2021-2022学年中考数学真题汇编专项突破：对称问题（含答案）

2021-2022学年中考数学真题汇编专项突破：对称问题

1.（2022福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（）

c.

2.（2022毕节）下列分类标识的图案既是轴对称图形，又是对称图形的是（）

A.△X

3.（2022北京）图中的图形为轴对称图形,该图形的对称轴的条数为（

B.2C.3D.5

4.（2022百色）下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（

A.平行四边形等腰梯形

C.正三角形D.

5.（2022梧州）下列命题中，假命题是（)

A.-2的值是-2B.对顶角相等

C.平行四边形是对称图形D.如果直线a〃c,b〃c,那么直线

a//b

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6.（2022北部湾）如图，数轴上的点/表示的数是-1,则点4关于原点对称的点表示的数是（)

A.-2B.0C.1D.2

7.（2022贵港）若点”（a,-1）与点8（2,b）关于y轴对称，则a—台的值是（）

A.-1B.-3C.1D.2

8.（2022贺州）己知二次函数片2*-4x-l在OWxWa时，y取得的值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2022遵义）在平面直角坐标系中，点4（",1）与点8（-2,b）关于原点成对称，则a+b的值

为（）

A.-3B.-1C.1D.3

10.（2022梧州）如图，己知抛物线、=。/+区一2的对称轴是x=—1,直线/〃x轴，且交

抛物线于点尸（罚,乂）,。（马，%），下列结论错误的是（）

y二

--

--

。

A.b2>-8t/B.若实数加工-1,则4一6<4〃72+加1

C.3a—2>0D.当y>-2时，x,-x2<0

11.（2022毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数了=0?+乐+。（4w0）的图象如图所示,

有下列5个结论：®abc>0；②2a—6=0：©9a+3h+c>0；®b2>4ac；⑤a+c<6.其

C.3个D.4个

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12.（2022黔东南）若二次函数歹="2+bx+c（a*O）的图像如图所示，则函数y=ax+b与

反比例函数了=-±在同一坐标系内的大致图像为（）

13.（2022北部湾）已知反比例函数y=2（b#0）的图象如图所示，则函数y=cx-。（。k0）和

X

二次函数了=狈2+法+。（“工0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

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14.（2022毕节）矩形纸片Z8C。中，£为8c的中点，连接/E,将AZBE沿NE折叠得到

△AFE,连接CE.若48=4,BC=6,则C尸的长是（）

15.（2022遵义）如图，在正方形Z8CD中，ZC和8。交于点O,过点O的直线交

于点E（E没有与A,8重合），交CD于点、F.以点。为圆心，OC为半径的圆交直线EF

于点M,N.若工8=1,则图中阴影部分的面积为（）

16.（2022云南）点4（1,-5）关于原点的对称点为点区则点8的坐标为_____.

17.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形/BCD的顶点48分别在x轴、y轴上,

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对角线交于点反反比例函数了="（x〉0,%>0）的图像点GE.若点4（3,0）,则发的值是

x

18.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形4式》中，点£为4?的中点，将4口后沿偌翻折

得阳点〃落在四边形/腔'内.点/为线段应上的动点，过点“作阳V/硼交加于点只

则也也3的最小值为.

19.（2022玉林）如图，点4在双曲线^="6>0,x>0）上，点8在直线y=mx-2b（加〉0力〉0）

X

上，｛与8关于x轴对称，直线，与y轴交于点C,当四边形Z0C8是菱形时，有以下结论：

①A（b,6b）②当b=2时，k=4工

③〃7=理④S四边形40cB=引

则所有正确结论的序号是.

20.（2022北京）在平面直角坐标系xQy中，点（1,〃。,（3,〃）在抛物线丁=℃2+/+。（°>0）上,

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设抛物线的对称轴为X=/.

(1)当c=2,m=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及/的值；

(2)点(Xo，m)(Xor1)在抛物线上，若加<〃<c,求f的取值范围及与的取值范围.

