2021-2022学年江西省名校高一（下）期中数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年江西省名校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

y4—5i/、

1-2=—=（）

A.5+4iB.5-4iC.—5+41D.-5-4/

2.已知向量五:=(2,3),b=(t,—2)，<a,K>=p则实数t=()

A.6B.3c.4D.-3

3.扇形的弧长为12,面积为24,则圆心角的弧度数为（)

A.4B.3C.2D.1

4.在AABC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,且a=V3,b=V6»cosC=一

则c=()

A.2V3B.2^6C.3V3D.4V2

4,则乎s"sin8=

5.己知tern。=

cos0+2sin0')

A._iB--ic--D.-|

3j9

6.如图所示，每个小正方形的边长都是1,则下列说法正确的是（）

A.可,电是该平面所有向量的一组基，AD-AB+~CB=e^+2e^

B.瓦，瓦是该平面所有向量的一组基，AD-AB+CB=2e；+e；

C.可，祓不是该平面所有向量的一组基，AD-AB+CB=e；+2e；

D.瓦，石不是该平面所有向量的一组基，AD-AB+CB=2e；+e；

7.某工厂的烟囱如图所示，底部为4,顶部为B,相距为，的点C,。与点A在同一水平

线上，用高为h的测角工具在C,。位置测得烟囱顶部B在C［和劣处的仰角分别为a,

其中G，01和为在同一条水平线上，为在4B上，则烟囱的高AB=（）

Isinacosp+八DIcosacosp,「Icosasinp,卜Isinasinp

A.

sin(/?-a)sm(/?-a)sin(0—a)sin(/?-a)

8,已知函数/'(x)=Asina)xcos(p+Acosa)xsin<p(A>0,a)>0,\(p\<])的部分图象如

下图所示，先将/（x）的图象向右平移三个单位长度（纵坐标不变），再将横坐标缩小

为原来的久纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，则（）

A.g(x)=V2sin(x-B.g(x)=V2sin(x-g)

o

C.g(x)=V2sin(4x+g)D.g(x)=V2cos(4x-坐

二、多选题（本大题共4小题，共20.（）分）

9.设me/?,i是虚数单位，复数z=（m+2）+（加一2）i.则下列说法正确的是（）

A.若z为实数，则m=2

B.若z为纯虚数，则m=-2

C.当m=l时，在复平面内z对应的点为Z（3,l）

D.|z|的最小值为2近

io.下列式子的值为:的是（）

A.sin750°B.sin75°cos（-75°）

C.s'='。D.cos82°cos220+cos80sin22°

l+cos80°

11.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，万？=（1,1）,砺=（一2,2），点C（x,y），则下

列说法正确的是（）

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A.R4=(3,-1)

B.若04cB是平行四边形，则x=—l,y=3

C.若C为△。4B的重心，则x=—y=1

D.若x=5,y=0,则向量而在向量能上的投影向量为一[历

12.已知函数h(x)=J|sinx|+J|cosM，则下列结论正确的是()

A.八(乃在上单调递增

B.伙x)的图象的一条对称轴方程为x=]

C.h(x)的最小正周期为兀

D.h(x)的最大值为城

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.化简sin(>a)-sin《-a)=.

sina

14.已知角火一?<。<0)的终边上有一点M(l,—3夕)，则cos?=____

N2

15.已知复数z满足忆一1一"=2,贝U|z|的最大值为.

16.如图所示，扇形B4C中，NBAC=。，点M在配上运动(包括端点B、C),且满足宿=

mAB+nAC>则m+陞的最大值是

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知方程/一2x+2=0的两复数根分别为Zi，Z2，其中Zi的虚部大于0.

(1)求复数Zi，z2;

(2)若复数Z3=a+4i,且其-Z1Z2I<2岔，求实数a的取值范围.

18.(1)证明：sin(>2x)=上£吧；

14-sin(7r+2x)1-tanx

(2)求值：tanl20tan330+tanl20+tan33°.

19.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(b-2a)cosC+ccosB=0.

请在①b=2,(2)c=V7,③a=c这三个条件中任选两个，将问题(1)补充完整，

然后解答问题

(1)已知,计算△力BC的面积；

(2)当c=5时，求△ABC的周长的最大值.

注：如选择多种搭配方式分别解答，按第一个解答计分.

