2019年江苏省连云港市中考数学试卷及答案解析

2019年江苏省连云港市中考数学试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）-2的绝对值是（）

11

A.-2B.C.2D.一

一工2

2.（3分）要使Vx-1有意义，则实数X的取值范围是（）

A.B.x20C.X2-1D.xWO

3.（3分）计算下列代数式,结果为小的是（)

A.7+x3B.C.x6-xD.2?-A-5

4.（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）

5.（3分）一组数据3,2,4,2,5的中位数和众数分别是（）

A.3,2B.3,3C.4,2D.4,3

6.（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，

“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形

与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）

A.①处B.②处C.③处D.④处

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7.（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场A8CD,其中NC=120。.若新建

8.（3分）如图，在矩形A8CD中，AD=2y[2AB.将矩形ABC。对折，得到折痕MN；沿着

CM折叠，点。的对应点为E,ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM

重合，折痕为MP,此时点8的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点

C、E、G不在同一条直线上；③PC=苧MP；④BP=^AB；⑤点F是△CMP外接圆的

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.（3分）64的立方根为.

10.（3分）计算（2-x）2=.

11.（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科

学记数法可表示为.

12.（3分）一圆锥的底面半径为2,母线长3,则这个圆锥的侧面积为.

13.（3分）如图，点A、B、C在。。上，BC=6,NBAC=30°,则。。的半径为.

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14.（3分）已知关于x的一元二次方程af+M+z-cuO有两个相等的实数根，则工+c的值

a

等于.

15.（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标

注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连

接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐

标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水

平方向开始，按顺时针方向），如点4的坐标可表示为（1,2,5）,点8的坐标可表示为

（4,1,3）,按此方法，则点C的坐标可表示为.

16.（3分）如图，在矩形A8CO中，43=4,AD=3,以点C为圆心作OC与直线8。相切,

点P是OC上一个动点，连接4P交8。于点T,则二的最大值是.

三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算（-1）X2+V4+（-）I

3

18.（6分）解不等式组产＞一.

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m7

分)化简(岛)•

19.(62+1+

m-4租一2

20.(8分)为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，

根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2〜4小时(含2小时)，4〜6小时(含

4小时)，6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图.

课外阅读时长情况条形统计图课外阅读时长情况扇形统计图

(1)本次调查共随机抽取了名中学生，其中课外阅读时长“2〜4小时”的有

人；

(2)扇形统计图中，课外阅读时长“4〜6小时”对应的圆心角度数为°；

(3)若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时

的人数.

21.(10分)现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，3盒

中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同.现

分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球.

(1)从4盒中摸出红球的概率为;

(2)用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.

22.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC.将△ABC沿着BC方向平移得到其中

点E在边BC上，OE与4c相交于点O.

(1)求证：aOEC为等腰三角形；

(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AEC。为矩形，并说明理由.

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D

23.（10分）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3

万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、

乙两种产品获得的总利润为y（万元）.

（1）求y与x之间的函数表达式;

（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产I吨乙产品需要A原料0.5吨.受

市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙

两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.

24.（10分）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻,

哨所A与哨所3同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨

所B南偏东37°的方向上.

（1）求观察哨所4与走私船所在的位置C的距离;

（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派

缉私艇沿北偏东76。的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦

截.（结果保留根号）

43

cos37°=sin53°右工，tan37°*彳，tan76°24)

□4

25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=-x+6的图象与函数（x<0）

的图象相交于点A（-1,6）,并与x轴交于点C.点。是线段AC上一点，XODC与X

OAC的面积比为2：3.

(1)k=b=

（2）求点D的坐标;

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(3)若将△OOC绕点。逆时针旋转，得到△OOC,其中点。落在x轴负半轴上，判断

点。是否落在函数)，=[(x<0)的图象上，并说明理由.

26.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Li：y=/+bx+c过点C(0,-3),

与抛物线上：y=—罗—|x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P、。分别是抛

物线Li、工2上的动点.

