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文档简介
河北省大名县2023届高三数学上学期第二次月考试题文一、选择题(本大题共15小题,每题4分,共60分)1.设a∈R,假设复数z=〔i是虚数单位〕的实部为,那么a的值为〔〕
A.
B.
C.-2
D.22.全集U=R,集合A={x|x2>4},B={x|≤0},那么〔∁UA〕∩B等于〔〕
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-3≤x<2}
C.{x|-2≤x<2}
D.{x|-3≤x≤2}3.“x>3”是“〞的〔〕
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件4.命题p:假设a<b,那么∀c∈R,ac2<bc2;命题q:∃x0>0,使得x0-1+lnx0=0,那么以下命题为真命题的是〔〕
A.p∧q
B.p∨〔¬q〕
C.〔¬p〕∧q
D.〔¬p〕∧〔¬q〕5.函数f〔x〕=Asin〔ωx+φ〕〔A>0,ω>0,0<φ<〕的局部图象如下图,f〔〕=-,那么f〔〕等于〔〕
A.-B.-C.-D.6.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,假设bcosC+ccosB=2acosA,那么A=〔〕
A.B.C.D.或7.如图,△OAB,假设点C满足,那么=
〔〕
A.B.C.D.8.九章算术中一文:蒲第一天长3尺,以后逐日减半;莞第一天长1尺,以后逐日增加一倍,那么〔〕天后,蒲、莞长度相等?参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771,结果精确到0.1.〔注:蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍.〕
9.{an}是等比数列,其中a1,a8是关于x的方程x2-2xsinα-sinα=0的两根,且〔a1+a8〕2=2a3a6+6,那么锐角α的值为〔〕
A.B.C.D.10.设a=21.5,b=log1.5,c=〔〕1.5,那么a,b,c大小关系〔〕
A.a>c>b
B.c>a>b
C.a>b>c
D.b>a>c11.函数f〔x〕=2sinxsin〔x+3φ〕是奇函数,其中,那么函数g〔x〕=cos〔2x-φ〕的图象〔〕A.关于点对称
B.关于轴对称
C.可由函数f〔x〕的图象向右平移个单位得到
D.可由函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到12.数列{an}满足a1a2a3…an=2〔n∈N*〕,且对任意n∈N*都有++…+<t,那么t的取值范围为〔〕
A.〔,+∞〕
B.[,+∞〕
C.〔,+∞〕
D.[,+∞〕13.关于x的不等式x2-4ax+3a2<0〔a<0〕的解集为〔x1,x2〕,那么的最大值是〔〕
A.B.C.D.14.函数y=是偶函数且在[0,+∞〕上单调递增,那么以下说法中正确的选项是〔〕
A.ef〔1〕<f〔2〕
B.e3f〔-1〕>f〔2〕
C.e2f〔-1〕<f〔1〕
D.ef〔-2〕<f15.假设函数f〔x〕=有最大值,那么实数a的取值范围是〔〕
A.B.C.[-2,+∞〕
D.二、填空题(本大题共5小题,每题4分,共20分)16.方程4x-2x+1-3=0的解是______.17.在集合A={〔x,y〕|0≤x≤2,0≤y≤1}中任取一点P,那么点P恰好取自曲线y=-|x-1|+1与坐标轴围成的区域内的概率为______.18.△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.假设〔a+b-c〕〔a+b+c〕=ab,那么角C=______.19.向量与向量的夹角为120°,假设向量=+,且,那么的值为____________.20.奇函数f〔x〕是定义在〔-3,3〕上的减函数,且满足不等式f〔x-3〕+f〔x2-3〕<0,那么不等式解集______.三、解答题(本大题共5小题,每题12分,共60分)21.数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,Sn-4Sn-1-2=0〔n≥2,n∈Z〕.
〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式;
〔Ⅱ〕令bn=log2an,Tn为{bn}的前n项和,求证<2.22.由于研究性学习的需要,中学生李华持续收集了“微信运动〞团队中特定20名成员每天行走的步数,其中某一天的数据记录如下:
5860
6520
7326
6798
7325
8430
8215
7453
7446
6754
7638
6834
6460
6830
9860
8753
9450
9860
7290
7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表〔设步数为x〕组别步数分组频数A5500≤x<65002B6500≤x<750010C7500≤x<8500mD8500≤x<95002E9500≤x<10500n〔Ⅰ〕写出m,n的值,假设该“微信运动〞团队共有120人,请估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数;
〔Ⅱ〕记C组步数数据的平均数与方差分别为v1,,E组步数数据的平均数与方差分别为v2,,试分别比拟v1与v2,与的大小;〔只需写出结论〕
〔Ⅲ〕从上述A,E两个组别的步数数据中任取2个数据,求这2个数据步数差的绝对值大于3000步的概率.
