新教材高中物理抛体运动2运动的合成与分解学案新人教版必修

14/1413/14/2．运动的合成与分解学习目标：1.[物理观念]通过矢量的合成与分解确定曲线运动的位移和速度。2.[物理观念]通过蜡块的运动理解合运动、分运动的概念，会分析互成角度的两个分运动的合运动的运动性质。3.[科学思维]通过对蜡块运动的分析，体会分析复杂运动的方法，深化对位移、速度、加速度等重要概念的理解。4.[科学态度与责任]运用合成与分解的方法将复杂的物体运动转变为简单的物理问题进行分析研究。阅读本节教材，回答第6页“问题”并梳理必要知识点。教材第6页“问题”提示：游泳者在对岸偏向下游的地方到达；因为人既要参与自身垂直河岸方向的运动，还要参与河水流动方向的运动。一、一个平面运动的实例1．蜡块的位置：如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻开始计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示：x＝vxt，y＝vyt。注意：蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成的。2．蜡块运动的速度：大小v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，方向满足tanθ＝eq\f(vy,vx)。3．蜡块运动的轨迹：y＝eq\f(vy,vx)x，是一条过原点的直线。二、运动的合成与分解1．合运动与分运动如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。2．运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫运动的分解。3．运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量运算法则。1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等。 (√)(2)合运动一定是实际发生的运动。 (√)(3)合运动的速度一定比分运动的速度大。 (×)(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动。 (√)2．雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是()①风速越大，雨滴下落时间越长②风速越大，雨滴着地时速度越大③雨滴下落时间与风速无关④雨滴着地速度与风速无关A．①②B．②③C．③④D．①④B[将雨滴的运动在水平方向和竖直方向分解，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确。风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B。]3．如图所示，在玻璃管的水中有一红蜡块正在匀速上升，若红蜡块在A点匀速上升的同时，使玻璃管从AB位置水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的()A．直线P B．曲线QC．曲线R D．三条轨迹都有可能B[红蜡块参与了竖直方向的匀速直线运动和水平方向的匀加速直线运动这，实际运动的轨迹即是合运动的轨迹。由于它在任意一点的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之间有一定夹角，故轨迹是曲线。又因为物体做曲线运动的轨迹总向加速度方向偏折(或加速度方向总指向曲线的凹侧)，故选项B正确。]一个平面运动的实例(蜡块运动的分析)一条宽阔的大河上有两个码头A、B隔河相对。小明驾着小船从这边的码头A出发，将一批货物运送到对岸的码头B。他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明惊奇地发现小船行驶的路线并不与河岸垂直，而是朝河的下游方向偏移。怎样来研究这种运动呢？提示：小船的实际运动为小船自身的运动与沿河流方向运动的合运动。1．研究蜡块的运动2．结论蜡块向右上方的运动可看成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成。[特别提示]?1?vx、vy都是常量，v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))也是常量，说明蜡块的速度大小是一定的；tanθ＝eq\f(vy,vx)也是一常量，说明蜡块的速度方向是一定的。综上可知蜡块做的是匀速直线运动。?2?根据tanα＝eq\f(y,x)，也能判断蜡块的运动是直线运动，因为tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(vy,vx)，是定值，也就是说，位移的方向一直不变，所以蜡块做直线运动。【例1】(多选)质量为m＝2kg的物体在光滑的水平面上运动，在水平面内建立xOy坐标系，t＝0时物体位于坐标系的原点O。物体在x轴和y轴方向的分速度vx、vy随时间t变化的图线如图甲、乙所示。则()A．t＝0时，物体速度的大小为3m/sB．t＝8s时，物体速度的大小为4m/sC．t＝8s时，物体速度的方向与x轴正方向的夹角为37°D．t＝8s时，物体的位置坐标为(24m，16m)AD[由题图可知，t＝0时刻，vx＝3m/s，vy＝0，所以t＝0时刻，物体的速度大小v0＝3m/s，A正确；t＝8s时，vx＝3m/s，vy＝4m/s，物体的速度大小v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝5m/s，B错误；t＝8s时，设速度方向与x轴正方向的夹角为α，则tanα＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(4,3)，得α＝53°，C错误；t＝8s时，物体的位置坐标x＝vxt＝24m，y＝eq\f(1,2)ayt2＝16m，所以t＝8s时，物体的位置坐标为(24m，16m)，D正确。][跟进训练]1．(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图所示。关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是()A．t时刻猴子对地的速度大小为v0＋atB．t时间内猴子对地的位移大小为eq\r(x2＋h2)C．eq\f(t,2)时刻猴子对地的速度大小为v0＋atD．eq\f(t,2)时间内猴子对地的位移大小为eq\f(1,4)eq\r(4x2＋h2)BD[猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，t时刻猴子对地的速度大小为vt＝eq\r(v\o\al(2,0)＋?at?2)，A错误；t时间内猴子对地的位移大小为s＝eq\r(x2＋h2)，B正确；猴子在竖直方向上做匀加速直线运动，eq\f(t,2)时刻竖直分速度为v′＝eq\f(at,2)，所以eq\f(t,2)时刻猴子对地的速度大小为veq\s\do16(eq\f(t,2))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v′2)＝eq\f(1,2)eq\r(4v\o\al(2,0)＋a2t2)，C错误；t时间内猴子在竖直方向上的位移为h＝eq\f(1,2)at2，水平位移为x＝v0t，eq\f(t,2)时间内竖直位移为h′＝eq\f(1,2)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)h，水平位移为x′＝eq\f(1,2)v0t＝eq\f(1,2)x，则eq\f(t,2)时间内猴子对地的位移大小为s′＝eq\r(x′2＋h′2)＝eq\f(1,4)eq\r(4x2＋h2)，D正确。]