(1)求抛物线L\对应的函数表达式；

(2)若以点A、C、P、。为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点尸的坐标；

(3)设点R为抛物线Li上另一个动点，且C4平分NPCR.若OQ〃PR,求出点。的

27.(14分)问题情境：如图1,在正方形ABC。中，E为边BC上一点(不与点8、C重合)，

垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE.CD于点M、P、N.判断线段。MMB、EC

之间的数量关系，并说明理由.

问题探究：在“问题情境”的基础上.

(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点，连接8。，交MN于点Q,连接E。，并延长

交边AQ于点F.求NAEF的度数；

(2)如图3,当垂足P在正方形A8C£>的对角线上时，连接AM将沿着AN

翻折，点P落在点P'处，若正方形ABC。的边长为4,A。的中点为S,求P5的最小值.

问题拓展：如图4,在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边48、CD上的点,

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将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边8C恰好经过点A,CN交4。于点F.分

别过点A、/作AG_LMN,FH1MN,垂足分别为G、H.若AG=|,请直接写出77/的

长.

C

图1图2图3图4

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2019年江苏省连云港市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1.（3分）-2的绝对值是（）

11

A.-2B.-4C.2D.-

22

【解答】解:因为|-2|=2,

故选：C.

2.（3分）要使斤7有意义，则实数x的取值范围是（）

A.B.C.x2-1D.xWO

【解答】解：依题意得x-120,

故选：A.

3.（3分）计算下列代数式，结果为小的是（）

A.f+x3B.x'x5C.x6-xD.2X5-x5

【解答】解：A、/与％3不是同类项，故不能合并同类项，故选项A不合题意;

B、炉/=/，故选项8不合题意;

C、）与x不是同类项，故不能合并同类项，故选项C不合题意；

D、2X5-故选项。符合题意.

故选：D.

4.（3分）一个几何体的侧面展开图如图所示，则该几何体的底面是（）

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【解答】解：由题意可知，该儿何体为四棱锥，所以它的底面是四边形.

故选：B.

5.（3分）一组数据3,2,4,2,5的中位数和众数分别是（）

A.3,2B.3,3C.4,2D.4,3

【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：2,2,3,4,5,

中位数为：3,众数为：2.

故选：A.

6.（3分）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则,

“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形

与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）

A.①处B.②处C.③处D.④处

【解答】解：帅"、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2遍、

4夜；

“车”、“炮”之间的距离为1,

“炮”②之间的距离为有，“车”②之间的距离为2夜，

..V52y[21

"275-472-2

...马应该落在②的位置，

故选:B.

7.（3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABC。，其中NC=120。.若新建

墙BC与C£＞总长为12/M,则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）

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A.18;n2B.18V3w2C.2473/«2D.”遗机？

2

【解答】解：如图，过点C作CE_LA8于E,

则四边形AOCE为矩形，

：.CD=AE,NDCE=NCEB=90°,

设CD^AE^xm,

则/8CE=NBCO-/OCE=30°,BC=(12-x)m,

在RtaCBE中，VZC£B=90°,

11

：.BE=^BC=(6-/)m,

：.AD=CE=V3BE=(6V3-^A)m,AB=AE+BE=x+6-1x=(g+6)m,

.•.梯形ABC。面积S=^CD+AB>CE=如+3+6*6火一空x)=—萼7+3昼+1875=

-誓(x-4)2+24后

.•.当x=4时，5最大=24次.

即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为24e层；

8.（3分）如图，在矩形ABC。中，AD=2&AB.将矩形ABC。对折，得到折痕MN；沿着

CM折叠，点。的对应点为E,ME与BC的交点为尸；再沿着MP折叠，使得AM与EM

重合，折痕为MP,此时点8的对应点为G.下列结论：①是直角三角形；②点

C、E、G不在同一条直线上；③PC=净仍④8。=孝48；⑤点尸是ACMP外接圆的

圆心，其中正确的个数为（）

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D.5个

【解答】解：•••沿着CM折叠，点。的对应点为E,

，.NDMC=NEMC,

.,再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为VP,

*.NAMP=NEMP,

：Z/1MD=180°,

ZPME+ZCME=1x180°=90°,

♦.△CMP是直角三角形；故①正确；

•,沿着CM折叠，点。的对应点为E,

♦./£>=NMEC=90°,

•,再沿着MP折叠，使得AM与重合，折痕为MP,

•./MEG=NA=90°,

,•ZG£C=180°,

♦.点C、E、G在同一条直线上，故②错误;

