椭圆的另外一个焦点在BC边上,则oABC的周长是()
A.2$B.6C.4D.4✓3
X
4.(2022全国高三专题练习(文))已知椭圆—a2+~=.b2l(a>b>O),F1,庄分别为椭圆的左、右焦点,若
椭圆上存在一点P,使得IPF;I-IPF;i=2b,则该椭圆离心率的取值范围为()
l-2l-2
A(。』』B'')五J
,C.(0,—]D.[—,1)
22
5.(2022全国高三专题练习)设P是椭圆~+f=i上的点.若R,F2是椭圆的两个焦点,则IPF;l+IPFz|等
2516
千
A.4B.5C.8D.10
6.(2022浙江高三专题练习)若动点M(x,y)始终满足关系式Jx丘(y+2)2+Jx2+(y—2)2=8,则动点M
的轨迹方程为()
22222222
X,yX.YXyXy
A.—+—=1B.-+—=lc.D.—-—=1
16121216--—1216=11612
7.(2022全国高三专题练习)设圆(x+I)2+y2=25的圆心为C,点Ato)是圆内一定点,点Q为圆周上任一
点,线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交千点M,则点M的轨迹方程为()
4x24y24x24y2
A.—-—=lB.—+—=1
21252125
4x24/4x24y2
c.—-—=1D.—+---=1
25212521
x2y2l
8.(2022·全国高三专题练习)已知椭圆C:——-+=l(a>b>0)的左、右焦点分别为F;'F2'离心率为-,
a2b22
过片的直线与椭圆C交于A,B两点.若aF;AB的周长为8,则椭圆方程为()
2222
x-.yX
A.—+—=lB.—+L=l
431612
2
XXy
C-+y2=lD..:.:....+.:::.._=1
242
22I
9.(2022全国高三专题练习)设凡,启是椭圆上+L_=l的两个焦点,P是椭圆上一点,且cos乙F;PF2=—.
12243
则MF;F2的面积为()
A.6B.6五C.8D.8.J2
22
10.
(2022浙江高三专题练习)已知E、E是椭圆C:~+~=a2.b2l(a>b>O)的两个焦点,P为椭圆C上的
一点,且丙气上丙:若6P~F2的面积为9,则b=()
A.2B.3C.4D.5
11.(2022全国高三专题练习)已知只,片是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若以F;Fi为直径的圆
过点P,且4PF汛=2LPF;F2,则C的离心率为()
✓3J3-I
A.I-—B.✓3-1C.D.2-✓3
22
12.(2022全国高三专题练习)如果方程x勹矿=2表示焦点在Y轴上的椭圆,那么实数K的取值范围是
()
I
、
c(~
A.{I,如)B.(1,2).-2,D.(0,1)
13.(2022全国高三专题练习)下列四个椭圆中,形状最扁的是()
x2.y21nx2.y21rsxi.Yiy-'r,.,-r-xx2.-'yy2
A.—+—=1B.——+=lC.—+—=lD.—+—=l
209201020112012
22
X
)4.(2022重庆模拟预测)已知椭圆C.—+L=l的一个焦点坐标为(2,0),则m=(
5m)
A.IB.2c.5D.9
15.(2022全国高三专题练习)若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程
为()
22
XX
A.—+y=lB.~+y2=1
54
x2入_22
C.—+y2=1或—+~=lD.以上答案都不正确
545
22
16.(2022·全国高三专题练习)已知椭圆E::+义-=l(a>b>O)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆
矿b2
千A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆E的方程为()
22222222
X.yX.y
A.工十L=lB.上+2'._=lC.-+-=lD.—+—=l
453636272718189
22
X
17.(2022全国高三专题练习)过点(一3,2)且与--+上·=1有相同焦点的椭圆方程是()
94
2222
x-'yX.Y
A.—+—=lB.—+—=l
15101015
22
X.y
c.—+—=1D.~+L=l
925IOS
34
18.(2022浙江高三专题练习)已知椭圆过点P(-:-,-4)和点Q(-一,3),则此椭圆的标准方程是()
55
2y2入,2
A.x2十L=IB.x2+—=1或—+y2=l
252525
2
X2
C.—+y=ID.以上都不对
25
22
19.(2022浙江高三专题练习)已知点M(3,五;是椭圆上+fi-=1(a>b>O)上的一点,椭圆的长轴长
()矿b2
3
是焦距的-倍,则该椭圆的方程为()
2
22222
A.—X+,—y=1B·—X+y-1-
25202745
X2y2X2y2
c.—+—=1D.—+—=l
18103620
2
X2.y2'I-.,_.I\\l,X~+..t:(I✓3
20.(2022全国高三专题练习)已知椭圆C:丁f=l(a>b>O)经过,占、(了),且C的离心率为½,
则C的方程是()
x2-y2X?y'
A.-+—=lB.—+—=1
4386
X2y2X2y2
C.—+-=lD.—+—=l
4284
21.(2022上海高三专题练习)若椭圆的焦点在X轴上,焦距为2森,且经过点(✓3,✓2)'则该椭圆的标准
方程为
2x_立
2222勹?