运动的合成与分解(教师用书独具)教材第9页“思考与讨论”答案提示：因蜡块随玻璃管沿水平方向匀加速运动，蜡块沿竖直方向上匀速运动，蜡块所受合外力与合速度有夹角，故其轨迹不是直线。如图所示，跳伞运动员打开降落伞后正从高空下落。(1)跳伞员在无风时竖直匀速下落，有风时运动员的实际运动轨迹还竖直向下吗？竖直方向的运动是跳伞员的合运动还是分运动？(2)已知跳伞员的两个分运动速度，怎样求跳伞员的合速度？提示：(1)有风时跳伞员不沿竖直方向向下运动。无风时跳伞员竖直匀速下落，有风时，跳伞员一方面竖直匀速下落，一方面在风力作用下水平运动。因此，竖直匀速下落的运动是跳伞员的分运动。(2)应用矢量运算法则求合速度。1．合运动与分运动(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。(2)物体实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。2．合运动与分运动的四个特性等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性各分运动与合运动是同一物体的运动独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响3．运动的合成与分解(1)运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解。(2)运动合成与分解的法则：合成和分解的对象是位移、速度、加速度，这些量都是矢量，遵循的是平行四边形定则。[特别提示]合运动与分运动有等时、独立、等效、同体四个特性，最重要的是等时性，时间像桥梁一样联系着分运动和合运动。4．确定合运动性质的方法分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，确定合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断：(1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动。(2)判断轨迹曲直：若a与v0共线，则做直线运动；若a与v0不共线，则做曲线运动。(3)互成角度的两个直线运动的合运动性质和轨迹的判断分运动合运动矢量图条件两个匀速直线运动匀速直线运动a＝0一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动匀变速曲线运动a与v成α角两个初速度为零的匀加速直线运动初速度为零的匀加速直线运动v0＝0两个初速度不为零的匀加速直线运动匀变速直线运动a与v方向相同匀变速曲线运动a与v成α角【例2】竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以0.1m/s的速度匀速上浮。在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管水平向右匀速运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成30°角，如图所示。若玻璃管的长度为1.0m，在蜡块从底端上升到顶端的过程中，下列关于玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离计算结果正确的是()A．0.1m/s，1.73m B．0.173m/s，1.0mC．0.173m/s，1.73m D．0.1m/s，1.0mC[由题图知竖直位移与水平位移之间的关系为tan30°＝eq\f(y,x)由分运动具有独立性和等时性得：y＝vyt、x＝vxt联立解得：x＝1.73m，vx＝0.173m/s。故C项正确。]上例中，若将玻璃管水平向右匀速运动改为从静止开始匀加速运动；将蜡块实际运动方向与水平方向成30°角改为蜡块最终位移方向与水平方向成45°角，其他条件不变，则玻璃管水平方向的加速度多大？提示：由tan45°＝eq\f(y,x)，则x＝1.0m，由x＝eq\f(1,2)at2，y＝vyt得t＝10s，a＝0.02m/s2。“三步走”求解合运动或分运动(1)根据题意确定物体的合运动与分运动。(2)根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形。(3)根据所画图形求解合运动或分运动的参量，求解时可以用勾股定理、三角函数、三角形相似等数学知识。[跟进训练]2．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，它们的合运动的轨迹()A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线D．如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(v1,v2)，那么轨迹一定是直线D[本题考查两直线运动合运动性质的确定，解题关键是明确做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与速度的方向不在一条直线上。如果eq\f(a1,a2)＝eq\f(v1,v2)，那么，合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，所以D正确。]运动的合成与分解的应用生活中常遇到这样两种实际问题：甲1．如图所示，小船渡河问题中，小船渡河参与了哪两个运动？怎样过河时间最短？怎样过河位移最短？提示：小船渡河参与了相对于静水的运动和随河水漂流的运动；船头垂直河岸渡河时时间最短，合位移垂直河岸时位移最短。2．如图乙所示，绳联物体问题中，如何判断合速度和分速度？速度怎样分解？乙提示：物体的实际运动是合运动；将物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和沿绳(杆)的两个分量。1．运动的合成与分解的应用解题思路(1)确定物体的合运动(实际发生的运动)与分运动。(2)画出矢量(速度、位移或加速度)合成或分解的平行四边形。(3)应用运动学公式分析同一运动(合运动或某一分运动)中的位移、速度、加速度等物理量之间的关系，应用几何知识分析合矢量与分矢量之间的关系。2．两种常见物理模型(1)“小船渡河”模型①模型特点小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：(ⅰ)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同。(ⅱ)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行。