：AD=2V2AB,

,.设AB=x,则A£>=2岳，

•,将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

\DM=夕。=y/2x,

\CM=VDM2+CD2=V3x,

:NPMC=90°,MNLPC,

\CM2=CN-CP,

,•PN=CP-CN=芍x,

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：.PM=7MN2+PN2=等,

3

4=等3

PMQ

：.PC=V3MP,故③错误;

3

♦:PC=、,

42

•••PB—2—方

ABx

而=落?

2

:.PB=%B,故④正确，

•:CD=CE,EG=ABfAB=CD,

:.CE=EG,

u：ZCEM=ZG=90°,

：.FE//PG,

：.CF=PF,

VZPMC=90Q,

:.CF=PF=MF,

・,•点尸是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确;

故选：B.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.（3分）64的立方根为4.

【解答】解：64的立方根是4.

故答案为：4.

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10.（3分）计算（2-x）2=4-4X+X2.

【解答】解：（2-%）2=22-2X2x+/=4-4x+/.

故答案为：4-4x+/

11.（3分）连镇铁路正线工程的投资总额约为46400000000元，数据“46400000000”用科

学记数法可表示为464X1（）1°.

【解答】解：

科学记数法表示：46400000000=4.64X101（）

故答案为：4.64X1O10

12.（3分）一圆锥的底面半径为2,母线长3,则这个圆锥的侧面积为6n.

【解答】解：该圆锥的侧面积=}x如X2X3=6m

故答案为6n.

13.（3分）如图，点A、B、C在。。上，BC=6,NBAC=30°,则CO的半径为6.

A/

【解答】解：,.•/BOC=2NBAC=60°,XOB=OC,

：./\BOC是等边三角形

：.OB=BC=6,

故答案为6.

14.（3分）已知关于x的一元二次方程a』+2x+2-c=0有两个相等的实数根，则工+c的值

等于，

【解答】解：根据题意得:

A=4-4。(2-c)=0,

整理得：4ac-8。=-4,

4。(c-2)=-4,

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•方程a^+2x+2-c=0是一元二次方程，

."WO,

等式两边同时除以4a得：c-2=—，

1

则一+c=2,

a

故答案为：2.

15.（3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标

注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连

接起来，这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐

标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水

平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1,2,5）,点8的坐标可表示为

（4,1,3）,按此方法，则点C的坐标可表示为（2,4,2）.

oAAAAAAA/\s

876543210

<-

【解答】解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2,4,2）,

故答案为：（2,4,2）.

16.（3分）如图，在矩形A3CD中，A8=4,AD=3,以点C为圆心作OC与直线8。相切,

AP

点P是。C上一个动点，连接AP交8。于点T,则二的最大值是3.

【解答】方法1、解：设（DC的半径为R,

如图，作班）的平行线PE,使PE切。C于P,

则PE与BD的最大距离为2R,

与0c相切，

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.•.点C到的距离为R

，四边形ABCO是矩形，

.•.点A到2。的距离为R,

二点A到PE的最大距离为3R,

4P3R

，二的最大值为"77=3；

ATR

方法2、解：如图，过点A作AGL8。于G,

•:BD是矩形的对角线，

・・.NBAD=90°,

：.BD=y/AD2^-AB2=5,

11

V-ABMD=^BD・AG,

22

•人心

.•AG=号12，

是。C的切线，

12

，。。的半径为三

过点P作PEJ_5Q于E,

・•・/AGT=NPET,

4ATG=/PTE,

：.AAGT^APET,

,AGAT

•・PE~PT"

PT5

—=—xPE

AT12

APAT+PTPT

•・石=^-=1+肝’

Ap

要二最大，则PE最大，

AT

丁点尸是。C上的动点，3。是OC的切线，

・"七最大为OC的直径，即：PE最大=74等,

APQ

・・・而最大值为1+?=3,

/i1'■

故答案为3.

