2019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编：指数函数、对数函数与幂函数

13/132019-2021北京重点校高三（上）期中数学汇编指数函数、对数函数与幂函数一、单选题1．（2021·北京四中高三期中）对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（

）A． B．C． D．2．（2021·北京四中高三期中）为了得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度3．（2021·北京一七一中高三期中）基本再生数与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型；描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出，．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（）（

）A．3.5天 B．2.6天 C．1.8天 D．1.2天4．（2021·北京一七一中高三期中）若函数则函数的值域是（

）A． B． C． D．5．（2020·北京四中高三期中）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍6．（2020·北京四中高三期中）已知是上的奇函数，当时,,则的解集是（

）A． B． C． D．7．（2020·北京四中高三期中）已知函数给出下列三个结论：①当时，函数的单调递减区间为；②若函数无最小值，则的取值范围为；③若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且.其中，所有正确结论的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．38．（2020·北京市第十三中学高三期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A． B． C． D．9．（2020·北京八中高三期中）已知若函数只有一个零点，则的取值范围是（

）．A． B． C． D．10．（2019·北京·北师大实验中学高三期中）设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．11．（2019·北京·101中学高三期中）设，，均为实数，且，，，则（

）A． B． C． D．12．（2019·北京四中高三期中）函数,设、、是曲线与直线的三个交点的横坐标,且，则下列命题错误的是（

）A．存在实数，使得 B．任给实数，都有C．存在实数，使得 D．任给实数，都有13．（2019·北京四中高三期中）已知为不相等的两个正数，且，则函数和的图象（

）A．关于原点对称 B．关于轴对称C．关于轴对称 D．关于直线对称14．（2019·北京·北师大实验中学高三期中）要得到函数的图象，只需将函数的图象A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度C．向上平移1个单位长度 D．向下平移1个单位长度15．（2019·北京·牛栏山一中高三期中）下列函数中，值域是的是（

）A． B． C． D．二、填空题16．（2021·北京四中高三期中）函数的定义域是_________.17．（2021·北京市第十三中学高三期中）地震里氏震级是地震强度大小的一种度量.地震释放的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的关系为.已知两次地震的里氏震级分别为级和级，若它们释放的能量分别为和，则_____________.18．（2021·北京·首都师范大学附属中学高三期中）已知函数则________；的值域为_______．19．（2021·北京市第十三中学高三期中）已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________.20．（2019·北京四中高三期中）若函数为偶函数，则_________.21．（2019·北京·牛栏山一中高三期中）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍．22．（2019·北京·北师大二附中高三期中）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题．若函数的图象与的图象关于________对称，则函数______．（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）三、双空题23．（2020·北京四中高三期中）关于的方程的实根个数记为.若，则=_________；若，存在使得成立，则的取值范围是_________.