21.(2022遵义)新定义:我们把抛物线了=ax2+&v+c(其中abw0)与抛物线y=版2+ax+c

称为“关联抛物线”.例如：抛物线y=2x2+3x+l的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+l.已

知抛物线G:丁=40/+依+4。-3(4工0)的“关联抛物线”为G.

(1)写出G的解析式(用含。的式子表示)及顶点坐标；

(2)若a>0,过x轴上一点尸，作x轴的垂线分别交抛物线C2于点M,N.

①当aW=6a时，求点尸的坐标；

②当a-4WxWa—2时，G的值与最小值的差为2a,求”的值.

22.(2022北京)在平面直角坐标系xQy中，已知点M(a,b),N.对于点p给出如下定义：将点

尸向右(a20)或向左(a<0)平移回个单位长度，再向上(620)或向下S<0)平移网个单位

长度，得到点尸'，点P关于点N的对称点为Q,称点。为点尸的“对应点

(1)如图，点”(1,1),点N在线段。M的延长线上，若点P(—2,0),点。为点尸的“对应点”.

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②连接P。,交线段CW于点T.求证：NT=-OM\

2

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段。/上，且CW=f(g<f<1),若尸为

。。外一点，点0为点尸的“对应点”，连接P。当点M在。。上运动时直接写出尸。长的值

与最小值的差(用含f的式子表示)

23.(2022贵阳)已知二次函数支户6.

V八

5-

4-

3-

2-

1-

111」।」

-6-5-4-3-2-1O-123456X

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,6的代数式表示)；

(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与x轴交于4,6两点，4斤6,且图象过(1,c),

(3,d),(-1,e),(-3,力四点，判断c,d,e,F的大小，并说明理由；

(3)点必(〃，〃)是二次函数图象上的一个动点，当-2W婷1时，〃的取值范围是求

二次函数的表达式.

24.(2022甘肃武威)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=；(x+3)(x-“)与x轴交于A,

3(4,0)两点，点。在V轴上，且OC=O5,D,E分别是线段ZC,上的动点(点

5r没有与点A,B,C重合).

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(1)求此抛物线的表达式；

(2)连接OE并延长交抛物线于点尸，当。轴，且ZE=1时，求。尸的长；

(3)连接60.

①如图2,将△8C。沿x轴翻折得到ABFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标;

②如图3,连接CE,当CO=ZE时，求8O+CE的最小值.

25.(2022玉林)如图，已知抛物线：y=-2，+加+c与x轴交于点4,5(2,0)(4在8的

对称轴是直线x=L,P是象限内抛物线上的任一点.

左侧)，与y轴交于点C,

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点〃为线段OC的中点,则AP。。能否是等边三角形？请说明理由;

(3)过点尸作x轴的垂线与线段BC交于点M,垂足为点〃，若以P,M,。为顶点的三角形与ABMH

相似，求点。的坐标.

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26.(2022北部湾)已知抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于4,8两点(点/在点8的左侧).

(2)如图，过点力的直线/:y=-x-1与抛物线的另一个交点为C,点夕为抛物线对称轴上的

一点，连接尸/、PC,设点/，的纵坐标为w,当尸/=尸。时，求加的值；

(3)将线段48先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段肠V,若抛物线

y=〃(一%2+2x+3)(a工0)与线段屈V只有一个交点，请皂谈用小a的取值范围.

27.(2022贺州)如图，抛物线歹=一/+以+。过点”(—1,0),8(3,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸为抛物线对称轴上一动点，当APCB是以比1为底边的等腰三角形时，求点。的坐标;

(3)在(2)条件下，是否存在点〃为抛物线象限上的点，使得以尤"=5^仃？若存在，求

出点材的横坐标；若没有存在，请说明理由.