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方法3、解：如图，

过点尸作PE//BD交AB的延长线于E,

：.ZAEP=ZABD,

.APAE

AT~ABJ

VAB=4,

：.AE=AB+BE=4+BE9

APBE

...—=1+—,

AT4

BI,AP,

最大时，一最大，

AT

•••四边形ABC。是矩形，

.•.BC=4O=3,CZ)=AB=4,

过点C作于H,交PE于M,并延长交AB于G,

♦.•8。是G)C的切线，

AZGME=90°,

在RtzXBC。中，BD=7BC2+CD2=5,

■:NBHC=NBCD=90°,NCBH=/DBC,

:.△BHCs^BCD,

<BHCHBC

"BC~DC~BD'

.BHCH3

••-'==一,

345

917

：,BH=I，CH=*

■:/BHG=/BAD=90°,ZGBH=ZDBA,

・△BHGS^BAD,

在RtAGM£中，GM=EG・sinN4EP=EGx^=5EG,

Q

而BE=GE-BG=GE'

q

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，GE最大时，BE最大,

.•.GM最大时，BE最大,

VGM=HG+HM=稔+HM,

即：最大时，BE最大,

延长MC交0c于P,此时，最大=HP，=2C”=甘

123

:.GF=HF+HG=书,

过点P作P,F//BD交AB的延长线于F,

...BE最大时，点E落在点尸处，

即：BE最大=BF,

123

在R"P'F中，FG=^ZF=-^ZABD=^=^

5

:.BF=FG-BG=8,

APQ

，方最大值为1+1=3,

第17页共33页

三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（6分）计算（-1）X2+V4+（-））.

【解答】解：原式=-2+2+3=3.

2x>-4,

18.（6分）解不等式组

1—2(%—3)>x+1.

'2%>-4①

【解答】解:

,l-2(x-3)>x+l@，

由①得，x>-2,

由②得，x<2,

所以，不等式组的解集是-2Vx<2.

9（6分）化简K+g岛）.

【解答】解：原式=_____m______zn-2+2

(m+2)(m—2),m—2

_____m______m

(7n+2)(m—2)'m—2

_____m_____m-2

(m+2)(m-2)Xm

]

771+2*

20.（8分）为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查,

根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2〜4小时（含2小时），4〜6小时（含

4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图.

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课外闻读时长情况条形统计图课外阅读时长情况扇形统计图

（1）本次调查共随机抽取了_独_名中学生，其中课外阅读时长“2〜4小时”的有_40

人；

（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4〜6小时，”对应的圆心角度数为144°；

（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时

的人数.

【解答】解：（1）本次调查共随机抽取了：50・25%=200（名）中学生，

其中课外阅读时长“2〜4小时”的有：200X20%=40（:人），

故答案为:200,40；

（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4〜6小时”对应的圆心角度数为：360°义（1-盖-20%

-25%）=144°，

故答案为：144；

（3）20000X（1—温-20%）=130006）,

答：估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人.

21.（10分）现有A、B、C三个不透明的盒子，A盒中装有红球、黄球、蓝球各1个，B盒

中装有红球、黄球各1个，C盒中装有红球、蓝球各1个，这些球除颜色外都相同.现

分别从A、B、C三个盒子中任意摸出一个球.

（1）从4盒中摸出红球的概率为-；

—3-

（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的三个球中至少有一个红球的概率.

【解答】解：（1）从4盒中摸出红球的概率为点

故答案为：-；

（2）画树状图如图所示:

第19页共33页

共有12种等可能的结果，摸出的三个球中至少有一个红球的结果有10种,

105

摸出的三个球中至少有一个红球的概率为石=

22.(10分)如图，在△ABC中，AB=4C.将△ABC沿着8c方向平移得至1JZSOEE其中

点E在边BC上，OE与AC相交于点。.

(1)求证：aOEC为等腰三角形；

(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时，四边形AEC。为矩形，并说明理由.

【解答】(1)证明：：AB=AC,

：.ZB^ZACB,

△ABC平移得到

：.AB//DE,

：.ZB=ZDEC,

：.ZACB=ZDEC,

：.OE=OC,

即△OEC为等腰三角形；

(2)解：当E为BC的中点时，四边形AECD是矩形,

理由是：：AB=AC,E为BC的中点，

第20页共33页

：.AELBC,BE=EC,

AABC平移得到△£)£'厂,

J.BE//AD,BE=AD,

：.AD//EC,AD=EC,

：.四边形AECD是平行四边形，

VAE±BC,

四边形AEC。是矩形.

