学新教材高中数学平面向量及其应用61三22

12/1211/12/第2课时解三角形的实际应用举例(15分钟30分)1.某船从A处向北偏东60°方向航行2QUOTE千米后到达B处,然后朝南偏西30°的方向航行6千米到达C处,则A处与C处之间的距离为()A.QUOTE千米B.2QUOTE千米C.3千米D.6千米【解析】选B.设A处与C处之间的距离为x千米,由余弦定理可得x2=QUOTE+62-2×2QUOTE×6cos(60°-30°)=12,则x=2QUOTE.【补偿训练】在相距4千米的A,B两点处测量目标C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,则A,C两点之间的距离是()A.4千米 B.2QUOTE千米C.2QUOTE千米 D.2千米【解析】选B.由于∠CAB=75°,∠CBA=60°,所以∠ACB=180°-75°-60°=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得AC=2QUOTE.2.某建筑物上有一根长为20m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45°,旗杆顶端的仰角为60°,则此建筑物的高度最接近于()A.25mB.27mC.29mD.31m【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出图形:由图可得AB=h,则tan60°=QUOTE,解得h=QUOTE=10(QUOTE+1)≈27.3.如图,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1km,从三点分别望塔M,在A处看见塔在北偏东30°方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东60°方向,则塔到直路ABC的最短距离为()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】选B.由已知得AB=BC=1,∠AMB=60°,∠CMB=30°,所以∠CMA=90°,所以AB=BC=1=MB,∠AMB=60°=∠A,所以AM=1,CM=QUOTE,设AC边上的高为h,则塔到直路ABC的最短距离为h,所以QUOTE·AM·CM=QUOTE·AC·h,解得h=QUOTE.4.甲、乙两楼相距20米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°,则甲、乙两楼的高分别为米、米.?【解析】如图,过点C作CM⊥AB,垂足为依题意有甲楼的高度为AB=20·tan60°=20QUOTE(米),又CM=DB=20米,∠CAM=60°,所以AM=CM·QUOTE=QUOTE米,故乙楼的高度为CD=20QUOTE-QUOTE=QUOTE(米).答案:20QUOTEQUOTE5.如图,要测出山上石油钻井的井架BC的高,从山脚A测得AC=60m,井架顶B的仰角45°,井架底的仰角15°,则井架的高BC为m.?【解析】由题意得∠BAC=45°-15°=30°,∠ABC=45°,且AC=60m.在△ABC中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,解得BC=30QUOTE.答案:30QUOTE6.一海轮以20海里/小时的速度向正东航行,它在A点时测得灯塔P在船的北偏东60°方向上,2小时后船到达B点时测得灯塔P在船的北偏东45°方向上.求:(1)船在B点时与灯塔P的距离;(2)已知以点P为圆心,55海里为半径的圆形水域内有暗礁,那么船继续向正东航行,有无触礁的危险?【解析】(1)如图:在△ABP中,∠PAB=30°,∠ABP=135°,所以∠APB=15°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BP=20(QUOTE+QUOTE).(2)过P作PD⊥AB,D为垂足.PD=BPsin45°=20QUOTE+20<55,故继续航行有触礁危险.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.已知A,B两地距离为2,B,C两地距离为3,现测得∠ABC=QUOTE,则A,C两地的距离为()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为AB=2,BC=3,∠ABC=QUOTE,所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=4+9-2×2×3cosQUOTE=19,即AC=QUOTE.2.如图,在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0.08km,距测速区终点B的距离为0.05km,且∠APB=60°,现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s,则此车的速度介于()A.60～70km/h B.70～80km/hC.80～90km/h D.90～100km/h【解析】选C.由余弦定理得AB=QUOTE=0.07,则此车的速度为QUOTE=7×12=84km/h.3.(2020·天津高一检测)雕塑成了大学环境不可分割的一部分,有些甚至能成为这个大学的象征,在中国科学技术大学校园中就有一座郭沫若的雕像.雕像由像体AD和底座CD两部分组成.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=70.5°,在Rt△DBC中,∠DBC=45°,且CD=2.3米,则像体AD的高度为()(最后结果精确到0.1米,参考数据:sin70.5°≈0.943,cos70.5°≈0.334,tan70.5°≈2.824)A.4.0米 B.4.2米 C.4.3米 D.4.4米【解析】选B.在Rt△BCD中,BC=CD=2.3(米),在Rt△ABC中,AC=BCtan∠ABC≈2.3×2.824≈6.5(米),所以AD=AC-CD=6.5-2.3=4.2(米).4.刘徽是我国魏晋时期着名的数学家,他编着的《海岛算经》中有一问题:“今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目着地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目着地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高几何?”意思是:为了测量海岛高度,立了两根表,高均为5步,前后相距1000步,令后表与前表在同一直线上,从前表退行123步,人恰观测到岛峰,从后表退行127步,也恰观测到岛峰,则岛峰的高度为(注:3丈=5步,1里=300步)()?A.4里55步 B.3里125步C.7里125步 D.6里55步【解析】选A.如图.由题意BC=DE=5步,设AH=h步,BF=123,DG=127,QUOTE=QUOTE,HF=QUOTE,由题意,(HG-127)-(HF-123)=1000,即QUOTE-QUOTE-4=1000,解得h=1255步=4里55步.【误区警示】不能正确作出图示是本题最易犯的错误.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.某人在A处向正东方向走xkm后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好QUOTEkm,那么x的可取值为()A.QUOTE B.2QUOTE C.3QUOTE D.3【解析】选AB.由题意得∠ABC=30°,由余弦定理得cos30°=QUOTE,解得x=2QUOTE或x=QUOTE.6.