23.如图,将直角△ABC沿着平行BC边的直线DE折起,使得平面A′DE⊥平面BCDE,其中D、E分别在AC、AB边上,且AC⊥BC,BC=3,AB=5,点A′为点A折后对应的点,当四棱锥A′-BCDE的体积取得最大值时,求AD的长.
24.如图,F1、F2是椭圆G:的左、右焦点,直线l:y=k〔x+1〕经过左焦点F1,且与椭圆G交于A、B两点,△ABF2的周长为.
〔Ⅰ〕求椭圆G的标准方程;
〔Ⅱ〕是否存在直线l,使得△ABF2为等腰直角三角形?假设存在,求出直线l的方程;假设不存在,请说明理由.
25.函数f〔x〕=,g〔x〕=1-ax2.
〔1〕假设函数f〔x〕和g〔x〕的图象在x=1处的切线平行,求a的值;
〔2〕当x∈[0,1]时,不等式f〔x〕≤g〔x〕恒成立,求a的取值范围.
四、请考生在26-27中任选一题作答选修【4-4】26.曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为〔t为参数〕,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线C2:ρ=2cosθ-4sinθ
〔1〕将C1的方程化为普通方程,并求出C2的平面直角坐标方程
〔2〕求曲线C1和C2两交点之间的距离.
选修【4-5】27.函数f〔x〕=2|x+1|+|x-a|〔a∈R〕.
〔1〕假设
a=1,求不等式
f〔x〕≥5的解集;
〔2〕假设函数f〔x〕的最小值为3,求实数
a的值.
高三文科数学答案和解析【答案】
1.D
2.A
3.A
4.C
5.A
6.B
7.D
8.C
9.C
10.A
11.B
12.D
13.D
14.A
15.A
16.x=log2317.18.19.20.〔2,〕
21.解:〔Ⅰ〕当n≥3时,可得Sn-4Sn-1-2-〔Sn-1-4Sn-2-2〕=0〔n≥2,n∈Z〕.∴an=4an-1,
又因为a1=2,代入表达式可得a2=8,满足上式.
所以数列{an}是首项为a1=2,公比为4的等比数列,故:an=2×4n-1=22n-1.
〔Ⅱ〕证明:bn=log2an=2n-1.
Tn==n2.
n≥2时,=<=.≤1++…+=2-<2.
22.解:〔Ⅰ〕利用对这20个数据按组距1000进行分组,得到m=4,n=2,
估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数为:120×=48人.
〔Ⅱ〕v1<v2,>.
〔Ⅲ〕A组两个数据为5860,6460,E组两个数据为9860,9860任取两个数据,可能的组合为〔5860,6460〕、〔5860,9860〕、〔5860,9860〕、
〔6460,9860〕、〔6460,9860〕、〔9860,9860〕,共6种结果
记步数差的绝对值大于3000为事件A
A={〔5860,9860〕、〔5860,9860〕、〔6460,9860〕、〔6460,9860〕}共包括4种结果
所以.
23.解:由勾股定理得AC=4,设AD=x,那么CD=4-x.
因为△AED∽△ABC,所以,
那么四棱锥A′-BCDE的体积为:,
所以,
当时,V′〔x〕>0,V〔x〕递增;
当时,V′〔x〕<0,V〔x〕递减.
故,
故时,V〔x〕取得最大值.
24.解:〔Ⅰ〕设椭圆G的半焦距为c,因为直线l与x轴的交点为〔-1,0〕,故c=1.
又△ABF2的周长为,即,故a=.
所以,b2=a2-c2=3-1=2.
因此,椭圆G的标准方程为;
注:本小题也可以用焦点和离心率作为条件,即将周长换离心率.
〔Ⅱ〕不存在.理由如下:先用反证法证明AB不可能为底边,即|AF2|≠|BF2|.
由题意知F2〔1,0〕,设A〔x1,y1〕,B〔x2,y2〕,假设|AF2|=|BF2|,
那么,
又,,代入上式,消去,得:〔x1-x2〕〔x1+x2-6〕=0.
因为直线l斜率存在,所以直线l不垂直于x轴,所以x1≠x2,故x1+x2=6〔与x1≤,x2≤,x1+x2≤2<6,矛盾〕.
