2021-2022学年浙江省舟山市定海区七年级下学期期末考试 数学 试题（学生版+解析版）

浙江省舟山市定海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

一、选择题

X

1.若分式X—3有意义，则X的取值范围是（）

A./3B.x<3C.x>3D./3且*0

2.新冠肺炎病毒颗粒呈圆形或椭圆形，其直径在大约0.00000013米.数据0.00000013用科记数法可以表

示为（）

A.O.lSxW6B.1.3x10〃C.1.3x10-8D.13x10-8

3.下列调查中，适合采用抽样调查方式是（

A.了解普陀山附近的水质情况B.了解定海区某学校师生进行新冠肺炎核酸检测情

况

C.检测神州十四号飞船的零部件质量D.了解定海区某校九年级的中考数学成绩

4.下面的多项式中，能因式分解的是（）

A.w2+lB.m2+n2C.m2-1D.m+n2

5.下列计算正确是（）

A./+/=a7326

B.a.a=a

C.（tz3）2=abD.（a/?）'=ab4

x=2

6.若《，是关于X、y的方程X—ay=-l的一个解，则a的值为（）

[y=i

A.3B.-3C.1D.-1

7.三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在尸。的延长线上，点B在ED

上，AB//CF,ZF=ZACB=90°,NE=45。，ZA=60°.则NC8O的度数是（）

E

FDC

A.10°B.15°C.20°D.25°

8.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱，某特许零售店准备3购进

一批吉祥物销售.已知用300元购进“冰墩墩”的数量与用250元购进“雪容融”数量相同，已知购进

“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元,设购进“雪容融”的单价为x元，则列出方程正确的是

()

300250300250C300250D300250

A.——=——+10B.——=--------

xxxx+10x+10xxx-10

9.如图，直线4，乙表示一条河的两岸，且4〃4现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂

直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（）

io.根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查.已知金塘

收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变

的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下

收费出口编号①，②②，③③，④④，⑤⑤，①

通过汽车数量（辆）8010070130120

则下列说法错误的是：（）

A.①出口1小时通过汽车的数量最少；

B.⑤出口1小时通过汽车的数量最多；

C.②出口1小时通过汽车数量是④出口的两倍：

D.①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量.

二、填空题

Q—2

11.若分式——值为0,则“的值为.

a

12.因式分解：b2-2b=.

13.已知某组数据的频数为63,样本容量为90,则频率为一.

14.方程2x+y=8中，用含x的代数式表示九则，=.

15.计算：+出?）+出?=.

16.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单

位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列

方程组为.

17.如图，三种不同类型的长方形砖长宽如图所示，现有A类1块，B类6块，C类9块，小明用这16块

地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小明拼成的正方形边长是.

mmn

IX+777

18.若关于x的方程——+——^=2有增根，则，*的值是.

x-22-x

19.公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球

圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，

在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为N1,光线与B城和地心的连线。。重合，通过测

量A,8两城间的路程（即弧AB）和N1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来

了.已知弧AB的长度约为800km,若N1M.2。，则地球的周长约为km.

a111

20.已知q=X+1(XN0,且xw-1),a2=-----,a3=----------,a„=------•若氏叱的值为2022,

[-4]一%"

则x的值为.

三、解答题

21.计算下列各式的值：

(1)3-1+2022°+(-1)2

(2)(x+2)(%—2)—(x—1)'

22.解方程（组）

x-y=3

(1)

2x+y=9

2x-31

x+63

4x2

23.化简:

X2-4X-2

言言同学的解答如下:

4x2

4x—2(x+2)=2x+4

x2-4x-2

言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.

24.希腊著名哲学家泰勒斯最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180。”，之后古希腊数学家欧几里

得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学们帮助欧几里得将证明过程

补充完整.

已知：如图，在A4BC中，求证：/A+NB+/8cA=180。

证明：延长线段BC至点凡并过点C作CE〃AB.

■：CE//AB（己作），

=Z1（两直线平行，内错角相等），

=/2（两直线平行，同位角相等）.

,/（平角的定义），

.../A+/B+/8cA=180。（等量代换）.