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28.(2022毕节)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-Y+bx+c与x轴交于4,5两点,

与y轴交于点C,顶点为0(2,1),抛物线的对称轴交直线5c于点E.

(1)求抛物线y=-》2+&+，的表达式；

(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为/?(/z〉0),在平移过程中，该抛物线

与直线5c始终有交点，求7/的值；

(3),必是(1)中抛物线上一点，N是直线上一点.是否存在以点2瓦机修为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若没有存在，请说明理由.

29.(2022黔东南)如图，抛物线卜=〃/+2k+。的对称轴是直线丫=1,与x轴交于点A,

5(3,0),与沙轴交于点C,连接/C.

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(2)已知点。是象限内抛物线上的一个动点，过点力作。M_Lx轴，垂足为点DM交直

线8c于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是等腰三角形.若

存在，请求出点N的坐标，若没有存在，请说明理由；

(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点尸，使以点8、。、E、F

为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点尸的坐标；若没有存在，请说明理由.

30.(2022贵阳)小红根据学习轴对称的，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究.

AT)

如图，在口/BCD中，NN为5c边上的高，——=加，点M在Z0边上，且"4=8",

AN

点E是线段4"上任意一点，连接5E,将△/18E沿8E翻折得AEBE.

(1)问题解决:

如图①，当N34)=60。，将△Z8E沿BE翻折后，使点尸与点M重合，则把=；

AN

(2)问题探究：

如图②，当/氏4。=45。，将△/8E沿8E翻折后，使EF〃BM，求48E的度数，并求

出此时用的最小值；

(3)拓展延伸：

当N历1。=30。，将△4SE沿8E翻折后，若EF工4D,SLAE^MD,根据题意在备用图中

画出图形，并求出机的值.

31.(2022遵义)综合与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小

组继续利用上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段ZC同侧有两点8,D,连接ZD,AB,BC,CD,如果N8=ND,那么

A,B,C,。四点在同一个圆上.

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图1

探究展示：

如图2,作点A,C,。的0O,在劣弧NC上取一点E（没有与A,。重合），连接/E,CE

则NAEC+ZD=180°（依据1）

图2

ZS=ND

:.ZAEC+ZB=\80°

，点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.•.点8,。在点A,C,E所确定的。。上（依据2）

，点A,B,C,E四点在同一个圆上

（1）反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：;依据2：.

（2）如图3,在四边形/BCD中，Z1=Z2,N3=45°,则N4的度数为

图3

（3）拓展探究：如图4,已知A/BC是等腰三角形，AB=AC,点。在8c上（没有与8c的

中点重合），连接作点。关于/D的对称点E，连接EB并延长交/。的延长线于产，

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连接/E,DE.

图4

①求证：A,D,B,E四点共圆；

②若AB=26,,•工尸的值是否会发生变化，若没有变化，求出其值；若变化，请说明理

由.

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2022年中考数学真题汇编：对称问题参考答案

1.（2022福建）美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是（)

【答案】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意;

B、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；

C、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；

D、没有是轴对称图形，故此选项没有合题意；

故选：A.

2.（2022毕节）下列分类标识的图案既是轴对称图形，又是对称图形的是（）

【答案】A.没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项没有符合题意;

B.是轴对称图形，没有是对称图形，故此选项没有符合题意；

C.是轴对称图形，也是对称图形，故此选项符合题意；

D.没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故此选项没有符合题意，

故选：C.

3.（2022北京）图中的图形为釉对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

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【答案】解：如图,

一共有5条对称轴.

故选：D

4.（2022百色）下列图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是（）

A.//平行四边形B./\等腰梯形

【答案】A.平行四边形是对称图形，没有是轴对称图形，故本选项错误；

B.等腰梯形没有是对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

C.正三角形没有是对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；

D.圆是对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确.

故选:D.

