2021-2022学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题【含答案】

2021-2022学年江苏省镇江市高一下学期期末数学试题

一、单选题

1.正“3C的边长为1,则方•就=（）

_1_V3g1

A.2B.2C.2D.2

D

【分析】根据数量积公式，展开求值，即可得答案.

ABAC=Us|-Uc|cosJ=Ixlxcos60°=—

【详解】由题意得Illi2

故选：D

/（x）=2sin（x——7T）

2.下列区间中,函数6单调递减的是（)

（3%/3兀仁、

A.吗B.1㈤（兀，丁）（彳,2兀）

C.2D.

C

【分析】先求出函数的递减区间，然后逐个分析判断即可

7C_.TC3冗_.._

--F2k7T<X--4---FZkjT、4£Z

【详解】由262，得

+2k兀<x<—+2k兀、”£Z

334

4乃712454

当人二-1时、其递减区间为13'工当左二°时，其递减区间为I3'3一

8万1\71

当左=1时，其递减区间为I3'31，

/八兀\/九\/3兀个、/3兀、

、（0,—）（不冗）（—,2K）（冗，7"）

所以“X）在2,2,2上不递减，在2上单调递减，

故选：C

3.已知〃，6为异面直线，aua,bu。,aCl4=c,则直线c一定（）

A.同时和直线〃，6相交B.至少与直线a,b中的一条相交

C.至多与直线a,b中的一条相交D.与直线a,b中一条相交，一条平行

B

【分析】根据两平交，交线不能同时与a力两异面直线平行即可得解.

【详解】因为。ua,bu[i,«n^=c,a,b为异面直线，

所以c不可以与a，鼠都平行，否则.力平行，与凡6为异面直线矛盾，

故c至少与直线a,6中的一条相交.

故选：B

4.已知加，“是空间中两条不同的直线，«,夕是空间中两个不同的平面，则下列说法

中，正确的个数是()

(1)若加Lz,tn邛,则a〃6；(2)若加/a,nila,则加〃〃；

(3)若/n_La,则，〃//"；(4)若机la,〃邛,a邛,则，？2〃〃.

A.1B.2C.3D.4

B

【分析】由面面平行的判定定理可判断(1),根据线面平行及线线的位置关系判断

(2),根据线面垂直的性质定理判断(3),利用反证法可判断(4).

【详解】对于(1)：若加la,,近夕，由垂直于同一直线的两个平面平行知故正

确；

对于(2)：若〃〃/a,nila,则加与“相交、平行或异面，故错误；

对于(3)：若加nla,由垂直于同一平面的直线平行知加〃〃，故(3)正确；

对于(4)：若〃?la,nl[),a_L夕，则加//"不正确，若加〃"可得'夕由(1)

知a/啰，与aJ.4矛盾，故(4)错误；

故选：B

5.某人向东偏北60。方向走50步，记为向量环向北偏西60。方向走100步，记为向

量凡向正北方向走200步，记为向量以假设每步的步长都相等，则向量了可表示为

()

A.2>5a+bB.a+2>/3bc2a+^bDy/3a+2b

A

【分析】由题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解即可.

【详解】如图，由步为单位长度，建立平面直角坐标系，

则a=(50cos60°,50sin60°)=(25,255/3),c=(0,200),

ft=(100cos150°,100sin150°)=(-5073,50),

0=25x-50岛

由c=xa+yb可得1200=25>/Jx+50y,解得x=2>/i,y=l,

所以c=2,3a+6,

故选：A

6.已知48两地的距离为10km,B,C两地的距离为20km,且测得点8对点力和

点C的张角为120。，则点8到NC的距离为()km.

20410万20Vli10币

A.7B.7C.7D.7

B

【分析】由余弦定理求出月C,再由面积等积法求解.

【详解】由余弦定理可得：

AC-=AB'+BC2-2AB-BCcosl20°=102+202-2xl0x20x(-1)=700

即zc=ioJ7,

SA,"=-ABBCsmnO°=--AC-h

所以22,

h_-8•8。sin120°_100百_10历

解得ACio47.