25.某校组织了一次环保知识竞赛，九年级每班选相同数量同学参加比赛，成绩记为A、B、C、。四个等

级.小明帮助学校老师将901班和902班同学的成绩进行整理并绘制成如下的统计图表，但忘记绘制901

班C等级同学成绩，只记得901班B等级人数是902班。等级人数的3倍.

901班环保知识竞赛成绩统计图902M环保知识竞赛成绩统计图

(1)求出902班。等级的人数为多少人？

(2)请你算出901班的总人数，并补全条形统计图；

(3)若记A、8等级为优秀，请你计算说明哪个班级的成绩更优秀？

26.舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进

入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明.根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一

次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训.经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且

甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟.

(I)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？

(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班机人，8八年级有6个班，每班

“人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求相和〃的值；

(3)该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下，

有哪几种分装方案？

27.我国著名数学家曾说：数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合思想是解决问题的有效途径.请

阅读材料完成：

(1)算法赏析：若x满足(1一%)(%-5)=2,求(1—x『+(x—5)2的值.

解：设(1一x)=a,(x-5)=。,则(1一x)(x—5)="6=2,a+匕=(1一x)+(x-5)=-4

(1-x)2+(x-5)2=cr+b2...

请继续完成计算.

(2)算法体验：若x满足(30-月(％-20)=-580,求(30—xy+(x—20)2的值；

(3)算法应用：如图，已知数轴上A、B、C表示的数分别是〃八10、13.以AB为边作正方形ABOE,以

AC为边作正方形4CFG,延长EO交FC于P.若正方形4cFG与正方形面积的和为117,求长方

形AEPC的面积

浙江省舟山市定海区2021-2022学年七年级下学期期末数学试题

一、选择题

X

1.若分式X—3有意义，则X的取值范围是（）

A./3B.x<3C.x>3D./3且*0

【答案】A

【解析】

【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，计算即可.

【详解】解：由题意得：x-3知，

解得：/3,

故选：A.

【点睛】此题考查分式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义.

2.新冠肺炎病毒颗粒呈圆形或椭圆形，其直径在大约是0.00000013米.数据0.00000013用科记数法可以

表示为（）

A.0.13X10-6B.1.3x10-7C.1.3x10-8D.13xl0-8

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中号同<10,〃为整数.确定〃的值时，要看把原数

变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.

【详解】解：0.00000013=1.3xlO-7.

故选:B.

【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中此同<10,〃

为整数，表示时关键要确定〃的值以及〃的值.

3.下列调查中，适合采用抽样调查方式的是（）

A.了解普陀山附近的水质情况B.了解定海区某学校师生进行新冠肺炎核酸检测情

况

C.检测神州十四号飞船的零部件质量D.了解定海区某校九年级的中考数学成绩

【答案】A

【解析】

【分析】根据普查和抽样调查的特点解答即可.

【详解】解：A.了解普陀山附近的水质情况，应采用抽样调查，符合题意；

B.了解定海区某学校师生进行新冠肺炎核酸检测情况，应采用普查，不符合题意；

C.检测神州十四号飞船的零部件质量应采用普查，不符合题意；

D.了解定海区某校九年级的中考数学成绩应采用普查，不符合题意.

故选A.

【点睛】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特

征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调

查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查.

4.下面的多项式中，能因式分解的是（）

A.w2+lB.m1+n2C.m1-1D.m+n2

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案.

2

【详解】解：A.m+b不能因式分解，故本选项不合题意；

B.nr+n^不能因式分解，故本选项不合题意；

C.nr-l，能因式分解，故本选项符合题意；

D.根+〃2,不能因式分解，故本选项不合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键.

5.下列计算正确的是（）

A.ex'+a4=a，B.a3-a2=ab

C.（673）2=a（'D.（ab）*=ab*

【答案】C

【解析】

【分析】根据合并同类项、同底数幕乘法以及塞的乘方、积的乘方运算法则逐项计算即可.

【详解】A、/和/不是同类项，不能合并，故该选项错误；

B、a3-a2=a3+2=a5＞故该选项错误；

C、（/）2=.3*2=/正确，故该选项正确；

D、（ab）4=a4b4,故该选项错误;

故选：C.