参考答案1．B【分析】根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可.【详解】对于A选项，，所以没有零点，从而没有“折点”，故A不符合题意；对于B选项，当时，，因为单调递增，所以在上有零点，又因为是偶函数，所以在上有零点，从而存在“折点”，故B符合题意；对于C选项，因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在处取得极大值，在处取得极小值，而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意；对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意；故选：B2．C【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】要得到函数的图象，则只需要把函数的图象向左平移个单位长度，即可.故选：C．3．C【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：C.4．A【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可求出答案.【详解】当时，单调递增，，当时，单调递减，，所以函数的值域是：故选：A【点睛】本题主要考查分段函数求值域，求出每段函数的值域，再求并集即可，属于基础题.5．B【解析】首先设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，根据题意得出，，计算求的值.【详解】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，，，所以，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：B6．C【解析】利用函数的奇偶性，得到，进而得到或，进而求解即可【详解】是上的奇函数，当时,，令,则有，则当时，，所以，，所以，当或，解得故选：C7．C【解析】①画出函数的图象，直接判断函数的单调性；②分三种情况讨论函数的图象，分析函数是否有最小值，得到实数的取值范围；③首先令，解出三个零点，进而判断结论.【详解】①当时，，画出函数的图象，如下图，由图象可知当时，函数单调递减，当时函数单调递减，但函数在时，函数并不单调递减，故①不正确；②当时，时，函数单调递增，并且当时，，所以函数没有最小值；当时，，，函数的最小值是0；当时，时，函数单调递减，函数的最小值是1，当时，，的最小值是0，综上可知函数的最小值是0，综上，若函数没有最小值，只需满足，故②正确；对于③，令，当时，，当时，，不妨设，，，，则，令，可得，当时，，则三个零点，当时，，则三个零点.综上可知③正确；故选：C【点睛】思路点睛：本题考查分段函数，函数性质和函数图象的综合应用，本题的关键是对的讨论，画出函数的图象，比较容易判断前两个命题，最后一个命题的关键是解出3个零点，并能判断，从而只需验证是否即可.8．B【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，∵，，，∴，∴的值所在的区间为，故选B．【点睛】本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题.9．D【详解】试题分析：∵函数只有一个零点，∴与只有一个交点，图象如图所示，∴k的取值范围是．考点：函数零点问题．10．A【分析】作出函数的图象，根据题意，结合函数的图象得到，，进而求得的取值范围.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，若存在互不相等的实数满足，可得，不妨令，则，，则，即的取值范围是.故选：A.11．A【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论.【详解】解：如图所示，由图象可知：.故选：A.12．B【分析】存在性与任意性命题的判断，任意性命题错误，只需举反例即可．【详解】解：函数的定义域为，易知在这三段定义域上分别单调递增，其大致图象如下曲线与的三个交点的横坐标、、，且，则，取时，即得，所以，，，，，存在时，，所以不成立，对于：要证，即①当显然成立②当时，又在上单调递增令当时即即即任给实数，都有，故正确；显然、也成立；故选：．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．B【分析】根据已知条件得到，则、互为倒数，则函数和的图象关于轴对称．【详解】解：，，又，为不相等的两个正数，，则，函数和的图象关于轴对称，函数和的图象关于轴对称．故选：．【点睛】本题考查了对数函数的图象与性质．解题时还需要掌握指数函数的图象与性质，属于基础题．14．C【解析】利用对数的运算法则先进行化简，结合函数的图象变换法则进行判断即可．【详解】解：，故只需将函数的图象向上平移1个单位长度，即可得到，故选：．【点睛】本题主要考查函数的图象与变换，结合对数的运算法则是解决本题的关键，属于基础题．15．D【分析】根据基本初等函数的性质依次判断每个选项的值域即可得到正确选项.【详解】选项A中，的值域是，故不正确；选项B中，的值域是，故不正确；选项C中，的值域是，故不正确；选项D中，，其值域是，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查基本初等函数的值域，注意仔细审题，属基础题.16．.【分析】根据函数的解析式列出不等式组，进而解出答案即可.【详解】由题意，.故答案为：.17．##【分析】先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．【详解】，∴，，∴，，∴，故答案为：18．

1

【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情况讨论（1）求当时的值域，（2）求当时的值域，最后取两值域的并集即可．【详解】解：；当时，，当时，，所以的值域为故答案为：1；．19．【详解】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为；又由于条件2的限制，，可分析得出在，因此-4应该在两个根之间，当时，，解得交集为空，舍．当m=-1时，两个根同为，舍．当时，，解得，所以综上所述，．【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想．20．【分析】根据为偶函数即可求出，从而得出原式，进行对数的运算即可．【详解】解：为偶函数，，即，，故答案为：．【点睛】考查偶函数的定义，对数的运算性质，以及对数的换底公式，属于基础题．21．6，10000【详解】试题分析：根据题意中的假设，可得M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=6；设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．解：根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则M=lgA﹣lgA0=lg1000﹣lg0.001=3﹣（﹣3）=6．设9级地震的最大的振幅是x，5级地震最大振幅是y，9=lgx+3，5=lgy+3，解得x=106，y=102，∴．故答案耿：6，10000．点评：本题考查对数的运算法则，解题时要注意公式的灵活运用．22．轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，【详解】试题分析：基于对对数函数图象、指数函数图象的认识，从多角度考虑．轴，；或：轴，；或：原点，；或：直线，均可．考点：本题主要考查命题的概念及其关系、对数函数的图象和性质．点评：属开放性