5.（2022梧州）下列命题中,假俞军是（）

A.-2的值是-2B.对顶角相等

C.平行四边形是对称图形D.如果直线。〃c,b〃c,那么直线

a//b

【答案】解：A.-2的值是2,故原命题是假命题，符合题意；

B.对顶角相等，故原命题是真命题，没有符合题意；

C.平行四边形是对称图形，故原命题是真命题，没有符合题意;

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D.如果直线。〃c,b〃c,那么直线。〃6,故原命题是真命题，没有符合题意；

故选：A.

6.（2022北部湾）如图，数轴上的点力表示的数是-1,则点4关于原点对称的点表示的数是（）

A

・—二•A*A

-2-10I2

A.-2B.0C.1D.2

【答案】•••数轴上的点｛表示的数是-1,

...点/关于原点对称的点表示的数为1,

故选：C.

7.（2022贵港）若点4（。,一1）与点8（2/）关于y轴对称，则。―力的值是（）

A.-1B.-3C.1D.2

【答案】：点力（凡一1）与点8（2,6）关于y轴对称，

.,.a=-2,b=~l,

.".a-b=-l,

故选A.

8.（2022贺州）已知二次函数片29-4x-l在OWxWa时，y取得的值为15,则a的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】解：•••二次函数X2y-4尸1=2（尸1）2-3,

抛物线的对称轴为产1,顶点（1,-3）,

Vl>0,开口向上，

.,.在对称轴尸1的右侧，y随x的增大而增大，

:当OWxWa时，即在对称轴右侧，y取得值为15,

/.当x=a时，尸15,

：.2（a-1）-3=15,

解得：a=4或a=-2（舍去），

故a的值为4.

故选:D.

9.（2022遵义）在平面直角坐标系中，点4（4,1）与点8（-2,b）关于原点成对称，则6的值

为（）

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A.-3B.-1C.1D.3

【答案】解：•••点4（。,1）与点5（—2,b）关于原点成对称,

a=2,b=-\f

二.a+6=2—1=1,

故选C.

10.（2022梧州）如图，已知抛物线y=ax2+bx—2的对称轴是x=-l,直线/〃x轴，且交

抛物线于点/>（再,乂）,。（吃,外），下列结论错误的是（）

C.3a-2>0D.当歹>一2时，-x2<0

【答案】解：•.•抛物线歹=0?+区一2的对称轴是工=一1,

2a

b=2a,

:抛物线开口向上，

a>0»

•**/+8a=4/+8a>0，

8a，故A说确，没有符合题意；

♦.•抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线产T,

，当年T时、V最小值=。一6一2,

.•.当实数加工一1,则白一一2<am~+bm-2>

当实数mx-l时，a-b<am2+bm，故B说确，没有符合题意;

:当x=l时，y=a+b-2<0,

.,.a+2a-2<0,即3a~2<0,故C说法错误，符合题意:

Vy>-2,

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・・・直线1与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，

Ax}-x2<0,故D说确，没有符合题意；

故选C.

11.（2022毕节）在平面直角坐标系中，已知二次函数；;=0?+瓜+。（4的图象如图所示,

有下列5个结论：®ahc>0；®2a-h=0；③9a+3b+c>0；@b2>4ac;⑤Q+C<6.其

中正确的有（）

【答案】解：①:抛物线的开口方向向下，

Aa<0,

・・•对称轴在y轴右侧，

・，・对称轴为X-..>0,

2a

Va<0,

：.b>0f

・・,抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，

:.c>0,

:.abc<3

故①错误；

h

②;对称轴为x=----=1,

2a

:.b=-2a,

.,.2a+8=0,

故②错误；

③由图象的对称性可知：当x=3时;y<0,

：.9a+3Z?+c<0,

故③错误；

④由图象可知，该抛物线与不轴有两个没有同的交点,

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.*.Z?2-4ac>0,BPZ?2>4ac；

故④正确；

⑤由图象可知当x=-1时，y<0,

:・a-〃cVO,

:.a+c<b,

故⑤正确.

综上所述，正确的结论是：④⑤.