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幕乘法以及幕的乘方、积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关

键.

x=2

6.若11是关于％、y的方程x一欧二一1的一个解，则〃的值为（）

A.3B.-3C.1D.-l

【答案】A

【解析】

【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出。的值.

详解】解：把《，代入方程x-ay=-\,

y=l

得2-.=-1,

解得a=3.

故选：A.

【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程组的解即为能使方程成立的未知数的值.

7.三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在尸。的延长线上，点3在EZ）

上，AB//CF,NF=NACB=90°,NE=45。,NA=60。，则NC8D的度数是（）

E

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】先根据三角形内角和等于180。求出NA8C和NEQF的度数，再根据平行线的性质可得

ZABD=ZEDF,利用角的和差即可求出的度数.

【详解】:△ABC中，ZACB=90°,ZA=60°,

ZABC=180o-90O-60o=30°.

:△OE尸中，NF=90°,ZE=45°,

，ZEDF=180o-90°-45o=45°.

'：AB//CF,

：.ZABD=ZEDF=45°.

：.ZCBD=ZABD-ZABC

=45°-30°

=15°.

故选B

【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理和平行线的性质，掌握三角形内角和定理和平行线的性质定

理是解题的关键.

8.2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外朋友的喜爱，某特许零售店准备3购进

一批吉祥物销售.已知用300元购进“冰墩墩”的数量与用250元购进“雪容融”数量相同，已知购进

“冰墩墩”的单价比“雪容融”的单价多10元,设购进“雪容融”的单价为x元，则列出方程正确的是

)

300250300250「300250300250

A.——=——+10B.——=------C.-----=---D.——=-----

xxxx+10x+10xxx-10

【答案】c

【解析】

【分析】根据购进吉祥物“冰墩墩''和"雪容融”单价之间的关系可得出购进“冰墩墩”的单价为（x+10）元,

利用数量=总价+单价，结合用300元购进“冰墩墩”的数量与用250元购进“雪容融”数量相同，即可得出关

于x的分式方程，此题得解.

【详解】解：••・购进“冰墩墩”的单价比“雪容融''的单价多10元，且购进“雪容融”的单价为x元,

购进“冰墩墩''的单价为Q+10）元.

300250

依题意得:

x+10x

故选：C.

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

9.如图，直线4表示一条河的两岸，且现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂

直），使得从村庄尸经桥过河到村庄。的路程最短，应该选择路线（）

Q

路找:PE-EQ

路段：PE—EF—FQ路统：PE-EF—FQ,

【答案】c

【解析】

【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP为平行四边形即可，即PP垂直河岸且等于河宽，接连P'Q

即可.

【详解】解：作尸P垂直于河岸3使尸P'等于河宽，

连接QP'，与另一条河岸相交于尸，作直线小于点E,

则EF〃P产且EF=PP',

于是四边形FEPP为平行四边形，故P'F=PE,

根据“两点之间线段最短”，QP最短，即PE+F。最短.

故C选项符合题意，

故选：C.

【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，要利用“两点之间线段最短“，但许多实际问题没这么简单，需

要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题.目前，往

往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化.

10.根据舟山市政府疫情防控要求，所有进入舟山车辆要在金塘服务区下高速，接受防疫检查.已知金塘

收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口，假定各收费出口每小时通过的车流量是不变

的，同时开放其中两个收费出口，统计这两个出口1小时一共通过的汽车的数量记录如下

收费出口编号①，②②，③③，④④，⑤⑤，①

通过汽车数量（辆）8010070130120

则下列说法错误的是：（）

A.①出口1小时通过汽车数量最少;

B.⑤出口1小时通过汽车的数量最多；

C.②出口1小时通过汽车的数量是④出口的两倍：

D.①和④出口1小时通过汽车的数量之和等于③出口1小时通过的汽车数量.

【答案】D

【解析】

【分析】设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为。

辆、匕辆、c辆、"辆、e辆.根据表格中的数据列出方程组并解答.