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的着作,全书十八卷共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a,b,c求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上,以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=QUOTE.现有△ABC满足sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶QUOTE,且△ABC的面积S△ABC=6QUOTE,则运用上述公式判断下列命题正确的是()A.△ABC周长为10+2QUOTEB.△ABC三个内角A,C,B满足A+B=2CC.△ABC外接圆直径为QUOTED.△ABC中线CD的长为3QUOTE【解析】选ABC.由正弦定理可得:a∶b∶c=2∶3∶QUOTE,设a=2m,b=3m,c=QUOTEmQUOTE,所以S=QUOTE=QUOTEm2=6QUOTE,解得:m=2,所以△ABC的周长为a+b+c=4+6+2QUOTE=10+2QUOTE,A正确;由余弦定理得:cosC=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以C=QUOTE,因为A+B+C=π,所以A+B=QUOTE,即A+B=2C,B正确;由正弦定理知外接圆直径为2R=QUOTE=QUOTE=QUOTE,C正确;由中线定理得a2+b2=QUOTEc2+2CD2,即CD2=QUOTE×QUOTE=19,所以CD=QUOTE,D错误.【光速解题】本题B中可以直接令a=2,b=3,c=QUOTE,从而可快速判断.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,一栋建筑物AB高(30-10QUOTE)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面M点(B,M,D三点共线)测得对楼顶A、塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得对塔顶C的仰角为30°,则通信塔CD的高为m.?【解析】由题意可知∠CAM=45°,∠AMC=105°,由三角形内角和定理可知∠ACM=30°.在Rt△ABM中,sin∠AMB=QUOTE?AM=QUOTE.在△ACM中,由正弦定理可知:QUOTE=QUOTE,所以CM=QUOTE=QUOTE.在Rt△DCM中,sin∠CMD=QUOTE,所以CD=CM·sin60°=QUOTE·sin60°=60.答案:60【补偿训练】如图,为了测量山坡上灯塔CD的高度,某人从高为h=40的楼AB的底部A处和楼顶B处分别测得仰角为β=60°,α=30°,若山坡高为a=32,则灯塔高度是.?【解析】如图,BN⊥DC于N,DC延长线交地面于M,则DN=BNtanα,DM=AMtanβ,而BN=AM,所以BNtanβ-BNtanα=h,即BN(tan60°-tan30°)=40,BN=QUOTE=20QUOTE,所以DC=AMtan60°-CM=BNtan60°-32=20QUOTE×QUOTE-32=28.答案:288.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,我国拥有世界上最深的海洋蓝洞,若要测量如图所示的蓝洞的口径A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=80,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为.?【解析】由已知,△ACD中,∠ACD=15°,∠ADC=150°,所以∠DAC=15°,由正弦定理得AC=QUOTE=QUOTE=40(QUOTE+QUOTE).△BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=135°,所以∠DBC=30°,由正弦定理,QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE=QUOTE=40(QUOTE-QUOTE).在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB=1600(8+4QUOTE)+1600(8-4QUOTE)+2×1600(QUOTE+QUOTE)(QUOTE-QUOTE)×QUOTE=1600×16+1600×4=1600×20=32000,故AB=80QUOTE,即A,B间的距离为80QUOTE.答案:80QUOTE四、解答题(每小题10分,共20分)9.某船在海面A处测得灯塔C在北偏东30°方向,与A相距10QUOTE海里,测得灯塔B在北偏西75°方向,与A相距15QUOTE海里,船由A向正北方向航行到D处,测得灯塔B在南偏西60°方向,这时灯塔C与D相距多少海里?C在D的什么方向?【解析】作AE⊥BD于E,CF⊥AD于F,由题意得AB=15QUOTE海里,AC=10QUOTE海里,∠BAD=75°,∠ADB=60°,则∠B=45°,所以AE=QUOTEAB=15QUOTE海里,因为∠ADB=60°,所以∠DAE=30°,所以AD=30海里.因为∠DAC=30°,AC=10QUOTE海里,所以CF=QUOTEAC=5QUOTE海里,AF=15海里,所以DF=15海里,又FC=5QUOTE海里,所以CD=QUOTE=10QUOTE海里,则∠CDF=30°,所以灯塔C与D相距10QUOTE海里,C在D南偏东30°方向.10.如图,甲船以每小时30QUOTEnmile的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20nmile,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10QUOTEnmile,问乙船每小时航行多少海里?【解析】如图,连接A1B2,由题意知,A2B2=10QUOTEnmile,A1A2=30QUOTE×QUOTE=10QUOTEnmile,所以A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°,所以△A1A2B2是等边三角形.所以A1B2=A1A2=10QUOTEnmile.由题意知A1B1=20nmile,∠B1A1B2=105°-60°=45°,在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2·cos45°=202+QUOTE-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,所以B1B2=10QUOTEnmile.因此,乙船速度的大小为QUOTE×60=30QUOTE(nmile/h).答:乙船每小时航行30QUOTEnmile.根据国际海洋安全公约规定:两国军舰正常状况下(联合军演除外)在公海上的安全距离为20mile(即距离不得小于20mile),否则违反了国际海洋安全规定.如图,在某公海区域有两条相交成60°的直航线XX′,YY′,交点是O,现有两国的军舰甲,乙分别在OX,OY上的A,B处,起初OA=30mile,OB=10mile,后来军舰甲沿XX′的方向,乙军舰沿Y′Y的方向,同时以40mile/h的速度航行.(1)起初两军舰的距离为多少?(2)试判断这两艘军舰是否会违反国际海洋安全规定?并说明理由.【解析】(1)连接AB,在△ABO中,由余弦定理得AB=QUOTE=10QUOTE.所以,起初两军