联立方程,得:〔3k2+2〕x2+6k2x+3k2-6=0,
所以=6,矛盾.
故|AF2|≠|BF2|.
再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰.
假设△ABF2为等腰直角三角形,不妨设A为直角顶点.
设|AF1|=m,那么,
在△AF1F2中,由勾股定理得:,此方程无解.
故不存在这样的等腰直角三角形.
注:此题也可改为是否存在直角三角形?会简单一些.改为是否存在等腰三角形那么不易计算,也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形.
25.解:〔1〕f′〔x〕=,f′〔1〕=-,
g′〔x〕=-2ax,g′〔1〕=-2a,
由题意得:-2a=-,解得:a=;
〔2〕当x∈[0,1]时,不等式f〔x〕≤g〔x〕恒成立,
即1-a≥在[0,1]恒成立,
令h〔x〕=,x∈[0,1],
那么h′〔x〕=≥0,
故h〔x〕在[0,1]递增,
故h〔x〕≤h〔1〕=,
故1-a≥,解得:a≤.
26.解:〔1〕曲线C1在平面直角坐标系中的参数方程为〔t为参数〕,消去参数t可得普通方程:y=2x-1.
由曲线C2:ρ=2cosθ-4sinθ,即ρ2=ρ〔2cosθ-4sinθ〕,可得直角坐标方程:x2+y2=2x-4y.
〔2〕x2+y2=2x-4y.化为〔x-1〕2+〔y+2〕2=5.可得圆心C2〔1,-2〕,半径r=.
∴曲线C1和C2两交点之间的距离=2=.
27.解:〔1〕当a=1,,当x≥1时,3x+1≥5,即,∴;
当-1<x<1时,x+3≥5,即x≥2,此时x无实数解;
当x≤-1时,-3x-1≥5,即x≤-2,∴x≤-2.
综上所述,不等式的解集为{x|x≤-2,或.
〔2〕当a=-1时,f〔x〕=3|x+1|最小值为
0,不符合题意,
当a>-1时,,∴f〔x〕min=f〔-1〕=1+a=3,此时a=2;
当a<-1时,,f〔x〕min=f〔-1〕=-1-a=3,此时a=-4.
综上所示,a=2或a=-4.
【解析】1.解:a∈R,复数z===+i的实部为,
∴=,解得a=2.
应选:D.
利用复数的运算法那么、实部的定义即可得出.
此题考查了复数的运算法那么、实部的定义,考查了推理能力与计算能力,属于根底题.
2.解:∵全集U=R,集合A={x|x2>4}={x|x>2或x<-2},
B={x|≤0}={x|-3≤x<1},
∴C∪A={x|-2≤x≤2},
∴〔∁UA〕∩B={x|-2≤x<1}.
应选:A.
先分别求出集合A,B,从而求出C∪A,由此能求出〔∁UA〕∩B.
此题考查补集、交集的求法,是根底题,解题时要认真审题,注意补集、交集定义的合理运用.
3.解:“x>3〞⇒“〞;反之不成立,例如取x=-1.
因此“x>3〞是“〞的充分不必要条件.
应选:A.
“x>3〞⇒“〞;反之不成立,例如取x=-1.即可判断出关系.
此题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于根底题.
4.解:假设a<b,那么∀c∈R,ac2<bc2,在c=0时不成立,故p是假命题;
∃x0=1>0,使得x0-1+lnx0=0,故命题q为真命题,
故命题p∧q,p∨〔¬q〕,〔¬p〕∧〔¬q〕是假命题;
命题〔¬p〕∧q是真命题,
应选:C
先判断命题p,q的真假,进而根据复合命题真假判断的真值表,可得答案.
此题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,不等式的根本性质,对数运算等知识点,难度中档.
5.解:由图象得到函数周期为T=2〔〕=π=,所以ω=3,由f〔〕=0得到φ=,
由f〔〕=-,得到Asin〔〕=,所以A=,
所以f〔x〕=sin〔3x+〕,所以f〔〕==;
应选:A.
首先由函数图象求出解析式然后求三角函数值.
此题考查了三角函数图象以及性质;熟练掌握正弦函数的图象和性质是解答的关键.
6.解:∵bcosC+ccosB=2acosA,
∴由正弦定理可得:sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA,
可得:sin〔B+C〕=sinA=2sinAcosA,
∵A∈〔0,π〕,sinA≠0,
∴cosA=,
∴可得A=.