故选：B

2百sin700-百sin10°_

7.计算：cos100()

A.1B.2C.3D.4

c

【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.

【详解】

也]

2百sin70。—6sin]0。2百sin（60。+10°）-百sin]0。器%cos]0。+万sm[0。）-括sm10。

cos10°cos10°cos10°

_3cos10°_3

cos10°,

故选：C

8.斜三棱柱蜴G中，侧面88/GC的面积为S,侧棱/小到侧面88/GC的距

离为。，则该斜三棱柱的体积为（）

—Sa—Sa—

A.6B.3C.2D.Sa

C

【分析】斜三棱柱补形为平行六面体，求平行六面体的体积即可得解.

【详解】在斜三棱柱"sc-44G的一侧补上一个三棱柱"co-4G",使之成为一

个平行六面体如图,

一y——Q、

显然，它的体积为”=aS,所以斜三棱柱"8C-48c的体积为22、.

故选：C

二、多选题

9.高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根

两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作.在表演时，假定演员手中的平衡杆是

笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线（）

A.垂直B.相交C.异面D.平行

AC

【分析】对直线/与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线/垂直；平衡杆所

在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，

则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面若直线与平交，则该直线与平面内

的直线的位置关系：相交或异面；理解判断.

【详解】根据题意可得：

对直线/与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线/垂直，A正确；

平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交

根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行

或异面

若直线与平交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面

C正确；B、D错误；

故选：AC.

10.在下列对A/BC的描述中，能判定A/BC是直角三角形的是()

---------------------2

A.sin2/=sin28B.ACAB^AC

C.A(1,1),B(3,-2),C(4,3)D.△/BC为正方体的某个截面

BC

【分析】对于A：sin2Z=sin28可得2N=28或2/+28=兀，分析得4/BC是等腰三角

形或直角三角形；对于B：整理可得'。十一"°)=°,利用向量减法得就•至=°,

即刀,而；对于c：利用两点间距离公式求三边长度为：

\AB\=^3,\AC\=^3,\BC\=426再根据勾股定理说明；对于D：正方体的截面有：

三角形、四边形、五边形和六边形，其中三角形有：等边三角形、等腰三角形和锐角

三角形，没有直角三角形.

【详解】sin2J=sin2^,则24=28或2/+28=兀

A+B=-

即4=8或2,则A/BC是等腰三角形或直角三角形，A错误；

AC.AB=AC2,则万.西-司

.-.ACCB=0,即就"!•瓦，则2U8C是直角三角形，B正确；

A(1,1),B(3,-2),C(4,3),则网=历|/=屈,忸牛商

.』Z8『+"。「=忸。「，则△/BC是直角三角形，C正确；

正方体的截面有：三角形、四边形、五边形和六边形，其中三角形有：等边三角形、

等腰三角形和锐角三角形，没有直角三角形，D错误；

故选：BC.

11.tan75°=()

，l+cosl50。sin150°

A.2+GB.v1-cos150°c.1+cos150°D

tan25°tan35°tan85°

ACD

【分析】根据两角和的正切公式及特殊角的三角函数值判断A,由正切半角公式判断

由tan(60°-a)tan(600+a)tana=tan3a,令a=5°即可判断出

BC,2D.

。一+3

tan75°=tan(450+30°)=⑶必+tan3()=——%=2+73

1-tan45°tan30°〔6

【详解】3，故A正确;

…/l-cosl50°

tan75°=J---------

由正切的半角公式知Vl+cosl500,故B错误;

__sin75°2sin75°cos75°sin150°

tan750o=------=-------；------=----------

cos75°2cos"75°l+cosl50°,故C正确；

,tan(60°-a)tan(60°+a)tana=tan3a,令&=25°,得tan75°=tan25°tan35otan850,

可得D正确.

故选：ACD.