20.已知角a为锐角，<P—a<7T,且满足tan9=J,sin(0—a)=

2235/I。

(1)证明：0<a<［；

(2)求0.

21.如图，在AABC中，4Q为边BC的中线，屈=|而，过点P作直线分别交边4B,AC

于点M,N,且祠=%屈，AN=AC，其中；l>0,M>0

(1)当而〃配，用宿，前线性表示而；

(2)证明：3为定值.

已知函数/(x)=>j3cos2x4-sin2x4-1.

⑴当勺时，求f(x)的值域;

(2)若函数gQ)=/(-枭+》-1在区间(兀,2兀)上没有零点，求正实数a的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：z=¥=支学=5+4i.

I3-II

故选:A.

结合复数的四则运算，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：向量五=(2,3),b=(t,-2)，<a,b>=p

二向量五，方垂直，

所以2t—6=0,解得t=3,

故选：B.

根据向量垂直代入数量积即可求得答案.

本题主要考查向量的数量积的应用，考查计算能力，属于基础题目.

3.【答案】B

【解析】解：设扇形的弧长为1,半径为r,圆心角为a,

则由扇形面积与弧长公式可得，S="r=24,l=ra=12,解得弧度数a=3,

故选：B.

设扇形的弧长为I,半径为r,圆心角为a,然后根据扇形的面积公式以及弧长，圆心角

与半径的关系建立方程即可求解.

本题考查了扇形的面积公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由a=V5，6=份，cosC———,

2

由余弦定理可得/=小+炉_2abcosC=(V3)2+(V6)2—2xV3xV6x(―j)=12,

所以c=2V3.

故选A.

利用余弦定理计算可得c.

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属基础题.

5.【答案】D

【解析】解：因为tern。=4,

所以原式==R=二士=

l+2tan01+2x49

故选：D.

由已知利用同角三角函数基本关系式化简所求即可求解.

本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：结合题意，平面向量瓦，石不共线，是该平面所有向量的一组基底，故

8错误，

又40—AB+CB=AD-AC=CD=瓦+2行，

故选：A.

根据瓦，夙不共线以及向量的线性运算求出答案即可.

本题考查了数形结合以及向量的线性运算，考查平面向量基本定理，是基础题.

7.【答案】D

【解析】解：如图所示，在△8G2中，乙C、BDi=B-a,

由正弦定理，得僦荷=黑，

Dosina_Isina

所以BQ=

sin(0-a)sin(/?-a)>

Isinasinp

所以B4]=BD[SinB=

sin(0-a)

所以=

故选：D.

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易知NC$DI=£—a,在ABCiDi中，由正弦定理，可表示出BDi，进而得B4,再由

AB=+441，得解.

本题考查解三角形的实际应用，熟练掌握三角函数的基础知识，理解方位角的概念是解

题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.

8.【答案】D

【解析】解：/(x)=Asina>xcos<p+Acosa)xsin<p=Asin(a)x+(p),

由图知周期7=4X(工冶)=等

解得3=2,又最小值为一VL所以4=VI，

故/'(x)—V2sin(2x+cp)；

又/©)=V2sin(|?r+@)=0,

由图|几+8=n+2k”,k&Z,结合|勿<1,可得W=E，

所以/(x)=V2sin(2x+》

将f(x)的图象向右平移三个单位长度(纵坐标不变)，

得到y=V2sin[2(x-j)+J=夜sin(2x-9再将横坐标缩小为原来的|,

得到g(x)=V2sin(4x--)=V2cos(4x-?—?)=V2cos(4x--7r),

3326

故选：D.

由两角和的正弦公式化简/(%)的解析式，由图知最小正周期可得3的值，再由函数过的

点C，0),可得0的值，将函数向右平移W及横坐标缩小:可得g(x)的解析式，由诱导

公式选出答案.

本题考查由三角函数图象求三角函数的解析式的方法及三角函数的平移和伸缩变化的

性质的应用，属于中档题.

9.【答案】ABD

【解析】解：若z为实数，则虚部为0,即m=2,故A正确，

若z为纯虚数，则实部为0,即机=-2,故B正确，

当m=l时，z=3-i,则在复平面内z对应的点为Z(3,-l),故C错误，

|z|=7(m+2)2+(m-2)2=V2m2+8>2/(当且仅当m=0时取等号)，故。正确.