23.(10分)某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3

万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元.设该工厂生产了甲产品x(吨)，生产甲、

乙两种产品获得的总利润为y(万元).

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨.受

市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足.求出该工厂生产甲、乙

两种产品各为多少吨时，能获得最大利润.

【解答】解：⑴y=0.3x+0.4(2500-x)=-0.1x+1000

因此y与x之间的函数表达式为：y=-O.lx+lOOO.

(2)由题意得：｛^25005(25°°-~1000

A1000^x^2500

又,：k=-0.K0

.••y随x的增大而减少

.•.当x=1000时，y最大，此时2500-x=1500,

因此，生产甲产品1000吨，乙产品1500吨时，利润最大.

24.(10分)如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里.在某时刻，

哨所A与哨所8同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨

所8南偏东37°的方向上.

(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；

(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派

缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时.，恰好在D处成功拦

截.(结果保留根号)

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43

(参考数据：sin37°=cos53°=|,cos37°=sin53°tan37°«7,tan76°七4)

□4

【解答】解：(1)在△ABC中，N4C8=180°-ZB-ZBAC=180°-37°-53°=90°.

在Rt&WC中，sinB=

Q

.•.AC=AB・sin37°=25x1=15（海里）.

答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里;

(2)过点C作CMLAB于点M,由题意易知，D、C、"在一条直线上.

4

在Rt^AMC中，CM=AC・sinNC4M=15xg=12,

3

AM=AC・cosNC4M=15x1=9.

在中，

.*.ZW=AM・tan76°=9X4=36,

：.AD=>/AM2+DM2=V92+362=9V17,

CD=DM-CM=36-12=24.

249x/17

设缉私艇的速度为x海里/小时，则有77="—，

16X

解得x=6旧.

经检验，x=6g是原方程的解.

答：当缉私艇的速度为6m海里〃卜时时，恰好在。处成功拦截.

25.（10分）如图，在平面直角坐标系xO），中，函数y=-x+6的图象与函数），=[（x<0）

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的图象相交于点A(-I,6),并与x轴交于点C.点。是线段AC上一点，XODC与缸

OAC的面积比为2：3.

(1)k--6,b—5：

(2)求点。的坐标；

(3)若将△ODC绕点0逆时针旋转，得到△O0C,其中点。落在x轴负半轴上，判断

点。是否落在函数)=[(x<0)的图象上，并说明理由.

【解答】解：(1)将A(-1,6)代入y=-x+6,

得，6=1+b,

:.b=5,

k

将4(-1,6)代入y=

得，6=

一1

:・k=-6,

故答案为：-6,5；

(2)如图1,过点。作轴，垂足为"，过点A作轴，垂足为N,

..S^ODC叔CRM2

•一1—，

S^OAC-OCAN3

DM2

••=一,

AN3

又・・•点A的坐标为(-1,6),

:.AN=6,

：.DM=4,即点D的纵坐标为4,

把y=4代入y=-x+5中，

第23页共33页

得，x=1,

：.D(1,4)；

(3)由题意可知，OD'=OD=，0M2+DM2=后,

如图2,过点C作CG_Lr轴，垂足为G,

:S^ODC=S^OD'dy

・・・OC・DM=OQ'・CG,

即5X4=V17CG,

.20E

••CkJ-j-y,

在RtAOCG中，

,：OG=y/OC2-CG2=125-罂=

N1717

.•.C的坐标为(一等，甘然)，

..(5/17..,20/17,,

•I-/X-F-—O,

26.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线Li：y=/+fev+c过点C(0,-3),

与抛物线上：y=-47—|x+2的一个交点为4,且点A的横坐标为2,点P、。分别是抛

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物线％、L2上的动点.