12.棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为a,两相邻侧面所成的

二面角大小为小不相邻两侧面所成的二面角大小为y,则（）

A.p=2aB.y=2aC.p+y=7t

D.cos2a+cos^=0

ACD

【分析】在正四棱锥中分别找到或作出生/，？，求出三角函数值，利用三角函数值判

断它们的关系即可.

【详解】设正四棱锥的棱长为2,连接相交于°,取/民PRBC,/。的中点分

别为E,F,M,N,连接PE,E。,MN,AF,CF,FO,如图

p

由棱长都相等正四棱锥可知，尸°，平面”8C。，PELAB,EO1ABt

AFLPD,CFLPD,所以NPEO=a,々FC=。

CF=AF=PE=2x—=y/3,PO=^/2,OC=s/2

又2,OE=1,

历「00cy/241/r8

tana=—=V21211不=奇=1=方彳=&a=P_

故i,2"JPO-PFV2-1，所以2,即

夕=2a,故A正确：

由对称性知，不相邻的侧面所成角为侧面48与面PMN所成角的2倍，

YOPV1

cos==2

故72PE~~G7^3,所以co,s/=2cos-2-1=-3,t.any=2Cj/2T,

tan2a=女3=-2&

而1-tan%,故7=2",故B错误；

因为tan/?=tan2a=-2&,tany=2应，所以？+/=%故C正确；

cos2a=-cos2a+cosB=cos2a+cos2a=3cos2a-\=3x--l=0

因为3,所以3,故D正

确.

故选：ACD

三、填空题

.乃71

sin-"cos—=

13.求值：88.

V2

4

【分析】根据二倍角的正弦公式逆用，计算即可得答案.

.乃71I\.71V2

sm--cos—=—sin2x—=—sm—=——

【详解】由题意得882I8)244.

也

故4

14.请写出一个定义域为R,周期为兀的偶函数.

/(x)=cos2x(不唯一)

【分析】根据三角函数的性质即可求解.

7=如=兀

【详解】根据三角函数的性质，函数〃x)=cos2x周期为R,周期为2，符合

要求.

故f(x)=cos2x(不唯一)

15.一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为24%的球面上，则该四面体的体积为

\6母3夜

33

【分析】设正四面体的棱长为“，外接球半径为R,画出正四面体的图形，则在

RtZXOBM中，由0.2+8^2=082,可求出0,从而可求出该四面体的体积

【详解】设正四面体的棱长为。，外接球半径为尺,

如图正四面体Z8CO中，E为8的中点，M为△8CO的中心，连接则

平面8CO,。为正四面体48co外接球的球心，连接°6,

2„„2V3V3

则3323,

AM=JAB?—BM?=.la2——a2=-^-a

所以193,

因为正面体外接球的表面积为24乃，所以4乃2=24»，得氏=逐,

所以20=08=A/6,

0M=AM-OA=

所以

在RtZXOBM中，0M2+BM2=0B2,

则I3JI3J,解得。=4或。=0(舍去),

2

-5BCD-4M=-x^-x4x^-x4=-V2

所以该四面体的体积为33433

1672

故3

四、双空题

16.已知腰长为2拒的等腰直角△月BC,现沿斜边8c上的高力。翻折，使得二面角

B-AD-C的大小为60。，则点B到AC的距离为.；异面直线Z8与C£）所成角

的余弦值为

里雨脸五

【分析】根据折前折后不变的数量关系，二面角的平面角，利用等面积法求高，根据

向量法求异面直线所成角的余弦即可.

【详解】如图，

图②

图①中，由题意，4B=AC=2插，NBAC=90°,所以8C=280=CD=4

因为8cAD,CD1AD,所以为二面角B~AD~C的平面角,

即N8Z)C=60。，所以图②中8c=2,设点8到4c的距离为我

I~\~BC,,2x77714

BC-.AB2-(—)2=AC-hh=-3=-=—

由三角形面积可知V2，即2V22.