故选：B.

12.(2022黔东南)若二次函数歹=。%2+bx+c(a/0)的图像如图所示，则函数y="x+b与

反比例函数丁=-£在同一坐标系内的大致图像为()

X

【答案】解：；二次函数y=ax2+6x+c(aH0)的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴

的交点在y轴负半轴，

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b八

・・打>0,-------<0,。<0,

2a

:・b>0,-c>0,

.•.函数了=。％+6的图像、二、三象限，反比例函数y=-£的图像在，三象限，选项C符合题

X

故选：C

L

13.（2022北部湾）己知反比例函数歹=一（6片0）的图象如图所示，则函数y=cx-a（c*0）和

x

二次函数了=数2+法+。（“工0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

【答案】解：•.•反比例函数y=2（bwO）的图象在和第三象限内，

X

:.b）0,

若a<0,则-2>0,所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全没有符

2a

合；

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当a>0,则-2〈0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能

2a

符合题意，由C、D两选图象知，c<0,

又,.,a>0,则-a〈0,当c<0,a>0时，函数片图象第二、第三、第四象限，

故只有D选项符合题意.

故选：D.

14.（2022毕节）矩形纸片Z8C。中।,£为5C的中点，连接ZE,将△4BE沿NE折叠得到

△AFE,连接若ZB=4,BC：=6,则CE的长是（）

AD

BEC

17718

A.3B.—C.-D.—

525

【答案】连接BF,与相交于点G,如图，

AD

BEC

；将/XABE沿AE折叠得到△/FE

•••"BE与AAFE关于在,对称

•垂直平分阮BE=FE,BG=FG=~.BF

2

•.•点£是比中点

:.BE=CgD卅LBC=3

2

•*-AE=ylAB2+BE2=V42+32=5

・.・sin皿小些=也

AEAB

.n厂BEAB3x412

..D（J===

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，BF=2BG=2x—

2

•：BE=CE=DF

：.4EBF=/EFB,4EFC=/ECF

：.4BFC=4EFB^4EFC=——=90°

2

/.FCNBC”-BF?

故选D

15.（2022遵义）如图，在正方形NBCZ）中，ZC和8。交于点。，过点O的直线EF交45

于点E（£没有与A,B重合），交CD于点F.以点。为圆心，OC为半径的圆交直线ER

于点A/,N.若4B=l,则图中阴影部分的面积为（）

AK_______D

----

TI1it1n1

A.--------B.--------C.--------

888428

【答案】解：.••在正方形4BCQ中，AB=1,

・•.G）O的半径为：——

22

•••EF过点O,根据对称可得四边形EBCF的面积等于正方形面积的一半,

又S«OBC=]S正方形“BC。

阴影部分面积为：一7X

2

284

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故选;B.

16.（2022云南）点4（1,-5）关于原点的对称点为点6,则点8的坐标为.

【答案】解：••,点X（1，-5）关于原点的对称点为点8,

二点8的坐标为（T,5）.

故答案为：（T,5）

17.（2022毕节）如图，在平面直角坐标系中，正方形Z8CD的顶点46分别在x轴、y轴上,

对角线交于点反反比例函数了=幺（》〉0,%>0）的图像点6,E.若点4（3,0）,则衣的值是

X

【答案】作6F垂直y轴于点E如图，设点8的坐标为（0,力,

•・•四边形是正方形，

:.AFBC,/ABC90。,

VZOBA+ZOAB=ZOBA+ZFB(=90°

：./OAB=/FBC

在△孙'。和△力仍中

NOAB=/FBC

,ZAOB=ZBFC=90°

AB=BC

：."OB知BFC

:・B六AW3,C2OB=a

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0F=0济BF=3+a

.♦.点C的坐标为（a,3+a）

•.•点£是正方形对角线交点,

.•.点£是加:中点,

.♦.点£1的坐标为

•反比例函数_P="（x>0,左>0）的图象点C,E

x

k

(3+a)/2

k.