(1)求抛物线L\对应的函数表达式；

(2)若以点A、C、P、。为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；

(3)设点R为抛物线Li上另一个动点，且C4平分NPCR.若OQ〃PR求出点。的

备用图

【解答】解：(1)将x=2代入y=—J?—|x+2,得y=-3,故点A的坐标为(2,-3),

将A(2,-3),C(0,-3)代入y=W+6x+c,得

(-3=22+2b+c解徂@=-2

l-3=0+0+c'解得1=一3'

二抛物线Li：y^x1-2A--3；

(2)如图，设点P的坐标为(x,7-2x-3),

第一种情况：AC为平行四边形的一条边，

①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为(x+2,?-2x-3),

将Q(x+2,x2-2%-3)代入)=一号，_*+2,得

/-lx~3=-2(x+2)--2(x+2)+2,

为军得x=0或x=-1,

因为x=0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去,

此时点尸的坐标为(-1,0)：

C'A

第25页共33页

②当点。在点尸左侧时，则点。的坐标为(x-2,?-2x-3),

将。(%-2,x2-2%-3)代入产-32—去+2,得

x2-2%-3=-(x-2)2-1(x-2)+2,

4

解得，x=3,或户一可

413

此时点尸的坐标为(3,0)或(-4,—)；

39

第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，

由AC的中点坐标为(1,-3),得P。的中点坐标为(1,-3),

故点。的坐标为(2-%,-?+2x-3),

将Q(2-x,-x^+2x-3)代入)=—系―|x+2,得

-x1+2x-3=—(2-x)2—1(2-%)+2,

解得，》=0或彳=-3,

因为x=0时，点尸与点C重合，不符合题意，所以舍去，

此时点P的坐标为(-3,12).

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413

综上所述，点P的坐标为（-1,。）或（3,0）或（-3,至）或（-3,⑵;

（3）当点尸在y轴左侧时，抛物线Li不存在点R使得C4平分/尸CR,

当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在。的下方，

过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T,

过点P作PHLTR于点H,则有/PSC=/RTC=90°,

由C4平分/PCR,得/PCA=/RCA,则NPCS=NRCT,

:APSCS/XRTC,

.PSRT

•.=,

CSCT

2_2X_

设点P坐标为（xi，一2/一3）,点R坐标为（X2，%22

%i%2

—2%i-3—（―3）—3—（%22—2%2—

整理得，X1+X2—4,

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在Rt/XPRH中，tan/PRH=需==x+x2=2

RH吗一犯

过点。作QK_Lx轴于点K,设点。坐标为（〃?，-1m2-|m+2）,

若OQ//PR,则需N20K=NPR〃，

所以tanNQOK=tanNPR”=2,

1o

所以2m=-2JTi2~2m+2,

所以点Q坐标为一-~■，-7+病)或(---,-7-V65).

27.(14分)问题情境：如图1,在正方形A8CO中，E为边8c上一点(不与点B、C重合)，

垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE,CD于点M、P、N.判断线段DV、MB、EC

之间的数量关系，并说明理由.

问题探究：在“问题情境”的基础上.

(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点，连接2£),交MN于点Q,连接EQ,并延长

交边4。于点F.求NAEr的度数；

(2)如图3,当垂足P在正方形48C3的对角线BO上时，连接4M将AAPN沿着AN

翻折，点P落在点P'处，若正方形ABC。的边长为4,AD的中点为S,求PS的最小值.

问题拓展：如图4,在边长为4的正方形ABCO中，点M、N分别为边AB、CC上的点，

将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边BC恰好经过点4,CW交AD于点、F.分

别过点A、尸作AGLMMFHLMN,垂足分别为G、H.若4G=5，请直接写出F”的

【解答】问题情境：

解：线段£W、MB、EC之间的数量关系为：DN+MB=EC；理由如下:

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•••四边形ABC。是正方形，

:.NABE=NBCD=90°,AB=BC=CD,AB//CD,

过点8作8/〃MN分别交AE、C£＞于点G、F,如图1所示：

四边形MBFN为平行四边形，

:.NF=MB,

J.BFLAE,

：.ZBGE=90°,

AZCBF+ZAEB=90°,

；NBAE+NAEB=90°,

；.NCBF=NBAE,

(/.BAE=乙CBF

在△ABE和△BC尸中，lA