设异面直线AB与CD所成角为°,

•:AB=AD+DB,ADVDB,ADVDC

—>—>—>—>—>—>—>

・•・AB,CD=(AD+DB)•CD=DB-CD=2x2xcosl20。=-2

廊.西20

cos0=__■1.=-f=—=—

|JS||CZ)|2V2x24

714V2

故2；4.

五、解答题

17.已知平面直角坐标系中，向量,=(1，-2)1=(-3,4).

(1)若行"("，),且同=2,求向量，的坐标;

(2)若值与G+4否的夹角为,求实数2的取值范围.

请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答.

⑴(。，2)或(0，-2)

(—co,0)uf0,—|

(2)若选①锐角，2的取值范围为II1人若选②钝角，2的取值范围为

【分析】(1)设c=(xj),先求得才+书坐标，根据向量平行的坐标关系，可得x值,

根据求模公式，可得y值，即可得答案.

(2)先求得1+花坐标，求得"与"共线时的2值，若选①锐角，则

啖+泥)>0,即可得人范围；若选②钝角，则啖+4)<°,即可得彳范围.

【详解】⑴设)=(2),由题意得3£+[=(0,-2),

E“c//(ia+b'\

因为、人

所以-2-x=0j,解得x=0,

又同=2,

所以&+/=|小2,解得了=±2,

所以向量[的坐标为32)或(0,-2)

(2)a+'b=(1—34,—2+4/1)

当。与2+与共线时,lx(-2+42)=(1-32)x(-2),解得/=(),

若选①锐角，则"+0)力(心)+(-2)«2+43。

Z<—

解得“，

(一8,0)D(o3

所以若五与5+万的夹角为锐角时，力的取值范围为

若选择②钝角，贝10叫W)+(-2)x(_2+M<。

A>—

解得“，

A

所以若a与a+把的夹角为钝角时，7的取值范围为

sina+cosaIT

3ae(0,-)

18.已知sina-cosa

(1)求cos2a的值；

sin(a-/3)=^^-

作(0百

7

(2)若10.且2,求角人

_3

(1)5；

71

(2)4.

【分析】(1)根据条件由同角三角函数的基本关系求出tana,再由二倍角的余弦公式

转化为正切化简求值:

(2)利用角的变换#=&-9-夕)及两角差的正弦公式求解即可.

sina+cosa.

--------------=3

【详解】(1)由sina—cosa可得sina+cosa=3sina—3cosa,gptana=2

_cos2a-sin2a1-tan2a1-43

/.cosla=——；-------------=-------------=------=——

cos*'a+sina1+tana1+45

•.“(0百匹(0,9

⑵2.2,

-y<«-/?<yvsin(a-^)=-^y-cos(a一夕)=

n2275175

•・•ae(0,—)-sma--f==——,cosa=-f==—

由⑴知tana=2,2,<55V55

?.sin[}=sin[a一(a-〃)]=sinacos(a一2)一cosasin(a-0)

2753A/10V5V1072

=---------X-------------------------X----------=--------

5105102,

加(09

19.如图，在三棱柱力8cg中,侧面如CGB/是菱形,AC1BC,.

(1)求证：BCJ4B]；

(2)若侧面4CG小为矩形，AC=6,BC=2.

①求证：平面ZCG41平面BCCB；

②求直线AC,与平面BCCR所成角的正切值.

(1)证明见解析；

⑵①证明见解析②2.

【分析】(1)根据已知及菱形对角线垂直可证出线面垂直，由线面垂直可得线线垂直;

(2)根据线面垂直及面面垂直的判定定理求证①，再由线面角的定义及三角函数求

解②即可

【详解】(1)；侧面BCG8/是菱形，•••BC'BG,

又ACLBCi，BCc"=C,BC、1平面ACB,,

•••AB】u平面ACB,,8G±AB}

⑵①••・侧面/CG4为矩形，-'-Acicci,

■■■AC1BC,,CB\(ICG=C,AC1平面BCC8,

AC

'-u平面ACC,A/,平面NCCM/1平面BCCtBi

②vAC1平面BCC/B1,AC'在平面BCCB上的射影为CG,

・・・直线AC,与平面BCCIBI所成角为/,

tanZJC.C=

1CC[2

7T7T

——<(O<—

20.用“五点法”作函数/(x)=/sin(5+9)CA>0,<o>0,22)的图像.