船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成。②两类最值问题(ⅰ)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度。因此，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图可知，t短＝eq\f(d,v船)，此时船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向满足tanθ＝eq\f(v船,v水)。(ⅱ)渡河位移最短问题情况一：v水＜v船最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝eq\f(d,v船sinθ)，船头与上游河岸夹角θ满足v船cosθ＝v水，如图甲所示。甲情况二：v水＞v船如图乙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程为x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水)。乙【例3】一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度为v1＝2.5m/s。船在静水中的速度为v2＝5m/s，求：(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？[解析](1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向。当船头垂直河岸时，如图甲所示，甲合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5m/s。t＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36sv合＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx＝v合t＝90eq\r(5)m。(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸。船头应朝上游与河岸成某一角度β。如图乙所示，由v2sinα＝v1得α＝30°。所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短。乙x＝d＝180mt＝eq\f(d,v′⊥)＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s。[答案](1)36s90eq\r(5)m(2)偏向上游与河岸成60°角24eq\r(3)s[解题误区]1．小船渡河时间最短与位移最短是两种不同的运动情境，时间最短时，位移不是最短。2．求渡河的最小位移时，要先弄清v船与v水的大小关系，不要盲目地认为最小渡河位移一定等于河的宽度。3．渡河时间与船随水漂流速度的大小无关，只要船头指向与河岸垂直，渡河时间即为最短。[跟进训练]3．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示。已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d。则下列判断正确的是()A．船渡河时间为eq\f(d,v2)B．船渡河时间为eq\f(d,\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2)))C．船渡河过程被冲到下游的距离为eq\f(v2,v1)·dD．船渡河过程被冲到下游的距离为eq\f(d,\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2)))·v2C[船正对河岸运动，渡河时间最短t＝eq\f(d,v1)，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝eq\f(v2,v1)·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确。](2)“关联速度”模型①“关联”速度关联体一般是两个或两个以上由轻绳或轻杆联系在一起，或直接挤压在一起的物体，它们的运动简称为关联运动。一般情况下，在运动过程中，相互关联的两个物体不是都沿绳或杆运动的，即二者的速度通常不同，但却有某种联系，我们称二者的速度为“关联”速度。②“关联”速度分解的步骤(ⅰ)确定合运动的方向：物体实际运动的方向就是合运动的方向，即合速度的方向。(ⅱ)确定合运动的两个效果。eq\o(\a\al(用轻绳或可自由转动的,轻杆连接的物体的问题))→eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(效果1：沿绳或杆方向的运动,效果2：垂直绳或杆方向的运动))相互接触的物体的问题→eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(效果1：垂直接触面的运动,效果2：沿接触面的运动))(ⅲ)画出合运动与分运动的平行四边形，确定它们的大小关系。③常见的速度分解模型甲乙丙丁【例4】如图所示，以速度v沿竖直杆匀速下滑的物体A用轻绳通过定滑轮拉物体B，当绳与水平面夹角为θ时，物体B的速度为()A．vB．eq\f(v,sinθ)C．vcosθD．vsinθD[将A的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，如图所示，根据平行四边形定则得，vB＝vsinθ，故D正确。]上例中，若物体B以速度v向左匀速运动，则物体A做什么运动？提示：vA′＝eq\f(v,sinθ)由于θ变小，故vA′变大，故物体A向上做加速运动。[跟进训练]4．如图所示，AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面的速度大小为v2，则v1、v2的关系是()A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθC．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθC[可以把A、B两点的速度分解，如图所示，由于杆不能变长或变短，沿杆方向的速度应满足v1x＝v2x，即v1cosθ＝v2sinθ，v1＝v2tanθ，C正确。]1．关于合运动与分运动的关系，下列说法正确的是()A．合运动速度一定不小于分运动速度B．合运动加速度不可能与分运动加速度相同C．合运动的速度与分运动的速度没有关系，但合运动与分运动的时间相等D．合位移可能等于两分位移的代数和D[根据平行四边形定则，作出以两个互成角度的分速度为邻边的平行四边形，过两邻边夹角的对角线表示合速度，对角线的长度可能等于邻边长度，也可能小于邻边长度，也可能大于邻边长度，选项A错误；合运动的加速度可能大于、等于或小于分运动的加速度，选项B错误；合运动与分运动具有等效性、同体性、等时性等关系，选项C错误；如果两个分运动在同一直线上，且方向相同，其合位移就等于两分位移的代数和，选项D正确。]2．(多选)已知河水自西向东流动，