学高中数学数列1第课时数列的通项公式与递推公式学案含解析新人教A版必修501031151

06/707/7/第2课时数列的通项公式与递推公式内容标准学科素养1.了解递推公式是给出数列的一种方法．2.理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3.掌握由一些简单的递推公式求数列通项公式的方法.发展逻辑推理提升数学运算运用数学抽象授课提示：对应学生用书第20页[基础认识]知识点数列递推公式数列除用通项表示外，还可以通过数列的前后两项或三项间的关系(递推关系)结合首项或前n项给出．(1)如图(教材P30例2)谢宾斯基三角形中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列1,3,9，…，eq\f(a2,a1)＝________，eq\f(a3,a2)＝________，猜想递推关系eq\f(an,an－1)＝________(n≥2，n∈N*)．提示：333(2)三角形数构成的数列1,3,6,10，….a2与a1的关系为______，a3与a2的关系为________，a4与a3的关系为________．猜想：an与an－1的关系为________(n≥2，n∈N*)．提示：a2＝a1＋2a3＝a2＋3a4＝a3＋4an＝an－1＋n知识梳理递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．思考由数列的递推公式确定数列的各项，递推的基础是什么？递推的依据是什么？提示：(1)要给出数列的首项或前几项，这是递推的基础；(2)要给出任一项an与它的前一项或前几项的关系式，这是递推的依据．[自我检测]1．数列0,2,4,6，…的递推公式可以是()A．an＋1＝an＋2B．an＋1＝2anC．an＋1＝an，a1＝0D．an＋1＝an＋2，a1＝0答案：D2．已知数列{an}的首项a1＝1，an＋1＝eq\f(2,an)＋1，则这个数列的第4项是()A.eq\f(11,7)B.eq B.eq\f(11,5)C.eq\f(21,11) D．6答案：B授课提示：对应学生用书第21页探究一由递推公式写数列的前几项[阅读教材P31例3]方法步骤：当n＝1时，a1＝1，当n＝2时，由a1→a2，当n＝3时，由a2→a3，当n＝4时，由a3→a4，当n＝5时，由a4→a5.[例1](1)在数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a5＝()A．2 B．3D.eq D.eq\f(1,2)(2)数列{an}满足an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2an，0≤an＜\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an＜1，))若a1＝eq\f(6,7)，则a2019的值是()A.eq\f(6,7) B．eq\f(5,7)C.eq\f(3,7)D.eqD.\f(1,7)[解析](1)a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝1－eq\f(1,an)，则a2＝1－2＝－1，a3＝1＋1＝2，a4＝1－eq\f(1,a3)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a5＝1－eq\f(1,a4)＝1－2＝－1.(2)由于a1＝eq\f(6,7)∈[eq\f(1,2)，1]，∴a2＝2a1－1＝eq\f(12,7)－1＝eq\f(5,7)∈[eq\f(1,2)，1]，a3＝2a2－1＝eq\f(10,7)－1＝eq\f(3,7)∈[0，eq\f(1,2))，a4＝2a3＝eq\f(6,7)，可归纳为a4＝a1，a5＝a2，a6＝a3，…，an＋3＝an，故a2019＝a2016＝…＝a672×3＋3＝a3＝eq\f(3,7).[答案](1)C(2)C方法技巧由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式．跟踪探究1.已知数列{an}中，an－1＝man＋1(n＞1)，且a2＝3，a3＝5，则实数m＝________.答案：eq\f(2,5)探究二用累加法、累乘法求通项公式[教材P33第5题第二个图]求数列的通项公式．方法步骤：a2－a1＝3，a3－a2＝3，a4－a3＝3，?an－an－1＝3，将上述(n－1)个式子两边分别相加得an－a1＝3(n－1)，a1＝1，∴an＝3n－2.[例2]已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))(n≥2)，求an.[解析]因为an＝an－1＋eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))(n≥2)，所以an－an－1＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，所以a1＝1，a2－a1＝eq\r(3)－eq\r(2)，a3－a2＝eq\r(4)－eq\r(3)，a4－a3＝eq\r(5)－eq\r(4)，…an－an－1＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝1＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋(eq\r(5)－eq\r(4))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(2)＋1.当n＝1时，a1＝1也符合上式，所以an＝eq\r(n＋1)－eq\r(2)＋1.延伸探究1.本例中的条件“an＝an－1＋eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))”改为“eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)”，其他条件不变，求an.解析：因为a1＝1，且eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)(n≥2)，所以eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·eq\f(a4,a3)·…·eq\f(an－1,an－2)·eq\f(an,an－1)＝eq\f(3,1)·eq\f(4,2)·eq\f(5,3)·…·eq\f(n,n－2)·eq\f(n＋1,n－1)，即an＝eq\f(n?n＋1?,2)，经检验，n＝1时，a1＝1也满足上式，所以an＝eq\f(n?n＋1?,2).2．本例中的条件“an＝an－1＋eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))”改为“lnan－lnan－1＝1(n≥2)”，其他条件不变，求an.解析：因为a1＝1，且lnan－lnan－1＝1(n≥2)，所以lna2－lna1＝1，lna3－lna2＝1，…，lnan－lnan－1＝1，以上各式相加可得lnan－lna1＝n－1，又lna1＝ln1＝0，所以lnan＝n－1，∴an＝en－1.