—=3+a

a

解得：A=4

故答案为：4

18.（2022铜仁）如图，在边长为2的正方形48（力中，点£为4〃的中点，将△侬沿◎'翻折

得△C班,，点M落在四边形/比£'内.点N为线段Q,上的动点，过点N作/交MC于点P,

则网巩必的最小值为_______.

由折叠的性质知B是/比财的平分线,

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:.点P在费上，

过点材作MFLCD于F,交应于点G,

■:册N"册NFWMF,

二也性W的最小值为好,的长，

连接。G,DM,

由折叠的性质知四为线段//的垂直平分线,

■:A2CD=2,DE=1,

.•.於jF+22=垂,

'：-CEXDO=-CDXDE,

22

.•.麻亚I,

5

：.E0=^-,

5

"MFLCD,2EDC=9Q°,

：.DE//MF,

：.AEDO-AGMO,

•••〃为线段例/的垂直平分线，

：.DO-OM,/D0E=2MOG^9Q°,

：./\DOE^/\MOG,

：.DE=GM,

四边形DEMG为平行四边形，

■:NMOG=90°,

四边形龙:始为菱形，

oR

:.EO205eGM=屿1,

5

.rr375

5

'：DE//MF,B|JDE//GFf

:.XCEGsMCDE,

第25页/总59页

375

.FG:即尸G

r

"IDE

3

：.FG=-

5

38

六1+一二一，

55

8

也性AP的最小值为.

o

故答案为：

19.(2022玉林)如图，点4在双曲线夕="(4>0,x>0)上，点8在直线y^mx-2b(m>0,b>0)

X

上，/与8关于x轴对称，直线/与y轴交于点2当四边形ZOC8是菱形时，有以下结论：

①1(上后)②当6=2时，%=4百

③加=¥④S四边形»2

则所有正确结论的序号是.

【答案】•.•直线y=/nx-2b(〃？>0,b>0),

.,.当x=0时，y=-2b,

C(0,-2b),

OC=2b，

•••四边形Z0C8是菱形，

OC-OA-AB-2b，

••F与6关于x轴对称，设四交x轴于点4

第26页/总59页

/.AD=BD=h

二在中，OD=S#-AD2=园，

:.Agb,b）,故①错误；

力（麻力）在双曲线^=：（«>0,》>0）上，

Lk

b=-r=-,

瓜

:.k=W,

当b=2时，左=4百，故②正确；

•;OD=£b,BD=b,

B«b,b），

•••点8在直线y=mx-2b（m>0,6>0）上，

/.6mb-2b=-b，

/.6mb=b，

故③正确；

3

S2

WA（）CB=AB-OD=2b-y/3b=2y/3b,故④错误；

综上，正确结论的序号是②③，

故答案为：②③.

20.（2022北京）在平面直角坐标系中，点（1,〃?）,（3,〃）在抛物线了=0^+岳:+0（。>0）上,

设抛物线的对称轴为x=f.

（1）当c=2,〃?=〃时，求抛物线与y轴交点的坐标及/的值；

第27页/总59页

(2)点(%,〃?)(/#1)在抛物线上，若〃?<“<Q求，的取值范围及％的取值范围.

