2023中考数学专题突破导学练第27讲与圆有关的计算试题

第27讲与圆有关的计算【知识梳理】知识点一：弧长、扇形的面积1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l＝eq\f(nπr,180).2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．假设扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，那么S＝eq\f(nπr2,360)，或S＝eq\f(1,2)lr.注：公式中的n表示1°的圆心角的倍数，所以不带单位．重点：公式的牢记。难点：灵活运用公式知识点二：圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径等于圆锥的母线长l.假设圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为α，那么α＝eq\f(r,l)·360°，S圆锥侧＝eq\f(1,2)cl＝πrl，S圆锥全＝πrl＋πr2．重点：把握侧面积的计算公式。难点：把握侧面积的计算公式。知识点三：阴影局部的面积1．规那么图形按规那么图形的面积公式去求．2．不规那么图形采用“转化〞的数学思想方法．把不规那么图形的面积采用“割补法〞“等积变形法〞“平移法〞“旋转法〞等转化为规那么图形的面积.重点：规那么图形的熟练求解难点：图形之间的转化【考点解析】考点一：弧长、扇形的面积【例题1】〔2023贵州安顺〕如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE．〔1〕求证：BE与⊙O相切；〔2〕设OE交⊙O于点F，假设DF=1，BC=2，求阴影局部的面积．【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】〔1〕连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCE=90°，再根据垂径定理得到CD=BD，那么OD垂中平分BC，所以EC=EB，接着证明△OCE≌△OBE得到∠OBE=∠OCE=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；〔2〕设⊙O的半径为r，那么OD=r﹣1，利用勾股定理得到〔r﹣1〕2+〔〕2=r2，解得r=2，再利用三角函数得到∠BOD=60°，那么∠BOC=2∠BOD=120°，接着计算出BE=OB=2，然后根据三角形面积公式和扇形的面积公式，利用阴影局部的面积=2S△OBE﹣S扇形BOC进行计算即可．【解答】〔1〕证明：连接OC，如图，∵CE为切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∵OD⊥BC，∴CD=BD，即OD垂中平分BC，∴EC=EB，在△OCE和△OBE中，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切；〔2〕解：设⊙O的半径为r，那么OD=r﹣1，在Rt△OBD中，BD=CD=BC=，∴〔r﹣1〕2+〔〕2=r2，解得r=2，∵tan∠BOD==，∴∠BOD=60°，∴∠BOC=2∠BOD=120°，在Rt△OBE中，BE=OB=2，∴阴影局部的面积=S四边形OBEC﹣S扇形BOC=2S△OBE﹣S扇形BOC=2××2×2﹣=4﹣π．考点二、圆锥的侧面展开图【例1】一个侧面积为16πcm2的圆锥，其主视图为等腰直角三角形，那么这个圆锥的高为4cm．【考点】圆锥的计算；等腰直角三角形；由三视图判断几何体．【分析】设底面半径为r，母线为l，由轴截面是等腰直角三角形，得出2r=l，代入S侧=πrl，求出r，l，从而求得圆锥的高．【解答】解：设底面半径为r，母线为l，∵主视图为等腰直角三角形，∴2r=l，∴侧面积S侧=πrl=2πr2=16πcm2，解得r=4，l=4，∴圆锥的高h=4cm，故答案为：4．类型三：不规那么图形面积的计算【例1】〔2023浙江衢州〕运用图形变化的方法研究以下问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB=10，CD=6，EF=8．那么图中阴影局部的面积是〔〕A．π B．10π C．24+4π D．24+5π【考点】MO：扇形面积的计算；M5：圆周角定理．【分析】作直径CG，连接OD、OE、OF、DG，那么根据圆周角定理求得DG的长，证明DG=EF，那么S扇形ODG=S扇形OEF，然后根据三角形的面积公式证明S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，那么S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆，即可求解．【解答】解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG=90°，那么DG===8，又∵EF=8，∴DG=EF，∴=，∴S扇形ODG=S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD=S△ACD，S△OEF=S△AEF，∴S阴影=S扇形OCD+S扇形OEF=S扇形OCD+S扇形ODG=S半圆=π×52=π．应选A．【中考热点】〔2023•新疆〕如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．〔1〕求证：BE是⊙O的切线；〔2〕当BE=3时，求图中阴影局部的面积．【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算．【分析】〔1〕连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE是⊙O的切线；〔2〕在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影局部的面积．【解答】解：〔1〕如下图，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；〔2〕当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=，∴AC=2AB=2，AO=，∴阴影局部的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．【点评】此题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【达标检测】选择题：1.(2023湖北咸宁)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，假设∠BOD=∠BCD，那么的长为〔〕A．π B． C．2π D．3π【考点】MN：弧长的计算；M6：圆内接四边形的性质．【分析】由圆内接四边形的性质和圆周角定理求出∠A=60°，得出∠BOD=120°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠A=180°，∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，∴2∠A+∠A=180°，解得：∠A=60°，∴∠BOD=120°，∴的长==2π；应选：C．2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，那么图中阴影局部的面积是〔〕A．18﹣9π B．18﹣3π C．9﹣ D．18﹣3π【考点】菱形的性质；扇形面积的计算．【分析】由菱形的性质得出AD=AB=6，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF，图中阴影局部的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积，根据面积公式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=6，∠ADC=180°﹣60°=120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF=AD•sin60°=6×=3，∴图中阴影局部的面积=菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积=6×3﹣=18﹣9π．