故选：ABD.

对于4B,结合实数和纯虚数的定义，即可求解；对于C,结合复数的儿何意义，即可求

解；对于D,结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查实数和纯虚数的定义，复数的几何意义，复数模公式，属于基础题.

10.【答案】AD

【解析】解：只需判断选项表达式的值是否为土

对于A：s讥750°=sin(2x360°+30。)=s讥30。=g故4正确；

对于B：sin75°cos(-75°)=sin750cos750=|sinl50°=故B错误；

对于C：由半角公式可知：产吗；=tan40。羊;，故C错误；

l+cos8002

对于D：因为cos80=s讥82。，

所以cos820cos2204-cos80sin220

=cos820cos220+sin820sin220

=cos(82°-22°)

=co$600=I，故C正确，

故选：AD.

利用诱导公式以及二倍角公式，半角公式，两角和与差的三角函数化简求解函数值，判

断选项的正误即可.

本题考查二倍角公式以及半角公式的应用，诱导公式以及三角函数求值，是基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：因为在平面直角坐标系中，。为坐标原点，OA=(1,1)＞加=(一2,2)，点

C(x,y).

­.BA=OA-OB=(1,1)-(-2,2)=(3,-1).故A正确；

由04cB是平行四边形，可得祓=OA+OB=(1,1)+(-2,2)=(-1,3)，故x=-1,y=

3,3正确;

因为C是重心，所以万+m+而=0,解得x=_：,y=1,故C正确；

因为|旗|=〃-2)2+22=2四，|OC|=5，(OB,OC)=135°.

故向量丽在元上的投影向量为|两cosl35。湍=2鱼x(-争x容=一|小，故。

错误，

故选：ABC.

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直接根据已知条件结合数量积依次判断四个选项即可.

本题考查了数量积的运算性质、考查向量的模长计算，考查了推理能力与计算能力，属

于中档题.

12.【答案】BD

【解析】解：对于从由于函数/(》=/6)，故A错误；

对于B：函数满足/(兀一吗="X)同时又满足/《一0=/(乃故函数图象关于x=］和

x=3对称，故/i(x)的图象的一条对称轴方程为x=3故8正确；

对于C：由于函数满足f€+x)=f(x)故C错误；

对于D：由于/(0)=1=居),f⑺=/(0)=1,当》=即寸,/©)=请=2=,照)=1,

故最大值为亦

故。正确.

故选：BD.

直接利用三角函数的性质的应用判断4、B、C、。的结论.

本题考查的知识要点：三角函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

于中档题.

13.【答案】V3

［解析］解：因为"n(l+a)-sm(z-a)=sinzc°sa+c°szs'"a-(sinvc°sa-c°szsma)=Ksina=0.

sinasinasina

故答案为：V3.

利用诱导公式计算即可.

本题考查诱导公式的应用，属基础题.

14.【答案】:

4

【解析】解：由题意可得c°s。=息=5+(，2=8,

又cos。=2cos2--1,

2

所以cos2S=01=2,

2216

而一三<8<0,

所以一-<-<0,

42

所以COS&="=三.

27164

故答案为：

4

由题意利用任意角的三角函数的定义以及二倍角公式即可求解.

本题考查了任意角的三角函数的定义以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基

础题.

15.【答案】2+或

【解析】解：由忆一1一4=2可知，z在复平面内对应的点在以(1,1)为圆心，2为半径

的圆上，

而|z|表示z对应的点到原点的距离，所以|z|的最大值为2+夜.

故答案为：2+V2-

根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，考查转化能力，属于基础题.

16.【答案】注

3

【解析】解：当点M与点8或C重合时，易得?n+九=1,

当点M与点B,C都不重合时，分别作MD〃4C,ME//AB,如图所示，

设立MAC=0(0＜。＜今，设扇形的半径为r,

在△4EM中，/.AEM=y,Z.AME=^-9,

由正弦定理得ME=AD=-sin9-r，/IF=—sin(--0)-r，

33k37

所以布=咨”荏+咨喧2旅，

33

故in+71=—\SITL9+sin(——6)]——sin(0+-),

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当"轲，m+n取得最大值竽,

综上，m+n的最大值是独.

3

故答案为：速.