【答案】

(1)解：当c=2时，y=ax2+bx+2,

当产。时，片2,

.•.抛物线与y轴交点的坐标为(0,2)；

'：m-n,

.•.点(1,加),(3,〃)关于对称轴为x=t对称，

(2)解：当年0时，y=c,

...抛物线与y轴交点坐标为(0,c),

.,.抛物线与y轴交点关于对称轴x=f的对称点坐标为(2t,c),

va>0,

.,.当时，y随x的增大而减小，当x>t时，y随x的增大而增大，

当点(1,加)，点(3,〃)，(23c)均在对称轴的右侧时，t<1,

•：m<n<c,i<3,

3

：.2t>3,B[J/>-(没有合题意,舍去)，

2

当点在对称釉的左侧，点(3,〃)，(2t,c)均在对称轴的右侧时，点(方,加)在对称轴的

右侧，1</<3,

此时点(3,〃)到对称轴x=t的距离大于点(1,/«)到对称轴x=t的距离，

*'•/—1<3—/,解得：Z<2>

■；m<n<c,i<3,

3

/.2t>3,即/>一，

2

35

♦♦—<，<2,

2

V(Xo,w),(1,/M),对称轴为》=t,

•f+1

2

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：.-<^-<2,解得：2<x0<3,

22

3

，t的取值范围为万〈/<2,与的取值范围为2<Xo<3.

21.(2022遵义)新定义:我们把抛物线了=ax?+bx+c(其中abwO)与抛物线丁=bx1+ax+c

称为“关联抛物线”.例如：抛物线y=2x?+3x+l的“关联抛物线”为：y=3x2+2x+l.己

知抛物线£：歹=4依2+融+4a-3(〃。0)的“关联抛物线”为

(1)写出。2的解析式(用含。的式子表示)及顶点坐标；

(2)若a>0,过x轴上一点尸，作x轴的垂线分别交抛物线q,G于点“，N.

①当MN=6a时，求点尸的坐标；

②当a-4Wx《a—2时，G的值与最小值的差为2。，求。的值.

【答案】

(1)解：•.•抛物线G：y=4ax2+ax+4a-3(a*0)的“关联抛物线”为G，

根据题意可得，G的解析式V=女2+4ax+4。-3(a主0)

,/y-ax2+4ax+4a-3=a(x+2)2-3

顶点为(-2,-3)

(2)解:①设尸(p,0),则A/■(峰,4即2+即+4a-3),N(p,小？+4年+4〃一3)

/.MN=\4ap2+ap+4a-3-^ap2+4ap+4a-3)1

MN=6a

^>ap2-3司=6a

;a#0

p2-p=+2

当p2_p=2时，

解得Pi=T，P2=2

当p2—p=—2时，方程无解

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・・.尸(一1,0)或(2,0)

②;。2的解析式歹=以2+4OX+4Q-3(Qw0)

•/y=ax1+4ax+4a-3=a(x+2)~-3

顶点为(一2,—3),对称轴为x=—2

*/tz>0,

a—2>—2

当(一2)—(a—4)>a—2—(—2)时，即a<l时，

函数的值为a(a—4+2)2—3,最小值为一3

VG的值与最小值的差为“

-2)-=2a

「aK0

a—2=+V2

解得q=2—%=2+(a<l,舍去)

a=2-yf2,

当(-2)-(a-4)<a-2-(-2)时，且a—4<—2即1<a<2时，

函数的值为-2+21一3,最小值为一3

---G的值与最小值的差为2a

/=2a

•：a^0

a=±^2

解得q=5/^,4二—6’(1<a<2,舍去)

a—y[2

当。-4>-2时，即a〉2时，抛物线开向上，对称轴右侧N随x的增大而增大，

函数的值为a(a—2+2『一3=.3—3,最小值为〃(。-4+2『一3=a(a-2)2—3

•••G的值与最小值的差为2。

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••/-3-a(a-2)~+3-2a

即苏一〃("2)2-2a=0

「aH0

即/一(”2)2-2=0

3

解得a=—(a>2舍去)

2

综上所述，”=2-应或〃=

22.(2022北京)在平面直角坐标系xQy中，己知点A1(a,b),N.对于点尸给出如下定义：将点

户向右(心0)或向左(a<0)平移同个单位长度，再向上(6N0)或向下S<0)平移四个单位

长度，得到点尸'，点P关于点N的对称点为。，称点。为点P的“对应点”.

(1)如图，点”(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(—2,0),点。为点尸的“对应点”.