Xx-.yy.x-D+
l-
._
A.L+—=lB.—+--=1c.—+--=193
9336123612
22.(2022全国高三专题练习)一个椭圆中心在原点,焦点肛启在X轴上,P(2,.J句是椭圆上一点,且IPF,|、
IF;F2|、|PF2I成等差数列,则椭圆方程为()
2x2y
222222
x-.yX.YxyD+=l
A.—+--=lB·—+—=lC.—+—=1-16_4
8616684
、丿
23.(2022全国高三专题练习)与椭圆—+i-=1共焦点且过点P(2,l)的双曲线的标准方程是(
129
2
Xxy2y
A.上-y2=lB.一-y2=1C.--—=ID.X-—=l
42332
飞X、丿
24.(2022全国高三专题练习(文))椭圆.::__+~=l与--+~=l(O<k<9)关系为(
2599-k25-k
A.有相等的长轴长B.有相等的离心率
c.有相同的焦点D.有相等的焦距
22
25.(2022全国高三专题练习)过椭圆土a2.+S--b2=I(a>b>0)的左焦点E作X轴的垂线交椭圆千点P'Fi为
右焦点,若乙F;PF;=45°,则椭圆的离心率为()
五五:
..AB.迈-1C.1-D.✓2
22
22
26.(2022全国高三专题练习)如图,已知椭圆上+~=l(a>b>0),F,、庄分别为椭圆的左、右焦点,A
a2b2
为椭圆的上顶点,直线A几交椭圆千另一点B,若乙F1AB=90°,则此椭圆的离心率为()
µ
A
-
-V
l
$&D一
A.-B.C.2
42—2
22
27.(2022全国高三专题练习)已知F1,压分别是椭圆兰+-?z=l(a>b>O)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,
ab2
使乙F1PF2=90°,则椭圆的离心率e的取值范围为()
(,(,五-
Ac0U
25B.[享,1)
-
--
-
.2D.[~,1)
22
Xy嘉
28.(2022·全国高三专题练习)已知椭圆C.—+—=l(a>b>0)的离心率为—,直线ax-by=O与圆
a-b23
I
M:x2+y仁mx+—=0相切,则实数m的值是()
4
A.土lB.士2
C.土4D.士8
29.(2022全国高三专题练习(文))已知E,启是椭圆一+.:;.=l(a>b>O)的左右焦点,椭圆上一点M满
矿b2
足:MFi=2MF2,LFiMF2=60",则该椭圆离心率是()
l-35-2$_3
Al-BcD
2
X22
30.(2022全国高三专题练习)已知椭圆C:—a2.+?i-=b2l(a>b>O)的左、右焦点分别是F;'F2,直线y=kx与
椭圆C交千A,B两点,I心l=3IBF;|,且乙F;AF2=60°,则椭圆C的离心率是()
A.工B.立c.23
l6416D.i
22
31.(2022全国高三专题练习(理))双曲线上_土司上一点P到一个焦点的距离为4,则P到另一个焦
6416
点的距离为()
A.20B.16c.12D.8
32.(2022全国高三专题练习)已知F;'启是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上的一点,且
IPF;I=2jPF2I=IP"iF2|;则C的离心率为()
A.1B.2C.3D.4
33.(2022·全国高三专题练习)已知双曲线;-?z-=l(a>O,b>O)的左右焦点为只,启,过片的直线交双曲线
(lb2
4
右支千A,B,若面f面~=0'且COSLF;AF•2=一5,则双曲线的离心率为()
3§而
A.-./2B.-C·-D.
2—2
34.(2022全国高三专题练习(文))已知双曲线C:X三~=1的一个焦点为(—2,0),则双曲线C的一条
b2
渐近线方程为()
A.x+✓3y=0B.✓3x+y=0
C.x+2y=0D.2x+y=0
2x2
35.(2022全国高三专题练习)已知双曲线的方程为L-—=l'则下列关于双曲线说法正确的是()
49
A.虚轴长为4B.焦距为2$
而
c.离心率为——D.渐近线方程为2x士3y=O
3
22
X
36.(2022·全国高三专题练习)已知双曲线—-i=l(a,b>O)的一条渐近线方程为y=✓3x'它的焦距为2,
矿b2
则双曲线的方程为()
立2
4y24y2cx2_ly
A—-4x2=IB.4x2-—=l3_D.—-x2=1
3
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