应选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．3.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，那么图中阴影局部的面积是〔〕A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣〔S扇形OCD﹣S△OCD〕计算即可解决问题．【解答】解：如图连接OD、CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∵BC是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6，∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣〔S扇形OCD﹣S△OCD〕=×6×2﹣×3×﹣〔﹣×32〕=﹣π．应选A．4.〔2023山东临沂〕如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，假设∠ATB=45°，AB=2，那么阴影局部的面积是〔〕A．2 B．﹣π C．1 D．+π【分析】设AC交⊙O于D，连结BD，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，那么可判断△ADB、△BDC都是等腰直角三角形，所以AD=BD=CD=AB=，然后利用弓形AD的面积等于弓形BD的面积得到阴影局部的面积=S△BTD．【解答】解：∵BT是⊙O的切线；设AT交⊙O于D，连结BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，而∠ATB=45°，∴△ADB、△BDT都是等腰直角三角形，∴AD=BD=TD=AB=，∴弓形AD的面积等于弓形BD的面积，∴阴影局部的面积=S△BTD=××=1．应选C．【点评】此题考查了切线的性质，等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是利用等腰直角三角形的性质把阴影局部的面积转化为三角形的面积．二、填空题：5.〔2023.湖南怀化〕如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，那么阴影局部的面积为π﹣2．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】根据∠AOB=90°，OA=OB可知△OAB是直角三角形，根据S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB即可得出结论．【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形．∵OA=2，∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB=﹣×2×2=π﹣2．故答案为π﹣2．6.小丽在手工制作课上，想用扇形卡纸制作一个圣诞帽，卡纸的半径为30cm，面积为300πcm2，那么这个圣诞帽的底面半径为10c【考点】圆锥的计算．【分析】由圆锥的几何特征，我们可得用半径为30cm，面积为300πcm2的扇形卡纸制作一个圣诞帽，那么圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．【解答】解：设卡纸扇形的半径和弧长分别为R、l，圣诞帽底面半径为r，那么由题意得R=30，由Rl=300π得l=20π；由2πr=l得r=10cm．故答案是：10．7.如下图，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60°，在旋转过程中，正方形扫过的面积是2π+2．【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积．【解答】解：∵OA=AC=2，∴AB=BC=CD=AD=，OC=4，S阴影=+=2π+2，故答案为：2π+2．【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理，能够把不规那么图形的面积转换为规那么图形的面积是解答此题的关键．8.如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，那么阴影局部面积是2π〔结果保存π〕．【分析】根据题意有S阴影局部=S扇形BAD﹣S半圆BA，然后根据扇形的面积公式：S=和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．【解答】解：根据题意得，S阴影局部=S扇形BAD﹣S半圆BA，∵S扇形BAD==4π，S半圆BA=•π•22=2π，∴S阴影局部=4π﹣2π=2π．故答案为2π．【点评】此题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径〕，或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．三、解答题9.如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E〔1〕求证：DE=AB；〔2〕以A为圆心，AB长为半径作圆弧交AF于点G，假设BF=FC=1，求扇形ABG的面积．〔结果保存π〕【考点】扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．【分析】〔1〕根据矩形的性质得出∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，求出∠DAE=∠AFB，∠AED=90°=∠B，根据AAS推出△ABF≌△DEA即可；〔2〕根据勾股定理求出AB，解直角三角形求出∠BAF，根据全等三角形的性质得出DE=DG=AB=，∠GDE=∠BAF=30°，根据扇形的面积公式求得求出即可．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠AED=90°=∠B，在△ABF和△DEA中，∴△ABF≌△DEA〔AAS〕，∴DE=AB；〔2〕解：∵BC=AD，AD=AF，∴BC=AF，∵BF=1，∠ABF=90°，∴由勾股定理得：AB==，∴∠BAF=30°，∵△ABF≌△DEA，∴∠GDE=∠BAF=30°，DE=AB=DG=，∴扇形ABG的面积==π．【点评】此题考查了弧长公式，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，矩形的性质的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．10.(2023湖北咸宁)定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形〞．理解：〔1〕如图1，A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形〞〔画出点C的位置，保存作图痕迹〕；〔2〕如图2，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，试判断△AEF是否为“智慧三角形〞，并说明理由；运用：〔3〕如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y=3上的一点，假设在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形〞，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标．【考点】MR：圆的综合题．【分析】〔1〕连结AO并且延