【详解】解：设金塘收费站出口有编号为①，②，③，④，⑤的五个收费出口每小时通过车的数量分别为

4辆、b辆、c辆、"辆、e辆，

a+。=80

b+c-100

根据题意，得（c+d=70.

"+e=130

a+c=120

a=25

b=55

解得<c=45.

J=25

e=105

所以a=d〈cV〃Ve,b>2d,a+d>c.

所以①④出口1小时通过汽车的数量最少，⑤出口1小时通过汽车的数量最多，②出口1小时通过汽车的

数量大于④出口的两倍，①和④出口1小时通过汽车的数量之和大于③出口1小时通过的汽车数量.

观察选项，只有选项D符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查多元一次方程组，解题的关键的读懂题意，找到等量关系，列出方程组.

二、填空题

Q—2

11.若分式——值为0,则“的值为.

a

【答案】2

【解析】

【分析】根据分式的值为0的条件（分子为0,分母不为0）解决此题.

详解】解：由题意可得：a—2=0,awO,解得。=2,

故答案为:2.

【点睛】本题主要考查分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0的条件是解决本题的关键.

12.因式分解：b2-2b=.

【答案】b(b-2)

【解析】

【分析】用提公因式法分解即可.

【详解】解：b2-2b=b(b-2)；

故答案为：帅-2)；

【点睛】此题主要考查了提公因式法因式分解，解题的关键是找准公因式.

13.已知某组数据的频数为63,样本容量为90,则频率为一.

【答案】0.7

【解析】

【分析】根据频率=频数+总数，求解即可.

【详解】这组数据的频率63+90=0.7,

故答案：0.7.

【点睛】本题考查了频率的计算公式，解答本题的关键是掌握公式：频率=频数+总数.

14.方程2x+y=8中，用含X的代数式表示九则'=.

【答案】8-2%

【解析】

【分析】把含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边即可.

【详解】解：2x+y=8,

移项，得y=8-2x.

故答案:8-2%.

【点睛】此题主要考查将方程通过移项、系数化为1等方法，比较简单.

15.计算：++.

【答案】3a答+1

【解析】

【分析】根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计

算.

【详解】解：（3。2/+,心）+。匕=3。/+1；

故答案为：3ab~+1;

【点睛】本题主要考查多项式除以单项式运算，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键.

16.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单

位）；马二匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列

方程组为.

4x+6y=48

【答案】＜

2x+5y=38

【解析】

【分析】根据等量关系列出方程即可.

4x+6y=48

【详解】解：设马每匹X两，牛每头）'两，根据题意可列方程组为：1°'

[2x+5y=38

4x+6y=48

故答案是：

2x+5y=38

【点睛】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题，正确找出等量关系是解题的关键.

17.如图，三种不同类型的长方形成长宽如图所示，现有A类1块，B类6块，C类9块，小明用这16块

地砖拼成一个正方形（不重叠无缝隙），那么小明拼成的正方形边长是

mmn

【答案】m+3n

【解析】

【分析】根据题意得这16块地砖拼成的正方形的面积为：，"2+6团〃+9〃2=（加+3〃）2,即可得.

【详解】解：这16块地砖拼成的正方形的面积为：m2+6mn+9n2=（m+3n）2,

则正方形的边长为：m+3n,

故答案为：m+3n.

【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式.

IY4-

18.若关于x的方程——+---=2有增根，则根的值是.

x-22-x

【答案】-1

【解析】

【分析】利用分式方程解法的一般步骤解分式方程，令方程的解为2得到关于，〃的方程，解方程即可得出

结果.

【详解】解：去分母得：1-(x+/M)=2(厂2),

去括号得：1-X-〃?=2.L4,

移项，合并同类项得：-3x=m-5,

5-m

••X—■

3

ir4-

••・关于X的方程：—m=2有增根，

x—22-x

.*.x=2

•.•5-m一4,

3

故答案为：T.

【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程的增根，理解分式方程增根的意义解答是解题的关键.

19.公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球

圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，

在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为N1,光线与2城和地心的连线。。重合，通过测

量A,B两城间的路程(即弧AB)和N1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来

了.已知弧AB的长度约为800km,若/1之7.2。，则地球的周长约为km.