当n＝1时，a1＝e0＝1符合题意，所以an＝en－1.方法技巧1．由递推公式写出通项公式的步骤(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式．(3)写出一个通项公式并证明．2．递推公式的常见类型及通项公式的求法(1)求形如an＋1＝an＋f(n)的通项公式．将原来的递推公式转化为an＋1－an＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．(2)求形如an＋1＝f(n)an的通项公式．将原递推公式转化为eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由eq\f(a2,a1)＝f(1)，eq\f(a3,a2)＝f(2)，…，eq\f(an,an－1)＝f(n－1)，累乘可得eq\f(an,a1)＝f(1)f(2)…f(n－1)．跟踪探究2.若数列{an}中各项均不为零，则有a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝an(n≥2，n∈N*)成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n－1,n)(n≥2，n∈N*)，求通项an.解析：当n≥2时，an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)＝1·eq\f(1,2)·eq\f(2,3)·…·eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n).a1＝1也符合上式，所以数列{an}的通项公式是an＝eq\f(1,n).探究三数列的函数特性[例3]已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·(eq\f(10,11))n，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．[解析]法一：an＋1－an＝(n＋2)(eq\f(10,11))n＋1－(n＋1)(eq\f(10,11))n＝eq\f(?9－n??\f(10,11)?n,11)，当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an.则a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×(eq\f(10,11))9.法二：根据题意，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an,an≥an＋1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n×?\f(10,11)?n－1≤?n＋1??\f(10,11)?n,?n＋1??\f(10,11)?n≥?n＋2??\f(10,11)?n＋1))，解得9≤n≤10.又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×(eq\f(10,11))9.方法技巧1．数列单调性的判断方法(1)根据定义判断：若an＋1＞an，则{an}是单调递增数列；若an＋1＜an，则{an}是单调递减数列；若an＋1＝an，则{an}是常数列．(2)作差法：若an＋1－an＞0，则数列{an}是单调递增数列；若an＋1－an＜0，则数列{an}是单调递减数列；若an＋1－an＝0，则数列{an}是常数列．(3)作商法：若eq\f(an＋1,an)＞1(an＞0，n∈N*)或eq\f(an＋1,an)＜1(an＜0，n∈N*)，则数列{an}是单调递增数列；若eq\f(an＋1,an)＜1(an＞0，n∈N*)或eq\f(an＋1,an)＞1(an＜0，n∈N*)，则数列{an}是单调递减数列；若eq\f(an＋1,an)＝1(an≠0，n∈N*)，则数列{an}是常数列．2．数列单调性的应用(1)求数列的最大项，首先判断数列的单调性或项的增减特征，确定最大项的项数后求出相应的项．(2)求参数的范围，由数列的单调性，列出关于an＋1，an的不等式，利用不等式及函数知识求范围，其中分离参数是常用的解题技巧．跟踪探究3.已知an＝eq\f(n－\r(2019),n－\r(2018))(n∈N*)，则在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是()A．a1，a100 B．a100，a44C．a45，a44 D．a44，a45解析：因为an＝eq\f(n－\r(2019),n－\r(2018))＝1＋eq\f(\r(2018)－\r(2019),n－\r(2018))，图象如图．当n＝45时，n≥eq\r(2018)，∴a45最小．当n＝44时，n＜eq\r(2018)，a44最大．故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第22页[课后小结](1){an}与an是不同的两种表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式．而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．(2)数列的表示方法①图象法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．(3)通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.[素养培优]利用函数、不等式思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，当(n∈N*)变化时，an有大小不等关系的变化，可利用函数、不等式思想解决．1．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝aeq\o\al(2,n)＋an.(1)求证：an＋1＞an；(2)求证：1＜eq\f(1,1＋a1)＋eq\f(1,1＋a2)＋…＋eq\f(1,1＋an)＜2，其中n≥2，n∈N*.证明：(1)因为an＋1＝aeq\o\al(2,n)＋an，所以an＋1－an＝aeq\o\al(2,n)≥0.又因为a1＝eq\f(1,2)＞0，所以an≥a1＞0，即an＋1－an＞0，所以an＋1＞an.(2)因为an＋1＝aeq\o\al(2,n)＋an，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(1,a\o\al(2,n)＋an)＝eq\f(1,an?an＋1?)＝eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)，即eq\f(1,1＋an)＝eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)，累差叠加得eq\f(1,1＋a1)＋eq\f(1,1＋a2)＋…＋eq\f(1,1＋an)＝eq\f(1,a1