(1)列出下表，根据表中信息.

71

a)x+(p0na27r

2

X13b79

f(x)020c0

①请求出43,夕的值；

②请写出表格中a,b,c对应的值；

③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数y=/(x)一个周期内的图像；

71

CD=—

⑵当4时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为8,C,D,E,F,其中C,E

点分别是图象上的最高点与最低点，当ABCE为直角三角形,求力的值.

兀兀3兀

(1)①2,4,-4;@2,5,-2；③图象见解析：

⑵4=2或"=2四

【分析】(1)根据表格代入，利用待定系数法求解即可；

(2)根据点的坐标，写出向量，利用向量求解即可.

【详解】(1)①由表格可知，/=2,

G+e=o

;।兀71兀

由12,解得4,4,

,兀.兀

a)・b+(p=—b——二式

②44,.-.b=5,

r兀兀3兀

a=7x——c=2sin—=-2

当x=7时,442,2

③作出一个周期的图象，如图，

(2)'4,4,则8。0,0)(1+2,4),£(%+6,-4),

当ABCE为直角三角形时，8cd=(2,/)-(4,-2/)=8-21=0,解得［=2.

—>—>

BCBE=(2,A)(6,-A)=12-A2=O解得Z=2行，

—>—>

C£8E=(6,-N>(4,-24)=24+21HO

综上，/=2或4=26.

21.某景区的平面示意图为如图的五边形N8CDE,其中8£),8E为景区内的乘车观光

游览路线，ED,DC,CB,BA,NE是步行观光旅游路线(所有路线均不考虑宽度)，

经测量得：488=135°,乙B4E=120°,"80=30°,CD=3近,DE=8,且

3

cosNDBE=—

5

(1)求3E的长度；

(2)景区拟规划△/BE区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域△Z8E面积最大,

并求此最大值.

(1)10

_1073

(2)当步行观光旅游路线一一3时，种植区域△N8E面积最大，且最大值为

25立

3

【分析】(1)在△80中，根据正弦定理，可得8。的长，在中，根据余弦定

理，即可得答案.

ABxAE<—

(2)在△/8E中，由余弦定理及基本不等式，可得3,代入面积公式，

即可得答案.

CDBD

【详解】(1)在△8。中，由正弦定理得sinNCS。sin/BCD

fCDsin/BCD/

DD=-----------------------=6

所以sinZ.CBD

…厂BD2+BE2-DE23

cosZ.DBE=---------------------=—

在ABOE中，由余弦定理得2xBDxBE5,

336+8炉-6414

_—___________R卜,—

所以52x6xBE,解得8E=10或5（舍）

AB2+AE2-BE21

cos/.BAE=--------------------=

(2)在△/BE中，由余弦定理得IxABxAE2,

+AE2=W0-ABxAE>2ABxAE,

ABxAE<—

所以3

,D_“JO百

AD=AE=------

当且仅当3时等号成立，

1../DAT?25^3

Sc=—xABDxAErxsm/BAE=------

此时△ABE面积最大值23

g_1073

所以当步行观光旅游路线一一3时，种植区域△Z8E面积最大，且最大值为

25后

3

22.如图，在四棱锥尸一45CD中，PB=PD,PAA.PC,M,N分别为P/,8c的中点

底面四边形49CL)是边长为2的菱形，且ZD48=6O。，NC交8。于点0.

A

⑴求证：MMI平面PC。；

C=1

COSU---

(2)二面角B-PC-D的平面角为仇若7.

①求尸工与底面所成角的大小；

②求点N到平面CDP的距离.

(1)证明见解析；

叵

⑵①60。②〒.

【分析】(1