3

利用正弦定理，平面向量基本定理，再借助三角恒等变换得到m+n=sin(O+》，求

解即可.

本题考查正弦定理，三角恒等变换，平面向量基本定理的应用，属于中档题.

17.【答案】解：(1)由％2-2x+2=0,得(x—1)2=—1,

所以x-l=±i,所以x=l±i,

而Zi的虚部大于0,

所以Z1=1+i,z2=1—i.

(2”逐2=(1+。(1一》)=2,

所以区-zg|<2①可化为|a+4i-2|<2花，

即|(a-2)+4i|<2V5.

所以J(a-2)2+16<2遍,解得0<a<4,

即实数a的取值范围是(0,4).

【解析】(1)解方程求得Zi，z2.

(2)根据复数的求模公式，得到关于a的不等式，求解即可.

本题主要考查一元二次方程的解法，复数模长的计算，属于中档题.

sin(~2x)22

18.【答案】(1)证明：因为左边=cos2x_cosx-sinx

l+sin(7i+2x)l-sin2xsin2x+cos2x-2sinxcosx

(cosx+sinx)(cosx-sinx')_cosx+sinx_1+tanx

=右边,所以原命题成立.

(sinx-cosx)2cosx-sinx1-tanx

tanl20+tan33°

(2)解：因为tan(12o+33。)==1,

l-tQ〃12°tan330

所以tcml20+tan330=1—tanl2°tan33°,

所以tcml2°tan330+tanl20+tan330=1.

【解析】(1)由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可证明；

(2)结合两角和的正切公式进行化简即可求解.

本题主要考查了诱导公式，二倍角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中

档题.

19.【答案】解：(1)由(b—2a)cosC+ccosB=0,

所以sinA—2sinAcosC=0,

又sinAH0,所以cosC=5而0VCV兀，故C=%

若选①b=2,②。=夕，则由余弦定理c?=M+非一2abcosC,

得7=a?+4—2a,解得Q=3,

所以△ABC的面积为工absinC=ix3x2x-=^

2222

若②选c=«，③。=c,则△ABC是等边三角形，所以a=c=b=V7,

所以△4BC的面积为三abs讥C=-xV7xV7x—=—；

2224

若选①b=2,③。=c,则△4BC是等边三角形，所以Q=C=Z?=2,

所以△48c的面积为乙absiitC=-x2x2x—=V3;

222

(2)由基本不等式病工呼，可得断工妇之，

24

结合余弦定理得25=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab>(a+b)2-*哈=咛烂，

所以a+6<10,当且仅当a=b=5时等号成立，

所以△ABC的周长的最大值为15.

【解析】(1)根据(b-2a)cosC+ccosB=0,求出C=g,若选①②，由余弦定理求得

a,代入三角形面积公式即可求解；若选②③，则△ABC是等边三角形，代入三角形面

积公式即可求解；若选①③，则△ABC是等边三角形，代入三角形面积公式即可求解；

(2)利用余弦定理和基本不等式可求得a+b<10,△ABC的周长最大值即可求解.

本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.

20.【答案】(1)证明：因为tan5=1,

2tan^

所以tcma=

1-tan2^

因为a为锐角且函数y=Umx在(09)上单调递增，所以0VaV%

_sina_3

ana—cosa—4,结合角a为锐角，解得sina=|,cosa=g,

{sin2a+cos2a=1

因为5VS—a<yr,且sin(0—a)=M，

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所以cos。-a)=-Jl-(*2=一奈

sin0=sin[a+Q?—a)]=sinacos(p—a)+cosasin(fi—a)=|x(—^|)+^x黑=

V2

—,

2

又/V/r+aV宇，

所以S=F.

【解析】(1)由已知可得tana的值，结合正切函数的单调性可证结论；

(2)由(1)可得s讥a=：,cosa=p进而可求得sin(£-a)=当，再求sin£即可.

本题考查两角和的正弦公式，及二倍角的正切公式，属中档题.

21.【答案】解：⑴因为4Q为边BC的中线，所以湎=：而+：而，

因为丽//而，而=|而，

所以宿=|荏，丽=|前，

所以而=lx+|x洒,

即而=：祠+：前.

证明:(2)由⑴可得而=|而=|G荏+沔=l(AB+AC),

因为祠=2近，A/V=nAC，

所以