【解析】

8()()x180

【分析】设地球的半径为，，根据平行线的性质和弧长公式可得出「=空匕」^,再根据圆的周长的公式

7.2〃

即可得出答案.

【详解】解：如图所示：设地球的半径为，

p

AC//OQ

.•.N1=NPOQ=7.2°

7.2仃

根据弧长公式可得:800=

180

800x180

贝|Jr=

7.2万

800x180

地球的周长约为2兀r=2万x=40000km.

7.2万

故答案为：40000.

【点睛】本题考查了圆的弧长公式、平行线的性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.

口111

20.已知q=x+l（x=0,且、工一1）,%=巨…，------若生。22的值为2022,

1一a„-\

则X的值为.

2022

【答案】------

2021

【解析】

【分析】把0代入S中计算得到结果，把42代入“3中计算得到结果，依次类推得到一般性规律，根据题

意确定出X的值即可.

【详解】解：把代入得；%=0=E

X

_1_1_X

3

把〃2=代入得：1—劣11X+1，

X21+一

X

11

把品代入得：%=匚*=^一二=广

X+131------

X+1

1Y

依次类推，结果以1+1,—,——循环，

XX+1

72022^3=674,

x

/.02022=----------=2022,

X4-1

去分母得：A=2022(X+1),

去括号得：x^2022x+2022,

2022

解得：x=一

2021

2022

故答案为：

2021

【点睛】此题考查了分式的混合运算，解一元一次方程，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是

解本题的关键.

三、解答题

21.计算下列各式的值:

(1)+2022。+(-1『

(2)(x+2)(x-2)-(x-l)2

7

【答案】(1)-

3

(2)2x-5

【解析】

【分析】(1)利用负整数指数累的意义，零指数基的意义，乘方的意义进行计算，即可得出答案;

(2)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可得出答案.

【小问1详解】

解：⑴3-,+2022°+(-1)2

1

=-+1+1

3

7

----

3，

【小问2详解】

解：(x+2)(x—2)—(x—1)'

22

=x-4-(x-2JC+1)

=x2-4-x2+2x-i

=2x-5.

【点睛】本题考查了负整数指数基，零指数累，有理数的乘方，平方差公式，完全平方公式，掌握负整数

指数累的意义，零指数幕的意义，乘方的意义，平方差公式，完全平方公式是解决问题的关键.

22.解方程(组)

x-y=3

2尤+y=9

⑵二」

x+63

尤=4

【答案】(1)

j=i

(2)x=3

【解析】

【分析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可:

(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.

【小问1详解】

x-y=3①

解：＜

2x+y=9②’

由①+②得：3x=12,

解得：x=4,

把户4代入①得：4-y=3,

解得：y=l,

x=4

则方程组的解为《

y=i

【小问2详解】

e2x-31_

解：------

x+63

去分母得：6x-9=x+6,

解得:x=3,

检验：把43代入得：3(x+6)知,

•••分式方程的解为m3.

【点睛】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键.

4x2

23.化简:

x~—4x—2

言言同学的解答如下:

4x2(x+2)=2x+4

x2-4x-2

言言同学的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答过程.

【答案】不正确，过程见解析

【解析】

【分析】先进行通分，再进行化简计算.

【详解】不正确.解答如下：

4x2

x2-4x-2

4x2(x+2)

x2-4x2-4

4x-2x-4

X2-4

2(x-2)

-(x+2)(x-2)

2

x+2

【点睛】本题考查分式的加减运算，解决本题的关键是正确通分及熟练应用平方差公式.

24.希腊著名哲学家泰勒斯最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于180。”，之后古希腊数学家欧几里

得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学们帮助欧几里得将证明过程

补充完整.

已知：如图，在A4BC中，求证：NA+NB+NBCA=I8O。

证明：延长线段8c至点尸，并过点C作CE〃AB.

•：CE//AB(已作)，

=N1(两直线平行，内错角相等)，

=/2(两直线平行，同位角相等).