应选:B.
根据正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式化简等式可得sinA=2sinAcosA,结合范围A∈〔0,π〕,求得cosA=,利用特殊角的三角函数值即可得解A的值.
此题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,特殊角的三角函数值的应用,解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦,属于根本知识的考查.
7.解:∵=+=+=+〔-〕=+,
∴λ=,μ=,
∴+=3+=,
应选:D
根据向量的三角形法那么和向量的数乘运算求出λ=,μ=,再代值计算即可.
此题考查了向量的三角形法那么和向量的数乘运算,属于根底题.
8.解:设蒲的长度组成等比数列{an},其a1=3,公比为,其前n项和为An.
莞的长度组成等比数列{bn},其b1=1,公比为2,
其前n项和为Bn.那么An=,Bn=,
由题意可得:=,化为:2n+=7,
解得2n=6,2n=1〔舍去〕.
∴n==1+≈2.6.
∴估计2.6日蒲、莞长度相等,
应选:C
设蒲的长度组成等比数列{an},其a1=3,公比为,其前n项和为An.莞的长度组成等比数列{bn},其b1=1,公比为2,其前n项和为Bn.利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出..
此题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
9.解:∵a1,a8是关于x的方程x2-2xsinα-sinα=0的两根,
∴a1•a8=-sinα,a1+a8=2sinα,
∵〔a1+a8〕2=2a3a6+6,
∴4sin2α=2×〔-sinα〕+6,
即2sin2α+sinα-3=0,α为锐角.
∴sinα=,.
应选:C.
利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值即可得出.
此题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
10.解:a=21.5>2,
b=log1.5<0,
0<c=〔〕1.5<1,
那么a>c>b,
应选:A.
根据对数函数以及指数函数的性质判断大小即可.
此题考查了对数、指数的大小比拟,考查指数函数以及对数函数的性质,是一道根底题.
11.解:函数f〔x〕=2sinxsin〔x+3φ〕是奇函数,其中,
∴y=2sinxsin〔x+3φ〕是奇函数,∴3φ=,φ=,那么函数g〔x〕=cos〔2x-φ〕=cos〔2x-〕.
令2x-=kπ,求得x=+,k∈Z,可得g〔x〕的对称轴为x=+,k∈Z,故A不正确,B正确.
根据函数f〔x〕=2sinxsin〔x+〕=sin2x,故把函数f〔x〕的图象向右平移个单位,可得g〔x〕=cos〔2x-〕的图象,
故C、D均不正确,
应选:B.
利用三角函数的奇偶性求得φ,再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律,判断各个选项是否正确,从而得出结论.
此题主要考查三角函数的奇偶性、对称性,函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律,属于中档题.
12.解:∵数列{an}满足a1a2a3…an=2〔n∈N*〕,
∴n=1时,a1=2;n≥2时,a1a2a3…an-1=,可得an=22n-1.
∴=,数列为等比数列,首项为,公比为.
∴++…+==.
∵对任意n∈N*都有++…+<t,那么t的取值范围为.
应选:D.
数列{an}满足a1a2a3…an=2〔n∈N*〕,n=1时,a1=2;n≥2时,a1a2a3…an-1=,可得an=22n-1.即=,利用等比数列的求和公式与放缩法即可得出.
此题考查了数列递推关系、等比数列的求和公式、放缩法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
13.解:不等式x2-4ax+3a2<0〔a<0〕的解集为〔x1,x2〕,
根据韦达定理,可得:,x1+x2=4a,
那么:=4a+.
∵a<0,
∴-〔4a+〕≥2=,即4a+≤-
故的最大值为.
应选:D.
根据不等式x2-4ax+3a2<0〔a<0〕的解集为〔x1,x2〕,利用韦达定理求出,x1+x2=4a,带入利用根本不等式的性质求解.
此题主要考查了一元二次不等式的应用,以及根与系数的关系,同时考查了根本不等式的性质的运用的能力和计算能力,属于中档题.
14.解:由题意函数y=是偶函数且在[0,+∞〕上单调递增,
∴>,
∴ef〔1〕<f〔2〕,
应选A.
由题意函数y=是偶函数且在[0,+∞〕上单调递增,可得>,即可得出结论.
此题考查函数单调性的运用,考查学生的计算能力,比拟根底.
