第8章多元微分学8-8极值

复习1隐函数求导公式那么此隐函数求导公式为:隐含一个一元单值连续函数

y=f(x),那么此隐函数求导公式为:隐含一个二元单值连续函数

z=f(x,y),

厂里要用铁板做一个体积为1m3的有盖长方体水箱,已知盖与其他面的造价比为1:2。请同学们帮个忙~~~问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能成本最低。问题就转换为求:解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为盖的单位造价为1,则水箱的成本为:解:设水箱长,宽分别为x,y,zm

,盖的单位造价为1,则水箱的成本为:问题就转换为求:

第八章一、多元函数的极值及最大值、最小值二、条件极值8.8多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值及最大值、最小值定义:

若函数则称函数在该点取得极大值极大值和极小值统称为极值.的某邻域内有(极小值).使函数取得极值的点称为极值点.定义:

若函数则称函数在该点取得最大值定义域内都有(最小值).(1)(2)(3)例1函数处有极小值．在例２函数处有极大值．在处有极大值．在例３处无极值．在函数定理1

(必要条件)函数偏导数,且在该点取得极值,则有存在

注:从几何上看这时如果曲面zf(x

y)在点(x0y0z0)处有切平面则切平面zz0fx(x0

y0)(xx0)fy(x0

y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0

但驻点不一定是极值点.

定义:凡使fx(x

y)0

fy(x

y)0同时成立的点(x0

y0)称为函数zf(x

y)的驻点

时,具有极值定理2(充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A<0时取极大值;A>0时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数驻点在什么条件下是极值点.求函数),(yxfz=极值的一般步骤：第一步

求可能极值点:驻点和不可导点

驻点满足方程组.第二步判断驻点是否是极值点.对于每一个驻点求出二阶偏导数的值A,B,C,通过AC-B2判断。第三步

判断导数不存在的点是否是极值点。第四步

将极值点代入函数求出极值。例5.求函数解:

第一步求驻点.得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判别.在点(1,0)处为极小值;解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;二、最值应用问题函数f

在有界闭域上连续函数f

在该域上有最值

最值可疑点极值点边界上的最值点当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值为最小值(大)(大)依据解:设水箱长,宽分别为x,ym

,则高为盖的单位造价为1,则水箱的成本为:令得唯一驻点例6.老板求助问题根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,因此可断定此唯一驻点就是最小值点.即当长、宽均为高为时,水箱成本最低.例7.证明在半径为R的圆的所有外切三角形中,等边三角形的面积最小.证:设ΔABC为圆的外切三角形,切点与圆心连线的交角ΔABC的面积为S令得最小值一定存在,故一定是最小值点,为定义域内唯一解,分别为由几何意义知圆的外切三角形中面积结论成立.ABC三、条件极值极值问题无条件极值:条件极值:自然定义域定义域+其它条件老板求助的数学模型为：方法1

代入法.求二元函数的无条件极值问题转化条件极值的求法:目标函数约束条件有时,条件极值不易转换为无条件极值问题.如:方法2

拉格朗日乘数法.辅助函数驻点满足拉格朗日乘数法推导则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,故极值点必满足设记故有极值点必满足辅助函数辅助函数F

称为拉格朗日(Lagrange)函数.极值点必满足这种方法称为拉格朗日乘数法.则上式等价于推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.设解方程组可得到条件极值的可能点.例如,

求函数下的极值.在条件抛物面被平面截得一椭圆，求这椭圆到坐标原点的最长、最短距离。例9解：数学模型建立为:yxz构造拉格朗日函数由实际问题考虑，最大和最小值存在。且只有两个可疑点。

作业

P851,3P8915内容小结1.函数的极值问题第一步利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.2.函数的条件极值问题(1)简单问题用代入法如对二元函数(2)一般问题用拉格朗日乘数法设拉格朗日函数如求二元函数下的极值,解方程组第二步判别•

比较驻点及边界点上函数值的大小•

根据问题的实际意义确定最值第一步找目标函数,确定定义域(及约束条件)3.函数的最值问题在条件求驻点.例.要设计一个容量为则问题为求x,y,令解方程组解:

设x,y,z

分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z

使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱,试问得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的