①在图中画出点。；

②连接P。,交线段ON于点「求证：NT=、OM;

2

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段上，且ON=«；<f<l),若尸为

0。外一点，点。为点尸的“对应点”，连接?。.当点M在。O上运动时直接写出尸。长的值

与最小值的差(用含f的式子表示)

【答案】

(1)解：①点。如下图所示.

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•.•点加(1,1),

点尸(-2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P',

./(-U),

:点尸'关于点N的对称点为。，N(2,2),

.••点。的横坐标为：2x2-(—1)=5,纵坐标为：2x27=3,

；.点。(5,3),在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长QV至点4(3,3),连接40,

AQ//OP,

：.NAQT=NOPT,

在A40T与ANOPT中，

NAQT=NOPT

<NATQ=NOTP,

AQ=OP

：.\AQT^\OPT(AAS),

:.TA=TO=LOA,

2

V/(3,3),"(1,1),N(2,2),

,,OA-132+3,=3-\/2'OM='J\2+12=5/2，ON—J2?+2?-2-J2'

第32页/总59页

1a

TO=-OA=—五,

22

•*-NT=ON-OT=2y/2--y[2，

22

NT=-OM；

2

(2)解：如图所示，

连接。。并延长至S,使OP=OS,延长SQ至T,使ST=OM,

点P向右(020)或向左伍<0)平移同个单位长度，再向上(此0)或向下S<0)

平移同个单位长度，得到点P，

PP'=OM=1,

:点P'关于点N的对称点为。，

：.NP'=NQ,

又♦：OP=OS,

：.OM//ST,

.•.加为AP'QT的中位线，

ANM//QT,NM=^QT,

•:NM=OM—ON=\—t,

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：.TQ=2NM=2-2tf

：.SQ=ST-TQ=l-(2-2t)=2t-l,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS9

题意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QSf

二POa-尸0mbi=(PS+QS)—(PS-QS)=2QS=4-2,

即PQ长的值与最小值的差为由-2.

23.(2022贵阳)已知二次函数片ax?+4aA+b.

y八

5-

4-

3-

2-

1-

111111、

-6-5-4-3-2-\Q123456x

-1

-2

-3

-4

-5

(1)求二次函数图象的顶点坐标(用含a,。的代数式表示);

(2)在平面直角坐标系中，若二次函数的图象与X轴交于4,8两点，4户6,且图象过(1,C),

(3,d),(-1,e),(-3,1)四点，判断c,d,e,f的大小，并说明理由；

(3)点"①，〃)是二次函数图象上的一个动点，当-2W/W1时，〃的取值范围是求

二次函数的表达式.

【答案】

(1)解：Vy=ax+4ax+b=a(x2+4x+4-4)+b=a(T+2)2+Z»-4a,

二次函数图象的顶点坐标为(-2,64a)；

(2)解:由(1)知二次函数的图象的对称轴为直线产-2,

又♦.•二次函数的图象与x轴交于4,8两点，49=6,

：.A,6两点的坐标分别为(-5,0),(1,0),

当a〈O时，画出草图如图：

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e=/>c>d；

：.e=f<c<d；

（3）解：・・,点加m,〃）是二次函数图象上的一个动点，

当水0时，

根据题意：当历-2时，函数有值为1,当m1时，函数值为T,

2

h-4a=1

即《a+…］解得：

2Q1

・••二次函数的表达式为尸--

999

第35页/总59页

当a〉0时，

根据题意：当m-2时，函数有最小值为7,当犷1时，函数值为1,

2

b-4a=-\o

即44」解得：1」

。+4〃+b=1,1

b=——

9

2Q1

・・・二次函数的表达式为产一六+一『一.

999

7Q12R1

综上，二次函数的表达式为产一三+?六一或『一一/-%+-.

999999

24.(2022甘肃武威)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=；(x+3)(x-a)与x轴交于A,

8(4,0)两点，点C在〉轴上，且OC=