15.解:由x>a时,f〔x〕=-2x-1递减,可得f〔x〕<-2a-1,无最大值,
函数f〔x〕=有最大值,
可得x≤a时,f〔x〕取得最大值M,且M≥-2a-1,
由f〔x〕=-〔x+1〕•ex的导数为f′〔x〕=-〔x+2〕ex,
可得x>-2时,f′〔x〕<0,f〔x〕递减;x<-2时,f′〔x〕>0,f〔x〕递增.
即有f〔x〕在x=-2处取得极大值,且为最大值e-2.
假设a<-2,那么f〔x〕在〔-∞,a]递增,可得f〔x〕≤f〔a〕=-〔a+1〕•ea,
由题意可得-〔a+1〕•ea≥-2a-1,
即有〔a+1〕•ea-2a-1≤0,
由g〔a〕=〔a+1〕•ea-2a-1的导数为g′〔a〕=〔a+2〕•ea-2<0,〔a<-2〕,
那么g〔a〕在a<-2递减,可得g〔a〕>g〔-2〕=-e-2+3>0,
那么不等式〔a+1〕•ea-2a-1≤0无实数解.
故a≥-2,可得x=-2处f〔x〕取得最大值,且为-e-2,
由-e-2≥-2a-1,
解得a≥--,
综上可得,a的范围是[--,+∞〕.
应选:A.
由x>a时,f〔x〕=-2x-1递减,且无最大值,可得x≤a时,f〔x〕取得最大值M,且M≥-2a-1,求出x≤a时,f〔x〕的导数和单调区间、极大值,讨论a<-2,判断单调性,可得最大值,解不等式判断无解,那么a≥-2,求出最大值,解不等式即可得到所求a的范围.
此题考查分段函数的最值问题,考查转化思想,以及分类讨论思想方法,注意运用导数,求出单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
16.解:∵4x-2x+1-3=0∴〔2x〕2-2×2x-3=0∴〔2x-3〕〔2x+1〕=0∵2x>0∴2x-3=0∴x=log23故答案为x=log23根据指数幂的运算性质可将方程4x-2x+1-3=0变形为〔2x〕2-2×2x-3=0然后将2x看做整体解关于2x的一元二次方程即可.
此题主要考差了利用指数幂的运算性质解有关指数类型的方程.解题的关键是要将方程4x-2x+1-3=0等价变形为〔2x〕2-2×2x-3=0然后将2x看做整体再利用因式分解解关于2x的一元二次方程.
17.解:由,矩形的面积为4×〔2-1〕=4,
阴影局部的面积为=〔4x-〕|=,
由几何概型公式可得此点取自阴影局部的概率等于;
故答案为:.
分别求出矩形和阴影局部的面积,利用几何概型公式,解答.
此题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用;关键是求出阴影局部的面积,利用几何概型公式解答.
18.解:∵〔a+b-c〕〔a+b+c〕=ab,
∴〔a+b〕2-c2=ab,即a2+b2-c2=-ab,
∴cosC==-,
∵C为三角形内角,
∴C=.
故答案为:
利用余弦定理表示出cosC,把等式整理后代入计算求出cosC的值,即可确定出C的度数.
此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解此题的关键.
19.解:由题意可知,∵,∴==0即cos120°=0,故,
故=.
故答案为:20.解:因为f〔x〕是奇函数,所以不等式f〔x-3〕+f〔x2-3〕<0等价为f〔x2-3〕<-f〔x-3〕=f〔3-x〕,
又f〔x〕是定义在〔-3,3〕上的减函数,
所以,即,解得2,
即不等式的解集为〔2,〕.
故答案为:〔2,〕.
利用函数是奇函数,将不等式转化为f〔x2-3〕<-f〔x-3〕=f〔3-x〕,然后利用函数是减函数,进行求解.
此题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,主要定义域的限制.
21.
〔I〕利用数列递推关系、等比数列的通项公式即可得出.
〔II〕利用“裂项求和〞方法、数列的单调性即可得出.
此题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、“裂项求和〞方法、数列的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
22.
〔Ⅰ〕利用对这20个数据按组距1000进行分组,得到m=4,n=2,利用等可能事件概率计算公式能估计该团队中一天行走步数不少于7500步的人数.
〔Ⅱ〕由平均数与方差的性质能比拟v1与v2,与的大小.
〔Ⅲ〕A组两个数据为5860,6460,E组两个数据为9860,9860,任取两个数据,利用列举法能求出这2个数据步数差的绝对值大于3000步的概率.
此题考查频率分布表的应用,考查平均数、方差、概率的求法及应用,涉及到分布频率、概率、平均值、概率等根底知
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