,/(平角的定义)，

.•./A+NB+/BC4=180。（等量代换）.

【答案】NA；NB；Zl+Z2+ZBCA=180°

【解析】

【分析】根据平行线的性质得出/A=/l，ZB=Z2,再利用平角的定义即可证明.

详解】证明：延长线段8c至点F,并过点C作CE〃A8.

'：CE//AB（已作），

（两直线平行，内错角相等），NB=N2（两直线平行，同位角相等）.

•.•/l+N2+/BCA=180。（平角的定义），

ZA+NB+ZBCA=180°（等量代换）.

故答案为：ZA；ZB；Zl+Z2+ZBCA=180°.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用平行线的性质和判

定.

25.某校组织了一次环保知识竞赛，九年级每班选相同数量同学参加比赛，成绩记为A、B、C、。四个等

级.小明帮助学校老师将901班和902班同学的成绩进行整理并绘制成如下的统计图表，但忘记绘制901

班C等级同学成绩，只记得901班B等级人数是902班D等级人数的3倍.

901班环保知识竞赛成绩统计图902M环保知识竞赛成绩统计图

（1）求出902班。等级的人数为多少人？

（2）请你算出901班的总人数，并补全条形统计图；

（3）若记A、8等级为优秀，请你计算说明哪个班级的成绩更优秀？

【答案】（1）4人（2）25人，图见解析

（3）901班更优秀

【解析】

【分析】（1）根据“901班B等级人数是902班。等级人数的3倍”以及901班B等级人数是12人，可得

902班。等级的人数；

（2）用902班。级的人数除以相应的百分比得到902班的人数，然后根据两班人数相同即可求得901班

的学生数；然后再求出901班C级的学生数，然后再补全条形统计图即可;

(3)比较两个班级4、8两个等级的所占百分比的多少即可解答.

【小问1详解】

解：12+3=4人

答：902班。等级的人数为4人.

【小问2详解】

解：•••902班的总人数为4+16%=25人

，901班的总人数为25人

901班C级学生数有25-6-12-5=2人.

补全条形统计图如下：

【小问3详解】

解：901班：6+12=18人；18+25=72%

902班：44%+4%=48%

48%V72%.

故901班更优秀.

【点睛】本题主要考查了扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，掌握相关统计图的意义是解答本题

的关键.

26.舟山市疫情防控工作领导小组在5月30日发布了常态化核酸检测工作的通知，6月3日起我市居民进

入公共场所须凭7天内核酸采样或检测阴性证明.根据文件要求，学生在校期间每周要组织核酸检测一

次，某校积极响应，安排校医甲和教师乙进行核酸采集培训.经过培训后，甲采集的速度是乙的两倍，且

甲采集52人用时比乙采集30人用时少2分钟.

(1)求甲、乙平均每分钟分别采集多少人？

(2)该校七年级学生人数比八年级少18人，其中七年级有7个班，每班〃［人，8八年级有6个班，每班

〃人，两名采集员各自用了87分钟完成了七、八年级学生核酸采集工作，求相和〃的值；

（3）该校教职工70人完成核酸采集后要放入10人试管或20人试管中，在保证每个试管不浪费情况下,

有哪几种分装方案？

【答案】（1）甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人；

（3）有4种方案：①5个10人试管，I个20人试管；

②3个10人试管，2个20人试管；

③1个10人试管，3个20人试管；

④7个10人试管，0个20人试管.

【解析】

【分析】（1）可设乙速度为平均每分钟采集x人，甲为2x人，根据所用的时间可列出方程，解方程即可;

（2）根据题意列出关于孙〃的二元一次方程组，解方程组即可；

（3）设10人试管有x个，20人试管有），个，从而得到10x+20y=70,根据x与y都是正整数，从而可求

解.

【小问1详解】

解：设乙速度为平均每分钟采集x人，则甲为每分钟采集人,

5230

依题意得：—+2=—,

2xx

解得

2x2=4人,

经检验：x=2是方程的解且符合题意,

答：甲平均每分钟采集4人，乙平均每分钟采集2人;

【小问2详解】

7m=6«-18

解：依题意得：\